А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ОФ <! Вообще говоря, слабой сходимости всех конечномерных распределений Р!. ц — Рь„.л„О<Г~ <Гз<" <Г»=1, А>1 (т. е. сходимости Р!н1=»Р !»о г в обозначениях задачи 3 в $1) еще не достаточно (см. п. 5 в $1) для сходи- мости распределений функционалов ДХ!М) = зцр ]Х]~ — !Х!~] к функциокск1 опалу 7(Х) = эцр ]Х~ - (Х1 ], где Хс = Вс — броуновское движение, О < ! < 1, ой~к~ Однако в рассматриваемом случае это действительно так и вытекает из следующих рассмотрений.
Траектории процессов Х!»О принадлежат пространству 0 =0[0, 1], а траектории Х вЂ” пространству С = С[0, 1] С 0 (см. пп. 6 и 7 3 2 гл. П). В пространстве 0 можно ввести «метрику Прохорова» р (в [5, гл. 3] р обозначено до, в [87, гл. Ч!] р = 6), относительно которой метрическое пространство (О, У, р) становится польским, т. е. полным сепарабельным пространством. (Пространство (О, У, р) с «метрикой Скорохода» д, определенной в п. 7 $2 гл.
П, будет только сепарабельным, а для последующего применения теоремы Прохорова из $2 гл. РП нужна еще и «плотность».) Относительно метрики р функционал Т(х) = эцр ]х, — гх~] (совпадаюокгк~ щий, очевидно, с эцр ]х~ — (х~]), где х = (х~)ем~<1 Е О, является непреокг<~ рывным, и поэтому для доказательства сходимости 7(Х!»О)- 7(Х) (т. е.
4 !3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 489 сходнмости по распределению) достаточно (задача 2) доказать лишь слабую сходимость Ргп — Р (в (О, У, р)). Обычная процедура установления этой сходимости, непосредственно инициируемая теоремой Прохорова, основана иа справедливости (задача 3; см. также обозначения в задаче 3 $1) следующей импликации: [[Р'М ~ Р] Ю [плотность (Р~н7)] ® а[класс.д~~(0) является определяющим]) ~ (Рио- Р). (22) !!гп Р[ИОн(и7)<у)=Р( зцр ]В;]<у~, н оа (о<!к~ (23) где В' = (В;)о<7к~ — броуновский мост. !б — 9727 (Здесь .Жо(0) — класс цилиндрических множеств; п.
5 $ ! .) В рассматриваемом случае имеется сходимость конечномерных распределений РРЛ=~Р и класс цилиндрических множеств йе(0) действительно является определяющим (п. 7 $2 гл. П). Самое трудное, конечно, в применении импликации (22) — это проверка того, что рассматриваемое семейство мер (Р!47) плотно.
Эта проверка основывается на характеризации компактных множеств в О, входящих в определение (формула (1) в $2) плотности семейства мер, что выходит за рамки настоящей книги. (Соответствующие доказательства см. в [5, теорема !5.2] и [87, гл. у'1, 3.21].) В заключение этих рассмотрений заметим, что существует и другой путь установления сходимости ((Х!н7) — ((Х). Состоит он в следующем. Разрывные процессы ХОЛ можно аппроксимировать непрерывными процессами Х!м такими, что зцр [Х]~(и7)-Х7! !(и7)]<в для всякого е>0 при всех 9<7<1 достаточно больших А7 и всех и7 е П. Поэтому достаточно доказывать лишь сходимость ((Х!н7) -+ ((Х), что несколько проще, поскольку тогда можно оперировать не с пространством О, а с более простым пространством С, в котором критерии <плотности» ([5, гл.
2], [87, гл. у'!], по крайней мере в рассматриваемом случае, легко проверяемы. 5. Положим В;=В7 — ГВН 0<! <1. Этот процесс является гауссовским, Во =О, ЕВ; =О и ЕВ;В;=ппп(з, !) — з!. В п. 7 $13 гл. П этот процесс был назван условным винеровским процессом или броуновским мостом. Итак, из предшествующих рассмотрений приходим к такому заключению: ГЛ.
П!. СХОДНМОСТЪ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Из теории броуновского движения известно (см., например, [5, гл. 2, 511[), что распределение К(у) = Р( зцр [В;[<у), называемое распре!(ок«~ делением Колмогорова, определяется следующим образом: К(у) ~ ~( !)э -2РУ~ у > 0 (24) Таким образом, спрзведлив следующий результат (А. Н. Колмогоров): 1нп Р(А~Ч0,ч(м) <у)=К(у), у>0. (25) оо Аналогично изложенному показывается также, что !пп Р( Л0н+(ы) < у) = Р) зцр В; < у). (26) и ео Токи<! Распределение величины зцр В; проще, нежели распределение величины о<~к! зцр [В;[, и имеет следующий вид (см.[5, гл.2, А!1[): окс<! Р[ зцр В; < у) = 1 — е ~э, у > О.
