А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(4»4« 2. При проверке того, является ли данная случайная величина Т безгранично делимой, проще всего исходить из вида ее характеристической функции (а(!). Если для любого п > 1 можно найти такие характеристические функции !р„(1), что у(() = [р„(!)]", то Т безгранично делима. 46. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 44! В гауссовском случае 1 е р(!) =еи е 2, и, полагая РчЩ=ЕиТе 2=, сразу находим, что р(1) = [„, (!)]ь В пуассоновском случае ~(1) ел(е" - 1! и если положить р„(1) =еп(' '1, то р(1) = [у„(!)]".
Если случайная величина Т имеет Г-распределение с плотностью х~-!~-~/в х>0, )(х) = Г(а)13'" ~о, х<0, то (табл. 5, $12 гл. 11) ее характеристическая функция равна ! 'р()= (! ща Следовательно, рЯ = [~р„(1)]", где ! ~'" Т-'чаек и, значит, Т безгранично делима. Приведем без доказательства следующий результат об общем виде характеристической функции безгранично делимых распределений.
Теорема 2 (представление Колмогорова — Деви — Хинчина). Случайная величина Т является безгранично делимой тогда и толь- кО тогда, когда ее характеристическая функция !ь(Г) имеет вид Р(1) =ехр ф(!) с (2 2 0о Нх х 1+хз ф(1) 11 9 + $ [ еик ! ) г(Л(х) (2) где !ТЕ)г, о2 > 0 и Л вЂ” некоторая конечная мера на ()г, Я()г)) с Л(0) =О.
3. Пусть С,, С2, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и 5„=(~+...+4„. Предположим, что существуют такие константы о„, а„> 0 и случайная величина Т, что (3) ач ГЛ. НЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 442 Спрашивается, как охарактеризовать все распределения (случайных вели- чин Т), которые могут возникать в виде предельных распределений в (3)г Если независимые одинаково распределенные случайные величины Сы С2, ...
таковы, что 0< од н0С1 <со, то, полагая Ь„=пЕ4, и а„= т~/й, согласно $4, находим, что Т имеет нормальное распределение 4'(О, !). д Если 7(х) = (х2+д2) — плотность распределения Коши (с параметром д>0) и (ы С2, . — независимые случайные величины с плотностью Дх), то характеристическая функция рб(1) равна е 41'1 и, значит, рвом(1) = г, = (е 1'1)" = е е1'1, т. е. величина 5„/и также имеет распределение Коши (с тем же самым параметром д). Таким образом, в качестве предельных распределений, помимо нор- мального, могут появляться и другие распределения (как, например, рас- пределение Коши).
Если положить с„л= — — —, 1<Ь<п, то найдем, что ь„ ил пал л 5.-Ь. т;-4 ( Т) ь=! Таким образом, все мыслимые распределения для Т, которые могут появ- ляться в качестве предельных в (3), обязательно являются (в соответствии с теоремой 1) безгранично делимыми. Однако специфика рассматриваемых 3,— Ь величин Т„= — дает возможность получить дополнительную инфора, мацию о структуре возникающих здесь предельных распределений. С этой целью введем (с учетом замечания 1) такое Определение 2.
Случайная величина Т (а также ее функция распреде- ления р(х) н характеристическая функция р(1)) называется устойчивой, если для любою п > 1 найдутся такие константы а„> О, Ь„и такие неза- висимые случайные величины ~н ..., С„, распределенные как Т, что (4) а„Т+Ь =Е6+" +й„, Iх — Ьл х илн, что то же самое, р~ ) =р*...*р(х), или ил („,(1))ч ( ( 1))егьм Теорема 3. Случайная величина Т может быть пределом по рас- 3,— Ь, пределению случайных величин, а„> О, тогда и только тогда, ач когда Т является устойчивой. еб, БезГРАничнО лелимые и устойчивые РАспределения 44з доказательство. Если Т устойчива, то, согласно (4), з 5,— Ь, Т= —, ал 5(в=а+ "+~.
(н а, 5л =с(4-1(пч-1+".+6л, (м 5(1 — Ь Т. 5. -Ьл Ясно, что по распределению все величины Т( ~, ..., ТР совпадают и (1) ТЮа Т, и, 1=1,...,й. Обозначим ~й Тй +'"+Тй Тогда так же, как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что У(~1 ~ Т('1 + ... + Т(~1, где Т(', 1<1<lг, независимы и Т('1 =...= Т(М = Т. С другой стороны, (у(41=б+" +Е -""— л ал аеп ГЕ(+ ал + Сап Ььп 1 + ~ел аьп (М у + (у(41 д алл / ап где 41 аь у(М Ььл — ЬЬ л а л 6+" +Е»л-Ьап а ел 5п — Ьл где 5,=с(+" +с„и, следовательно, - Т, ал Обратно, пусть с1, ~з, ... — последовательность независимых одина5п-Ьп а КОВО раСПрЕдЕЛЕННЫХ СЛуЧайНЫХ ВЕЛИЧИН, 5Л ппС( +... + Ел И Т, а, а„> О.
Покажем, что Т является устойчивой случайной величиной. Если Т вЂ” вырожденная случайная величина, то она, очевидно, устойчи- ва. Будем поэтому предполагать, что Т является невырожден ной случайной величиной. Зафиксируем й > ! и обозначим 444 гл. ш. сходимость вероятностных мн Из (6) ясно, что и<"> - >ум> (' Ьл — >М ал где К,„А Т, (4~>-л~ТН>+...+ Ты>, л- со. Из приводимой ниже леммы следует, что найдугся такие константы ам> ) 0 и >Ум>, что а~~> -+ ам>, >У~~> —,д«ь>, л — оо, и л Т>»+...+Та> — >У«~> Т= ам> что и доказывает устойчивость случайной величины Т.
