А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость Вероятностных мер Р"'(А"') — 1 и Р»'(А»') -+ О, й — оо. Сразу отметим, что разделимость есть понятие симметричное: (Р") 4ъ гг(Р") 44 (Р") Гз (Р")д Контигуальность этим свойством не обладает. если (Р") а (Р") и (Р") г» (Р"), то пишут (Р") и!» (Р") и говорят, что последовательности мер (Р") и (Р") взаимно контигуалычы, Отметим, что в случае, когда (й", .йг") = (Г1, .йг), Р" = Р, Р" = Р для всех а > 1, имеем (1) (2) (з) (Р")а(Р") с> Р«Р, (Р") и (Р") «ь Р Р, (Р") д(Р") «э Р~Р.
Эти свойства и данные выше определения объясняют, почему контигуальность и полная асимптотическая разделимость часто трактуются как «асимптотическая абсолютная непрерывность» и «асимптотическая сингулярность» для последовательностей (Р") и (Р"). 1. Эти понятия играют фундаментальную роль в асиматопгической теории математической статистики, являясь естественным распространением понятий абсолютной непрерывности и сингулярности двух мер на случай последовательностей пар мер. Начнем с определений. Пусть (й", Я")„в~ — некоторая последовательность измеримых пространств и (Р")„>ы (Р")„»! — последовательности вероятностных мер, где Р" и Р" определены на (Г!",,йг"), и > 1. Определение 1.
Говорят, что последовательность мер (Р") контигуальна последовательности (Р") (обозначение: (Р") ~(Р")), если для всех А" Е .йг" таких, что Р"(А") - О, и -+ со, имеем Р"(А") — О, и — со. Определение 2. Говорят, что последовательности мер (Р») и (Р") полностью асимптотически разделимы (для краткости — разделимы; обозначение: (Р") д (Р")), если сушествуют подпоследовательность па ! оо, й -+ со, и множества А"" е.»г"" такие, что 4 !О. КОНТИГУАЛЬНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 47! 2.
Приводимые ниже теоремы 1 и 2 являются естественным распространением теорем 2 и 3 из $9 на случай последовательностей мер. Пусть (й", дг")„>! — последовательность измеримых пространств, г,!л — вероятностная мера на (й",,У"), п > 1, и с" — случайные величины (вообще говоря, расширенные; см.
$4 гл. П) на (й", вя'и), и > 1, Определение 3. Последовательность случайных величин (Еп) называется плотной относительно последовательности мер (О") (обозначение: (~л(!',!") плотно), если 1нп 11п! !л! (!ч ~ >Я=О. И гоп (Ср. с соответствующим определением плотности семейства вероятностных мер в 2 2.) Далее всюду будем полагать р" +Фа 2 йрл л ИР" ,Д)л ' 4(Ол Будем обозначать также -л лап зл (5) Рл(е" ( — ) =Ео. (а"I(е" ( — )) (— (б) и 2" < — „, то зл ' — „~ Рл) плотно, (2" '!Р") плотно. (; ' 1 Теорема 1. Следующие условия являются эквивалентными: (а) (Рл) 7(рл), (Ь) ( — „~ Рл) плотно, (Ь') (2л )Рл) плотно, (с) !цп !!ш Н(аг Рп Рп) а!О л Теорема 2. Следующие условия являются эквивалентными: (а) (Рп) л (Рл) (Ь) 1!гп Рп(ал > е) = О для всякого е > О, л (7) производную Лебега меры Р" относительно меры Р" (см.