(27) ),ока<~ Тем самым, имеет место следующий результат (Н. В. Смирнов): !пп Р(т/Р0+(ш)<у)=1 — е ™, у>0. (28) 6. Остановимся на том, как, скажем, знание результата (25), где К(у) определяется формулой (24), позволяет дать критерий согласия эксперимента с теорией. С этой целью приведем сначала небольшую таблицу значений функции распределения К(у): К(у) К(у) К(у) 0,28 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,000001 0,000009 0,002808 0,036055 0,135718 0,288765 0,455857 0,607270 0,730000 Если Ф достаточно велико, то можно считать, что К(у) дает хорошее приближение для значений Р(т/Ф0н(м) < у).
1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 0,822282 0,887750 0,931908 0,960318 0,977782 0,988048 0,993828 0,996932 0,998536 0,999329 2,!О 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 0,999705 0,999874 0,999949 0,999980 0,9999925 0,99999?4 0,9999990 0,9999997 0,99999990 0,9999999? а! 3. ФундАментАльные теОРемы мАтемАтическОЙ стАтистики 491 Естественно, что если величины ~IР0н(«), подсчитанные по эмпирическим значениям ~~(ь«), ..., Сн(м), оказываются болыиими, то гипотезу о том, что (гипотетическое) распределение вероятностей этих величин есть именно (непрерывная) функция Р =Р(х), надо отклонить.
Приведенная таблица дает представление о степени надежности сделанных таким образом выводов. Если, скажем, ъ/Мбн(и) > 1,80, то (поскольку К(1,80)=0,996932) можно утверждать, что такое событие имеет вероятность, примерно равную 0,003068 (=1,000000-0,996932). Считая, что события с такой малой вероятностью (=0,003068), практически малореализуемы, мы приходим к выводу, что гипотезу о том, что распределение РК~ <х)=Р(х), где Р(х) — именно та функция, которая участвовала в подсчете величин Он (ю), надо отклонить.
Если же Урн(ш) < 1,80, то мы можем сказать (опираясь на закон больших чисел), что согласие «эксперимента с теорией» будет выполняться в 996932 таких случаях нз ! 000 000. Замечание. Важно подчеркнуть, что при применении критериев согласия, основанных на использовании распределения Колмогорова или распределения Смирнова, предполагается, что (тестируемая) функция распределения Р =Р(х) полностью специфицирована. Эти критерии «не работают», если, скажем, известно лишь только то, что функция распределения Р =Р(х) принадлежит некоторому параметрическому семейству 4» = (4« = 4«(х; в); де 9) функций распределения 4«(х; й), зависящих от параметра де ч». (При каждом й функция 4«(х; в) считается полностью определенной.) В этом случае напрашивается следующий путь проверки того, что эмпирические данные согласуются с тем, что истинная функция распределения Р ер: сначала по А/ наблюдениям построить оценку дн =дн(ь«) параметра й, затем образовать величину ~/Р знр ~1Рн(х; ю) — 0(х; дн(ы))( и «ея принимать решение так, как было проделано в приведенном выше примере.
К сожалению, функция распределения 4«(х; дн(ы)) будет случайной и распределение статистики ~/М зцр 1рн(х; ь«) — 6(х; дн(ь«))! не будет, вообще «ея говоря, даваться распределением Колмогорова К =К(у). По поводу того, как же все-таки проверять гипотезу Р е О, см. [132]. 7. Задачи. 1. Доказать формулу (18).
2. Доказать, что Ран Р (в (с«, з«, р)) влечет сходимость )(Х1н1) - ((Х). 3. Доказать справедливость импликации (22). гб Библиографическая справка (главы! — Ш) ВВЕДЕНИЕ История теории вероятностей до Лапласа изложена в монографии И. Тодхантера [68]. Период от Лапласа до конца Х1Х в, освещен в статье Б. В. Гнеденко и О. В.
Шейнина, опубликованной в сборнике [45). В книге С. Стиглера [122] дается весьма подробное изложение истории теории вероятностей и математической статистики до 1900 г. В книге Д. Е. Майстрова (44) история теории вероятностей изложена от ее возникновения до 30-х годов прошлого столетия. Краткий очерк теории вероятностей имеется в учебнике Б. В. Гнеденко [!5). О происхождении многих вероятностных терминов см. книгу Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
