А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В. Александровой [2). По поводу основных понятий теории вероятностей см. книги А. Н. Колмогорова [32], Б. В. Гнеденко [15), А. А. Боровкова [7), Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина [17], А. М. Яглома и И. М. Яглома [83], справочное пособие Ю. В. Прохорова и Ю. А. Розанова [56], справочник [65) и книги В. Феллера [69), Ю. Неймана [5!], М.
Лоэва [42], Лж. Л. Луба [20), переведенные с английского. Укажем также на сборники [46) и [67), содержащие большое количество задач по теории вероятностей. При составлении настоящего учебного пособия автор использовал разнообразную литературу. Из учебных руководств на английском языке особо отметим книги Л. Бреймана [8], П. Биллингсли [106], Р.
Эша (80), [8!], Р. Эша и М. Гарднера [82], Р Ларрета [108] — [110) и Лж. Лампертн [37], являющиеся (по мнению автора) образцами удачной подачи материала. Полезный справочный материал по теории вероятностей и математической статистике читатель может найти в Большой Советской Энциклопедии, Малой Советской Энциклопедии, в Математической Энциклопедии (121] и в энциклопедии <Вероятность и математическая статистика» [125). Основным научным журналом по теории вероятностей и математической статистике, издаваемым в нашей стране, является журнал «Теория вероятностей и ее применения» (изд-во «Наука»), выходящий с 1956 г.
«Реферативный журнал», выпускаемый ВИНИТИ вЂ” Всесоюзным институтом научной и технической информации (Москва), — печатает рефераты на статьи по теории вероятностей и математической статистике, публикуемые как у нас, так и за рубежом. Лля большинства вероятностно-статистических приложений, требующих обращения к таблицам, полезными являются «Таблицы математической статистики» Л. Н. Большева и Н. В. Смирнова ]6). При современном широком использовании компьютерной техники полезно обращение к статистическим пакетам М!Н(ТАВ, БР55, ... Среди пользователей весьма популярны пакеты «Ма(пеша((сав» (см.
книгу [126]). БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА (ГЛАВЕЯ 1 — П!) 493 ГЛАВА 1 9 1. О построении вероятностных моделей см. также стзтью А. Н. Колмогорова (3!), книгу Б. В. Гнеденко (15[. Большой материал, касающийся вопросов типа «размещение дробинок по ячейкам», см. в книге В.
Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова н В. П. Чистякова [34(. 9 2. По поводу различных вероятностных моделей (в частности, одномерной модели Изннга), возникающих в статистической физике, см., например, книгу А. Исихары (25). $3. Формула и теорема Байеса лежат в основе так называемого байесовского подхода в математической статнстнке. См., например, книги М.
Де Гроота [18] н Ш. Закса [22]. 9 4. Различные задачи, касающиеся случайных величин н нх вероятностных характеристик, можно найти в сборниках задач (46] н [67). 9 5. Комбннаторное доказательство закона больших чисел, восходящее к Я. Бернулли, можно найти, например, в [69, т. 1]. По поводу эмпирической интерпретации закона больших чисел см. статью А. Н.
Колмогорова (3!). 9 6. По поводу уточнений в локальной н ннтегральной теоремах, а также в теореме Пуассона см. книгу А. А. Боровкова [7) и статью Ю. В. Прохорова [54]. 9 7. Излагаемый здесь материал на примере схемы Бернулли иллюстрирует некоторые основные понятия н методы математической статистики. Подробнее см., например, монографии Г Крамера (35[ н Б. Л. Ван дер Вардена [10]. 9 8. Рассмотрение условных вероятностей н условных математических ожиданий относительно разбиений поможет лучше освоиться с вводимыми далее более сложными понятиями условных вероятностей и условных математических ожиданий относительно а-алгебр.
9 9. Задача о разорении рассматривалась в прнводнмой здесь форме,в сущности, еще Лапласом. См. по этому поводу статью Б. В. Гнеденко н О. В. Шейнина в сборнике [45). Обширный материал на эту тему содержится в книге В. Феллера [69, т. 1). 9 10. Принятое здесь изложение следует в основном книге В. Феллера [69].
Метод доказательства соотношений (10) н (11) дан в статье [19). 9 11. Теория мартингалов подробно изложена в книге Дж. Дуба (20]. Иное доказательство теоремы о баллотировке можно найти, например, в книге В. Феллера [69, т. 1]. 9 12. Обширный материал по марковским цепям содержится в книгах: В. Феллер )69, т. 1), Е. Б. Дынкнн [2! ), Е. Б. Дынкин и А. А. Юшкевич [102], Чжун КайЛай (75), (120), Д. Ревюз [!! 7), Дж. Кеменн и Дж.