формулу (29) 2 в $9), считая — = оо. Заметим, что если Р" «Р", то 2" есть в точности О йрп один из вариантов плотности — меры Р" относительно Рл (см. $ б гл. П). йрп Для дальнейшего полезно отметить, что поскольку 472 ГЛ. 1П. СХОЛНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (Ь') )пп Рл(Х" < Н) = 0 для всякого Н > О, (с) 1ггп !пп Н(а; Р", Рл) =О, а10 л (д) Йгп Н(а; Р", Рл) = 0 для всек а е (О, 1), л (е) )пп Н(а; Р", Рл) = 0 для некоторого а Е (О, 1). Доказательство теоремы 1. (а) ~ (Ь). Если (Ь) не выполнено, то существуют е > 0 и последовате- льность лл Т оо такие, что Р"' (гла < — 1 > е. Но в силу (б) Рл'!ела < — 1 < пег па 7 1 < — -+ О, )г — оо, что противоречит предположению (Р") < (Рл). ял (Ь) чо (Ь'). Достаточно лишь заметить, что Е" = — — 1.
гл (Ь) =ь (а). Пусть Ал Е.ргл и Рл(Ал) — О, и - оо. Имеем )а" (Ал) < Р" (гл ~ Е) + ЕО. (гдл/(Ал П(гл > Е))) < < рл( л < )+ Е ( л((Ал)) рл( л < .) + Рл(Ал» г 1 Значит »пп Рл(Ал) <!пп Ргг(г" < е) е>0. Рл(гл <е) =О. Тем самым Утверждение (Ь) равносильно тому, что! пп 1~п лго Рл(Ал) - О, т. е. (Ь) =ь (а). (Ь) =ь (с). Пусть е > О. Тогда лалла Н(а; Р", Рл)=Ег7.!(г") (г")г "] >ЕО.[~=„~ 1(гл >е)l(гл>0)г"~ = =Ер„[( —,) )(г")е)~) Н Р"(г")е), (8) поскольку гл+гл=2.
Значит, для е>0 (пп )пп Н(а; Р", Р")>11т~-) )пп Р(гл>е)=!пи Р" (гл>е). (9) аге л аге ~ В силу (Ь) !!го !!го Р" (гл > е) = 1. Поэтому из (9) и того, что Н(а; Р", Р") < 1, л10 следует утверждение (с). 5 !О. КОНТИГУАЛЬНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 473 (с) =ь (Ь). Пусть б Е (О, 1). Тогда Н(О. Р Рл) = ЕО [(Ел)~(2~)~-~((зи < Е)[+ +Ео.[(ел) (гл)' ((ел >е гл < 6)]+Ео.[(ел)а(2»)' 7(ел >е 2» >6)[ < (2е + 26' + Ед.
[г" [ — ) !(еи > е, 2» > 6)] ( г2~а <2е +26~ + ~-) Р"(ал>е). (1О) Поэтому бла 1пп 1нп Рл(зл > е) > ~-) )пп Н(о; Р", Рл) — — б »РЗ л для всех о Е(0, 1), 6Е (О, 1). Полагая сначала о.[0, используя (с) и затем беря б(0, получаем )нп )пп Рл(зл > е) > 1, .1О » откуда вытекает справедливость (Ь). П Доказательство теоремы 2.
(а) ~ (Ь). Пусть(Р») ь(Р"), па[ос, и А" ЕЯ" таковы, что Рлл(А»л)- 1 и Рл'(Ал ) — О. Тогда с учетом того, что ел+ 2» = 2, имеем Рпл(ел. > е) < Рлл(А»,)+ Е (ел» . /(Алл)((еил > е)~ рлл(А»л)+М (~ ((Апл)(( лл > .)~ -флл(А»л)+ Ри»(А»*) е Следовательно, Р" (ал > е) — 0 и, значит, выполнено (Ь). (Ь) =ь (а). Если выполнено (Ь), то существует последовательность ль ! оо такая, что Р ' ~з " > -7! < — — О, и -+ со. л л - А)'-А !т ! Отсюда, заметив (см. (6)), что Рл' ~г"' > е7! >1 — —, получаем утверждение (а). (Ь) с-.ь (Ь'). Достаточно лишь заметить, что Е" = — „— 1. (Ь) =ь (д).
