А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 68
Текст из файла (страница 68)
к р; (П ) )пп р„(А) < и(А), А — замкнутые множества, и р„(Е) — р(Е); (П1») !пп и„(А) > р(А), А — открытые множества, и р„(Е) — р(Е); (1Н") р.=»р Каждое из этих условий равносильно любому из условий (Н*) — (НШ*), формулируемых, как и (Н) — (НШ), с заменой мер Р„и Р на р„и и соот- ветственно. 4. Пусть ()т, МЯ)) — числовая прямая с системой борелевских мно- жеств Я()1), порожденных евклидовой метрикой р(х, у) = ]х — у] (ср. с замечанием 2 в п. 2 $ 2 гл.
П). Обозначим Р, Р„, н > 1, вероятностные меры на (Й, Я(й)), и пусть Р, Р„, и > 1, — соответствующие им функции распределения. Тогда справедлива Теорема 2. Следующие условия эквивалентны: (1) Р„- Р, (2) Р„ =» Р, (З) Р„ Р, (4) Р„ =ь Р. Доказал»ельство. Поскольку (2) е» (1) еь (3), то достаточно доказать, что (2) 4э (4). Если Р„=~ Р, то, в частности, Р„(-оо, х] -~ Р(-оо, х] для всех х е к таких, что Р(х) = О. А это и означает, что Р„ =ь Р. Пусть теперь Р„=» Р.
Для доказательства сходимости Р„--» Р достаточно (в силу теоремы 1) показать, что )пп Р„(А) > Р(А) для всякого открытою множества А. Если А — открытое множество, то найдется счетная система непересекающихся открытых интервалов l!, )э, ... (вида (а, Ь)) таких, что А = 2 1». »=! Зафиксируем е>О и выберем в каждом интервале I» = (а», Ь») подынтервал 1» — — (а', Ь'] такой, что а', Ь' е С(Р) и Р(l») < Р(1») +е2».
(Поскольку множество точек разрыва функции Р=Р(х) не более чем счетно, такие интервалы I', й > 1, действительно существуют.) Тогда по лемме Фату 1пп Р„(А) =1пп ~~! Р„(1») >~~! )пп Р„(1») >~! 1пп Р„(1»). л Л и л » ! »=! »=! гл. Оь сходимость ввроятностных мн 404 Но Р„(!„') = Р»(Ь») — Р„(а~) — Р(Ь„') — Р(а~) = Р©. Поэтому !пп Р„(А)>~ Р(ф>~ (Р((ь) — е2 «)=Р(А) — е, « л=! э=! что в силу произвольности е > О доказывает, что! пп Р„(А) > Р(А), если А— открытое множество. ь1 5.
Пусть (Е, ег) — измеримое пространство. Систему подмножеств Ла(Е) Си' назовем определяющим классом, если для любых двух вероятностных мер Р и О, заданных на (Е, в'), из равенства Р (А) = 0(А) для всех А е Л5(Е) вытекает, что эти меры совпадают тождественно, т. е. Р(А) =0(А) для всех А ем. Если (Е, и, р) — метрическое пространство, то систему подмножеств Л~ (Е) С и' назовем классом, определяющим сходим осгпь, если лля любых мер Р, Р и Рэ, ...
из того, что Р,(А) - Р(А) для всех А е Л((Е) с Р(дА) = О вытекает, что Р„(А) - Р(А) для всех А ЕЛ' с Р(дА) =О. В случае (Е, «Г) =(Я, Я()т)) в качестве определяющего класса Л5Я) можно взять класс «элементарных» множеств Л =(( — оо, х], х е)т) (теорема 1 из $3 гл. П). Из эквивалентности условий (2) и (4) теоремы 2 вытекает, что класс Л' является также и классом, определяющим сходимость.
