А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 80

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 80)

Пусть (й, Ф, (Я„)„>о) — фильтрованное измеримое пространство, т. е. измеримое пространство (й, Я) с введенным на нем потоком в-алгебр (Яг„)„>а таких, что Я>СЯ! С... Слг. Предположим, что Я=в(Ц Я„). л Пусть Р и Р— две вероятностные меры на (й, Я) и Р„= Р)Я„, Р„= Р)ӄ— их сужения на Я„. Показать, что ГЛ.!и.

СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Доказательство. Для простоты пусть вз=) и ~Зз=Еф[з. Согласно неравенству Эеееена (п. 1О в $12 гл. П), т зцр [Р„(х) — Ф(х)[< — $ ~ " ~ )сИ+ — —, (3) р где ~о(1) =е 'Г и ж) = [/(+)~" с )(1)=Еевб. В (3) положительное число Т можно выбирать произвольным образом. Возьмем Т= —. ~/й без ' Как будет показано ниже, при таком выборе Т з Р И я Р(Г)[<7 Ц [1[ае Т [1[< Т (4) С учетом этого неравенства из (3) сразу получаем требуемую оценку (2), где С вЂ” некоторая абсолютная константа.

(Более тонкие рассмотрения показывают, что ее значение меньше 0,7655; см. [88, гл. 5, $4.3[.) Итак, перейдем к доказательству неравенства (4). согласно формуле (18) из% 12 гл. 11 (и = 3, ес1 = О, есз1 = 1, е !41!а < оо), имеем 7(1) = Еевб = 1 — — + — [ЕСз1(соз В~(Е~ +1 е4п узЦ~)[, (5) 2 6 где [6~[<1, [уз!<1.

Поэтому 7( — ) 1 — + з2 [Е4~(соз д~ — 4ю+1 ьйп дз — 4ю)~. Если [1[< Т=т/а/(5Д), то с учетом неравенства !3з>вз=1 (см. (28) $6 гл. 11) находим, что -иь)~-~ — ( — '.)~-2 ."'-Й Следовательно, при [1! < Т возможно представление [1( — )~ =е Ъ), (6) где под 1п а понимается главное значение логарифма комплексного чис- ла е (1п г=)п [х[+(агдх, -я<аг8 а<я). 4 ! !. скорость сходимости в ц.п.

с 477 Поскольку )уз(со, то по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (ср. также с (36) из $12 гл. П) видим, что так как семиинварианты 54( ! = Е~~ = О, 54( ! = аз =!. Далее, Т"' (5) Т~(5) — 37'"(5) Т'(5) 7(5) + 2(Т'(5)) (5) е((К~)земмц~(5) — зе((Кр) ем'*) е((К~)еммц(5)+2е[(К1)емм)~ гз( ) Откуда с учетом того, что !7 ~ — 7! ~ > — при !Г! < Т и (7(5)) < 1, находим 26 (А = Е К~ !», й = 1, 2, 3; Д < )Ззг' < )узг; см. (28) $6 гл. П). Из (6) — (8), используя неравенство !е' — ! 1<)з(е1*1, получаем для !Г!< Т= —, что ~/л без ![)( — )1 — е 2)=)е"'" (й%) — е '5 ~< 7 бз!Г)з г Гз 7 , Вз 1 7 )уз(Г!з 6,/а» 2 6,Д) 6,/й ( — — ехртт — — +-!Г(з — 1( — е т.

П Замечание. Отметим, что без дополнительных предположений о природе суммируемых случайных величин порядок оценки (2) и оценка С > (2к) 02 не могут быть улучшены. Действительно, пусть сь сз, ...— независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины с РК» =+1) = РК» = — 1) = 2. ! В силу симметрии очевидно, что 2Р ~ с»<0 +Р ~~ с»=0 =1 478 ГЛ. ПЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР и, значит, по формуле Стирлинга ((6) $2 гл. 1) ) 2 2 ~ х-! ) 2 ~" 2~/лл лт/(2л)(2л) Отсюда, в частности, следует, что константа С, входящая в (2), не меньше чем (2я) !7з, и сп 1 Р ~» се=О, и оо.

(9) 2. Задачи. 1. Доказать формулу (8). 2. Пусть с!, сз, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с Е(» =О, (»(а =аз и Е1С!!з < со. Ивестно, что тогда справедлива следующая неравномерная оценка: для всех -оо < х < со 1Р'„(х) — Ф(х)! < з ' з. СЕ!4!!з 1 Дать доказательство этого результата, по крайней мере, для бернуллиевских случайных величин. 3. Пусть (~ь)ь> ! — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения ~! с вероятностя!! ! м ми 1/2. Пусть рз(1) = Еено = -(ен + е л). Показать, следуя Лапласу, что 2 (5ь =с!+ ...

+ се) Р(5в, =О)= — ~ р (!)Ж вЂ” л-+со л ! 7Г о ~/ял л' 4. Пусть (~ь)ь>о — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих 2а+ 1 целочисленных значе/ а ния О, Ы, ..., ~а. Пусть !рз,+!(!) =Еелп = ~1+2 2 соз гл 1+2а ~ Также, следуя Лапласу, показать, что В частности, для а=1, т. е. случая, когда ~ь принимают лзри значения -1, О, 1, Р(5„=0) —, и- со. ~/8 2~/лл л' 412. О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ТЕОРЕМЕ ПУАССОНА ф 12.