В силу (10) и (Ь) )нп Н(еп Р", Ри) <2е +26' и для произвольных е и б из интервала (О, 1). Поэтому (д) имеет место. (д) =ь (с) и (д) =ь (е) очевидны. ГЛ, Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 474 Наконец, из (8) имеем /2 а )ип Р"(г" >г)< ~-) 1!в Н(о; Р", Р"). где Рз и Рз заданы на (йю .Яге), й > 1. Поскольку в этом случае т, и(!-(!-Н[а;Р„Р,!!! Н(о; Р", Р ) П Н(о; Ры Рь) =ени то из теорем 1 и 2 получаем следуюший результат: (Р")а(Р") еь 11в (ип ~ [1 — Н(о Рм Р~)[=0, .!о ° Ф=! л (Р") а(Р") еь 1!в ~~! [1 — Н(а; Рм Рз)[=со.
Ф=! (11) (12) Пример. Пусть (йю,йга) = (Й, мг(й)), аз Е [О, 1), Ра(г(х) = ((о и (х) с(х, Рз(г(х) = — (! О (х) с!х. Поскольку здесь Н(а; Ры Рз) = (1 — аь), о Е (О, 1), то из (11) и того факта, что Н(о; Ры Ра) = Н(1 — о; Рю Рь), находим (Р") а(Р") еь !ип па„<со, т.е. а„=О~-), (Р") а(!и") еь (ип па„=О, т.е. а„=о(-) (Р")(!(Р") еь (ип па„=оо. 4. Задачи. Пусть рп рих хрх Рп ркх хрп п>1 !.де рх н Рп гауссовские меры с параметрами (а", 1) и (а", 1). Найти условия на (а"„) и (а"), при которых (Р") а(Р"), (Р") с! (Р"). /2х а Поэтому (с) ~ (Ь) и (е) =ь (Ь), поскольку ~-) — 1, о.[0. П Е 3.
Рассмотрим один частный случай, соответствуюший схеме независимых наблюдений, где вычисление интегралов Н(о; Р", Р") и применение теорем 1 и 2 не представляет больших трудностей. Предположим, что меры Р" и Р" есть прямые произведения мер: Р" =Р! х ...
х Р„, Р"=Р! х ... х Р„, и > 1, 4 и. скорость сходимости в ц.и.т. 475 2. Пусть Р" = Р" х ... х Р" Р" = Р! х ... х Р" где Р" и Р" — вероятностные меры на (к, Я(г!)) такие, что Р"(дх) =l!о,!!(х)Ых, Р„"(дх)= =!1,„!+,„1(х) Нх, О < а„<! . Показать, что И(о; Р", Рлл) = 1 - а„и (Р") а(Р") еь (Р") з(Р") 44 !нп па„=О, (Р") 4!(Р") еь йт ла„=со. (Р„) <!(Р„) еь Р «Р, (Р„) и (Р„) еь Р Р, (Р„)а(Р„) 4.
"РЛ Р. $11. О скорости сходимости в центральной предельной теореме 1. Пусть с„!, ..., с — последовательность независимых случайных величин, 5„=4„!+...+С„„, Р,(х)=Р(5„<х), л>1. Если 5„- Ф'(О, 1), то для всякого х Е Я Р„(х) — Ф(х). Поскольку функция Ф(х) непрерывна, то на самом деле сходимость здесь равномерная (задача 5 в $1): зцр !Р„(х) — Ф(х) ! — О, л — со. к Естественно поставить вопрос о скорости сходимости в (1). Приведем соответствующий результат для того случая, когда 5„= 4! + "+си в~/л п > 1, где с!, сз, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с ЕС4=0, 054=аз >О и Е(5!)з <оо. Теорема (Берри и Зссеен). Имеет место оценка з"р !Р (х) - Ф(х)! < з СЕК!(з Л вз!/й (2) где С вЂ” абсолютная константа ((2я) !7з < С <0,7655). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