П л Лемма. Пусть с„- с и существуют такие константы а„)0 и Ьл, что Н а„с,+Ь„-+с, причем случайные величины с и с не вырождены. Тогда найдутся такие константы а ) 0 и Ь, что!пп ал =а,!пп Ьл =Ь и С =аС+Ь. емь,«Рл(алУ) +«Р(У) 'рл(«) л 9Ф) (7) (8) равномерно на каждом конечном интервале изменения 1. Пусть (и«) — подпоследовательность (и) такая, что ал,. — а. Покажем прежде всею, что а < оо. Предположим, что а = ос. В силу (7) для любого с>0 зцр(>р„(а„г)( — 1«р(1)(~ — О, п - со. >«><« Возьмем вместо Г величину 1„, = —.
Тогда поскольку ал, -+ со, то го ал, ~р.(а о)~ — ~р( о)~ 0 и, значит, /Ч.,(го)! (ут(0)(=1. Доказательство. Пусть рл, «р и «р — характеристические функции с„, с и с соответственно. тогда ч>,„4„+ь„(1), характеристическая функция а„С„+ Ьл, равна еиь" «р„(а„г), и, согласно следствию к теореме 1 и задаче 3 из $3, 46. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 445 Но !рл(го)!-"!Ф(о)! Потому )~о(Го)!оо) для любого 1ое)7, и, следовательно, согласно теореме 5 из $12 гл.
П, случайная величина должна быть вырождена, что противоречит предположению леммы. Итак, а < со. Предположим теперь, что существуют две подпоследовательности (и;) и (п1) такие, что а„, — а, а„а', где а эо а' и для определенности 0 < а' < а. Тогда из (7) и (8) !р„,.(а„,Г)(- !р(аг)(, !р„,.(а„,())- )~р(1)! ! р„)(а„(г)! !оо(а'г)!, )р„.((а„(1)! )4о(1)!. Следовательно, )р(ат)! = )р(а'1)), и, значит, для любого 1 Е )г !р(Г))=!р(' — г)~=...=~р(('— ) г)~ 1, а о. Поэтому !~р(1)! не! и, согласно теореме 5 из $12 гл. 11, отсюда вытекает, что с — вырожденная случайная величина.
Полученное противоречие показывает, что а =а' и, значит, существует конечный предел 1пп а„=а, причем а > О. Покажем теперь, что существует предел!пп Ь„=Ь и а > О. Поскольку (8) выполнено равномерно на каждом конечном интервале, то р„(а„г) — у(а1), и, значит, в силу (7) существует !пп епо" для всех тех 1, для которых л оо Р(аг) т40.
Пусть б>0 таково, что для всех !1! <б 1о(аг) ~0. Тогда для таких Г существует!пп ево". Отсюда можно вывести (задача 9), что тогда 1пп !Ь„! < Пусть существуют две подпоследовательности (и;) и (и,') такие, что )пп Ь„, = Ь и 1пп Ь„; = Ь'. Тогда для !1! < б пь пь' н, следовательно, Ь = Ь'. Итак, существует конечный предел Ь = йгп Ь„и, согласно (7), 1Ь(1) епо р(а() что означает, что С=аС+Ь.
Поскольку С невырождена, то а>0. П 4. Приведем теперь (без доказательства) теорему об общем виде хаРактеристической функции успгойчивых распределений. ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Теорема 4 (представление Леви-Хиичииа). Случайная величина Т является устойчивой тогда и только тогда, когда ее каракте- ристическая функиия ~р(!) имеет вид 1е(!) = ехр ф(!) с ф(!) = Г(~3 — а'[! [ (1+ (й — С(С а)), [г! где 0<а<2, Де(7, а >О, [0[<1, — =0 при(=Он [1! !8 — а, если а тг 1, 0(1, а) = — !п [([, если а= !. л Отметим, что особо просто устроены характеристические функции с метричнык устойчивых распределений: ~р(г) =е (10) им(11) где 0<а<2, й >О.
5. Задачи. л г л !. Показать, что если ~„ — С и С„ - и, то С = и, 2. Показать, что если р| и рз — две безгранично делимые характеристические функции,то р~-ч>г †так безгранично делимая характеристическая функция. 3. Пусть р„ — безгранично делимые характеристические функции и р„(!)- 1е(1) для каждого ! б й, где р(!) — некоторая характеристическая функция. Показать, что ~р(!) безгранично делима. 4.
Показать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения не обрашается в нуль. 5. Привести пример случайной величины, являюшейся безгранично делимой, но не устойчивой. б. Показать, что для устойчивой случайной величины с математическое ожидание Е ф' < оо для всех г Е (О, а), 0 < а < 2. 7. Показать, что если 4 — устойчивая случайная величина с параметром 0<а <1, то р(!) не дифференцируема при ! =О. 8. Дать прямое доказательство того, что функция е гр! с д>0, 0 < а < 2 является характеристической.
9. Пусть (б„)„>~ — числовая последовательность такая, что для всех [![<б, б>0, сушествует 1пп еи~". Показать, что тогда !нп [б„] <со. л 10. Показать, что биномиальное и равномерное распределения не являются безгранично делимыми. 11. Пусть функция распределения Р и ее характеристическая функция р допускают представления Р=Рм1*...*РН1 (и раз), !с= [р<"1]" 47, «метризунмость» славой сходимости 447 с некоторыми функциями распределения Рм) и их характеристическими функциями (р("), я > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