Снелл (27], Т. А. Сарымсаков [6! (, С. Х. Снраждннов [64(. Теории ветвящихся процессов посвящена монография Б. А. Севастьянова (62). ГЛАВА П 9 1. Аксноматнка Колмогорова наложена в его кннге [32(. 9 2. Материал об алгебрах н о-алгебрах см. также в книгах А. Н. Колмогорова н С.
В. Фомина [33), Ж. Невй [49(, Л. Бреймана (8), Р. Эша [81). БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА (ГЛАВЫ ! — !И) 6 3. Доказательство теоремы Каратеодори см. в книгах М. Лоэва [42], П. Халмоша [70]. 5 4 — 5. Большой материал об измеримых функциях можно найти в книге П. Халмоша ]70]. 9 6. См. также книги А.
Н. Колмогорова и С. В. Фомина (33], П. Халмоша (70), Р Эша [8!]. В этих книгах содержится и доказательство теоремы Радона— Никодима. Иногда неравенством Чебышева называют неравенство Ест Р((6>з) < —,, а неравенство Р([5(>а)< —,, г>0, Е[4(' называют неравенством Маркова. ф 7. Определение условной вероятности и условного математического ожидания относительно гг-алгебр было дано А. Н. Колмогоровым [32).
Обширный материал по рассматриваемым вопросам содержится в книгах Л. Бреймана [8) и Р Эша [81]. в 8. См. также книги А. А. Боровкова [7), Р Эша (81], Г. Крамера [35), Б. В. Гнеденко [15[. й 9. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданными конечномерными распределениями содержится в его книге [32).
По поводу теоремы Ионеску Тулчи см. также книги Ж. Неве [49] и Р. Эша [81). Приводимое здесь доказательство следует [81). в 10 — 11. См. также книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [33), Р Эша [81), Дж. Дуба [20], М. Лоэва [42). 9 12. Теория характеристических функций излагается во многих книгах. См., например, Б. В.
Гнеденко (15), Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров (16], Б. Рамачандран [57). Изложение формул связи моментов и семнинвариантов следует статье В. П. Леонова и А. Н. Ширяева (40). 9 !3. См. также книги И. А. Ибрагимова и Ю. А. Розанова (24], Л. Бреймана [8], Р.
Ш. Линдера и А. Н. Ширяева [41], Дж. Гриммета и Д. Стирзакера ]105], Дж. Ламперти [37). ГЛАВА 1Н 9 1. Подробное изложение вопросов слабой сходимости вероятностных мер и распределений содержится в книгах Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [16] и П. Бнллингсли ]5(. ф 2. Теорема Ю. В. Прохорова содержится в его статье [55).
9 3. Методу характеристических функций в доказательстве предельных теорем теории вероятностей посвящена монография Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [16]. См. также П. Биллингсли [5). Приводимая задача 2 охватывает как закон больших чисел Я. Бернулли, так и закон больших чисел Пуассона, который предполагал, что 5ц 5т, ...
независимы, принимают два значения (1 и О), но, вообще говоря, разнораспределены: Р(Б = Ц = рц Р($ =О) = ! — р„ ! > 1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА (ГЛАВЫ 1 — Ш) 495 5 4. Здесь приводится традиционное доказательство центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин при выполнении условия Лнндеберга. Ср. с ]!6],[92]. 5 5.
Вопросы справедливости центральной предельной теоремы без условия предельной пренебрегаемостн привлекали внимание еше П. Леви. В монографии В. М. Золотарева [88] содержится подробное наложение современного состояния теории предельных теорем в неклассической лоспгаиовке. Приводимая формулировка и доказательство теоремы 1 даны В. И. Ротарем [96]. 9 6. Изложение использует материал книг Б. В. Гнеденко н А. Н. Колмогорова [!6], Р Эша [8!] н В.
В. Петрова [53], [92]. 9 7. Метрика Леви †Прохоро введена в известной работе Ю. В. Прохорова [55], которому принадлежат н результаты относительно метризуемостн слабой сходнмостн мер, заданных на метрических пространствах. По поводу метрики ]]Р— Р]]а„см. статью Р.
Дадлн [85] н книгу Д. Полларда [93]. 5 8. Теорема ! принадлежит А. В. Скороходу. Полезный материал относительно метода одною вероятностного пространства можно найти в учебном пособнн ! 999 г. А. А. Боровкова [7] н монографии Д. Полларда [93].
9 9 — 10. Укажем ряд книг, в которых содержится большой материал, касающийся затрагиваемых вопросов: Ж. Жакод н А. Н. Ширяев [87], Л. Ле Кам [89], П. Е. Грннвуд н А. Н. Ширяев [84], Ф. Лизе н И. Вайда [90]. 6 11. Большой материал относительно оценок скорости сходнмостн в центральной предельной теореме содержится в монографии В. В. Петрова [92]. Приводимое доказательство теоремы Берри и Эссеена содержится в книге Б. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