0 скорости сходимости в теореме Пуассона 479 1. Пусть 61, С2, ..., ф— независимые бернуллиевские случайные величины, принимающие значения 1 и О с вероятностями Р(С»= Ц=р», РК»=О)=д» (=1 — р»), 1<й<п. Обозначим 5=61+...+4„, В=(Ва, В1, ..., В„) — биномиальное распределение вероятностей суммы 5, где В»= Р(5 =А). Пусть также П= =(По, П1, ...) — пуассоновское распределение с параметром Л, где е-лл» П»=е „, й>О. В п. 4 $6 гл. 1 отмечалось, что если р1=...=р„, Л=пр, то имеет место следующая оценка (Ю.

В. Прохоров) для расстояния по вариации между мерами В и П (В„„.1 = В„„.2 =... = О): ((В-П!)=~~ (В»-П»(<С1(Л)Р=С1(Л) —, л »=о где С1(Л) = 2 пнп(2, Л). л Для случая не обязательно равных р» таких, что ~ р» = Л, Л. Ле Кам »=1 показал, что ((В-П!!=~ ' ~!В» — П»(<С2(Л) п1ах ры »=о 1<»<« где С2(Л) =2 гп)п(9, Л).

Из приводимой ниже теоремы будет следовать оценка (4) (6) Ц — П1! <Сз(Л) гпах ры 1<»чл (6) в которой Сз(Л) =2Л. Хотя С2(Л) < Сз(Л) при Л > 9, т. е. оценка (6) хуже оценки (4), мы, однако, предпочитаем дать доказательство оценки (6), поскольку оно, по существу, элементарно, в то время как стремление получить хорошую» константу С2(Л) в (4) сильно усложняет технику доказательства. ГЛ.

ПЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 480 2. Теорема. Пусть Л= 2 р». Тогда »»а () — П!(лл~ !В» — П»!<2 ~ р»э. (8) Доказательство. Воспользуемся тем обстоятельством, что каждое из распределений В и П есть свертка распределений: В =В(р,)*В(р,)*...*В(рл), П=П(р~) «'П(ре) «'... «'П(рл), (9)  — П = В1 +... + В„ (10) где В =(В(р )-П(р «*Р Р, =П(р,)*...*П(р.), р»=В(р,)»..*В(р„,)*П(р»ы)*...*П(рл), 2<й<п — 1, Рл лл В(рь) л...

л В(рл ь). В силу задачи 6 из $9 !!Щ < )(В(р») — П(р»и!. Поэтому из (10) сразу находим, что л !!В-П!)<~ '!!В(р„)-П(р,)!1 (12) »ен Учитывая формулу (12) из $ 9, видим, что подсчет вариаций )(В(р»)— — П(р»И! не представляет сложностей: ! — Рь е !(В(р») — П(р»)!! = )(! — р») — е сь)+ !р» — р»е ль!+ ~~ рлэ =)(1 — р)-е ль!+!р» — р»е ль!+1 — е м — р»е»«=2р»(! — е ль)<2р» Отсюда и из (12) получаем требуемое неравенство (8).

П л Следствие. Поскольку 2 р»з < Л тах ры то имеет место о«(ен 1с»сл ка (8). понимаемых как свертка соответствующих функций распределения (см. п. 4 $8 гл. 11), где В(р») = (1 — ры р») — бернуллиевское распределение в точках 0 и 1, а П(р») — пуассоновское распределение, сосредоточенное в точках О, 1, ..., с параметром р». Нетрудно показать, что разность  — П может быть представлена в виде й !3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 48! 3. Задачи. 1. Показать, что при Л» = — 1п(1 — р») )!В(р») — П(Л»Ц = 2(1 — е М вЂ” Л»е "') < Л~~ и, следовательно, !! — П!! < 2', Лз».

»4Н 2. Доказать справедливость представлений (9) и (1О). ф !3. Фундаментальные теоремы математической статистики 1. В 5 7 главы ! были рассмотрены некоторые задачи оценивания и построения доверительных интервалов для вероятности «успеха» по наблюдениям над случайными величинами в схеме Бернулли. Эти задачи являются типичными для математической статистики, занимающейся в определенном смысле обратными задачами теории вероятностей. Так, если в теории вероятностей основной интерес состоит в том, чтобы для заданной вероятностной модели рассчитывать те или иные вероятностные показатели (вероятности событий, распределения вероятностей и их характеристики случайных элементов, и т. д.), то в математической статистике мы интересуемся тем, как по имеющемуся статистическому сырью выявить (с определенной степенью надежности) ту вероятностную модель, в рамках которой статистические свойства эмпирических данных наиболее всего согласуются с вероятностными свойствами случайного механизма, порождающего эти данные.

Приводимые ниже результаты (Гливенко, Кантелли, Колмогоров и Смирнов) по праву могут быть названы фундаментальными теоремами математической статистики — они не только устанавливают принципиальную возможность извлечения из статистического сырья вероятностной информации (о функции распределения случайных величин, над которыми производятся наблюдения), но и дают возможность оценить степень согласия эмпирических данных с той или иной вероятностной моделью. 2.

Пусть ~н сз, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, заданных на некотором вероятностном пространстве (П, лг, Р) и р = р(х), х е й, есть их функция распределения (р(х) = РК» <х)). Для каждого АГ > 1 введем эмпирические функции распределения и р (х „,) ~~, /(Р»(ы)<х), хе(с. 482 ГЛ.!и. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР В соответствии с законом больших чисел ($3, теорема 2) для каждого хе)г Гн(х;ы)- Г(х), М- оо, (2) т. е.

Характеристики

Список файлов книги