Естественно возникает вопрос о таких определяющих классах и для более общих пространств. В случае пространств )т", и > 2, класс Л' «элементарных» множеств вида ( — оо, х] = ( — оо, х1] х ... х (-оо, х„], х = (хи ..., х„) Е Р", является как определяющим классом (теорема 2 из $ 3 гл. П), так и классом, определяющим сходимость (задача 2). В случае пространства Я цилиндрические множества являются теми «элементарными» множествами, по вероятностям которых однозначно определяется вероятность для всех борелевских множеств (теорема 3 из $3 гл. П). Оказывается, что в этом случае класс цилиндрических множеств является тем классом, который определяет также и сходимость (задача 3).
ч !. слАБАя схОдимОсть 405 О !/п 2/ч 1 / Рис. 35. А=)о~ С: /о(/)!~ (—, 0~(/~ (1) ~Яо(С). 1 то Р(дА) = О, Р„(А) = О, Р(А) = 1 и, следовательно, Р„;БР. Таким образом, класс цилиндрических множеств является определяющим классом, но не является классом, определяющим сходимость. 6. Задачи. 1. Будем говорить, что функция Р=Р(х), заданная на й-, непрерывна в точке х Е/1, если для любого е >0 найдется такое 6>0, что !Р(х) — г(у) ! < е для всех у е /г'"', удовлетворяющих неравенству х — 6е <у <х+6е, где е = (1, ..., 1) е /! . Будем говорить также, что последовательность функций распределения (Р„) сходится в основном к функции распределения Р (обозначение: Р„ =ь г), если Е„(х) - Р(х) для всех точек х Е /! , где функция Р = Р(х) непрерывна. Показать, что утверждение теоремы 2 остается справедливым для /!.-, т > 1.
(См. замечание 1 к теореме 1.) 2. Показать, что в случае пространств /!" класс «элементарных» множеств л. является классом, определяющим сходимость. 3. Пусть Š— одно из пространств й=, С или Р. Будем говорить, что последовательность вероятностных мер (Р„) (заданных на о-алгебре 4' борелевских множеств, порожденных открытыми множествами) сходится в основном в смысле конечномерных распределений к вероятностной мере Р (обозначение: Р„=ь Р), если Р„(А)-+ Р(А), и- оо, для всех даl линдрических множеств А с Р(дА) =О.
Можно было бы ожидать, что и в случае более общих пространств класс цилиндрических множеств является классом, определлюи!им сходимость. Однако, вообще говоря, это не верно. Так, например, рассмотрим пространство (С, М(С), р) с равномерной метрикой р (см. п. 6 $2 гл. П). Пусть Р— вероятностная мера, целиком сосредоточенная на функции х(/) аз О, 0 < / < 1, а Є— вероятностные меры, п > 1, каждая из которых сосредоточена на функции х„=х„(/), изображенной на рис. 35. Нетруд- х.
но убедиться, что Р„(А)- Р(А) для всех цилиндрических множеств А с Р(дА) =О. Но, если ! ! взять, например, множество ! ! 400 ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Показать, что в случае пространства !с" (Р„~Р) еь (Р„~Р). Верно ли это утверждение для пространств С и О? 4. Пусть Е и 6 — функции распределения на числовой прямой и !(Е, 6) =!п!(Ь >О: Е(х — Ь) — й < 6(х) <Е(х+й)+й] — расстояние Леви (между Е и 6). Показать, что сходимость в основном эквивалентна сходимости в метрике Леви, определяемой расстоянием Е(, ): (Е„=ьЕ) еь ((.(Е„, Е)- О).
5. Пусть Е„=эЕ и функция распределения Е является непрерывной. Показать, что тогда сходимость Е„(х) к Е(х) равномерна: зцр [Е„(х) — Е(х)[- О, и- со. к 6. Доказать утверждение, сформулированное в замечании 1 к теореме !. 7. Убедиться в справедливости эквивалентности условий (1') †(!Ч*), сформулированных в замечании 2 к теореме 1. 8. Показать, что Р„ - Р тогда и только тогда, когда всякая подпоследовательность (Р„ ) последовательности (Р„) содержит подпоследовательность (Р„«) такую, что Р„« -+Р. 9. Дать пример вероятностных мер Р, Р„на Я,,яэ(!4)), и > 1, таких, что Є— Р, но для всех борелевских множеств В ЕМ(Л) сходимости Р„(В)- — Р(В) может и не быть. 1О.
Привести пример функций распределения Е =Е(х), Е„=Е„(х), а > 1, таких, что ń— + Е, но зцр [Е„(х) — Е(хЦ т' О, л -+ со. к 11. Во многих руководствах по теории вероятностей утверждение (4) ~ (3) теоремы 2 о сходимости функций распределения Е„, п>1, к функции распределения Е связывается с именами Хелли и Брэя. В этой связи предлагается передоказать следую4цие утверждения: (а) Лемх4а Хаяли †Бр.
Если Е„ =ь Е (см. определение 1), то ь ь )пп ) д(х) НЕ„(х) = ) п(х) ИЕ(х), где а и Ь вЂ” точки из множества точек непрерывности функции распреде- ления Е =Е(х) и д= д(х) — непрерывная функция на [а, Ь]. $2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ 407 (Ь) Теорема Хелли — Брэя. Если г„=» Р и д= д(х) — непрерывная ограниченная функция на (г, то !1гп $ д(х) дг„(х) = $ д(х) дР(х).
12. Пусть Р„=» г и последовательность б /х/» дР„(х)1 ограничена ~л>г дяя некоторого Ь > О. Показать, что тогда йгп ) )х!' дг„(х) = ~ (х!' дг(х), О < а < Ь, йв ) хлдг„(х)=)хьдр(х) для всякого а=1, 2, ..., (Ь], Ь;еЬ. 13. Пусть г" ~ г" и т = ведЯ, т„= гпед(Р„) — медианы Р и г"„соответственно (см. задачу 5 в $4 гл. 1). Предположим, что медианы та и т„ определены однозначно для всех и > 1. Доказать, что т„- т. 14.
Пусть Р— функция распределения, однозначно определяемая своими моментами а»= ') хадг(х), й=!, 2, ... Пусть (Р„)„аг — последовательность функций распределения такая, что моменты а4Л= ') хадР„(х)- аь= ~ х" др(х), А=1, 2, Показать, что тогда Г„=» г. 15. Доказать следующую версию закона болыаих чисел (Хинчин): пусть Хг, Хз, ... — попарно независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним ЕХг = т и 5, =Хг+... +Х„, тогда 5„/и- т.
$ 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений 1. Если задана последовательность вероятностных мер, то, прежде чем рассматривать вопрос о ее (слабой) сходимости к той или иной вероятностной мере, следует, конечно, выяснить, а сходится ли вообще зта последовательность к какой-либо мере или имеет ли она хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность. Так, например, последовательность (Р„), где Рз„ = Р, Рз„+г = О, а Р и С) — различные вероятностные меры, не является, очевидно, сходящейся, но имеет две сходящиеся подпоследовательностн (Рз„) и (Рм+г). ГЛ.
Ш. СХОДНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 408 Совсем просто устроенная последовательность(Р„) вероятностных мер Р„, и) 1, каждая нз которых сосредоточена в точке (и) (Р„((л)) =1), не только не является сходящейся, но н не содержит ни одной сходящейся подпоследовательностн. (Поскольку )пп Р„(а, Ь] =О для любых а с Ь, то л предельная мера должна была бы быть тождественно равной нулю, а это противоречит тому, что ! =Р„(к) ~ О, а- со.) Интересно отметить, что в этом примере соответствующая последовательность функций распределения (Р,), где Ри (х) ~О, х<а, является, очевидно, сходящейся: для любого х е гг г„(х) — 0(х) эд О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
