А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Этот пример показывает, что для совпадения функций распределения недостаточно, вообще говоря, совпадения их характеристических функций на конечном интервале. — ! -а О а ! Рнс. 34. Теорема (ййарциикевича). Если характеристическая функция у(Г) имеет вид ехр йэ(Г), где,У(1) — полинам, то степень этого полинома не может быть больше двух [135, 7.3]. Из этой теоремы вытекаег, например, что функция ехр( — г!) не является характеристической функцией. 7. Следующая теорема является примером результата, показывающего, как по свойствам характеристической функции случайной величины могут быть сделаны нетривиальные заключения о структуре этой величины.
Теорема 5. Пусть рс(1) — характеристическая функция случайной величины Е. а) Если ]рс((О)] =! для некоторого ГО ~0, то случайная величина 2л С является решетчатой с шагом Ь = —, т. е. !101' Р(б=а+пй)=1, (33) где а — некоторая константа. й иь хд лктнристичнскин функции Ь) Если [уе(1)] = [чге(а1)] = 1 для двух различных точек ! и а1, где а арра!(иональное число, то случайная величина Е является вырогкден ной: Р(6=а) =1 где а — некоторая ко с) Если ]!ое(1)] ю 1, то случайная величина Е вырождена.
доказательство. а) Если ] ре(го)] = 1, 1о ~ О, то найдется число а такое, что для этого 1о 'р(го) = е'"'. Тогда е!гоь ~ еггог с(г(х) ь 1 $ егто(г-а! г(Р(х) 1 = $ соз 1о(х — а) г(Г(х) ~ ') [1 — соз 1о(х — а)] дЕ(х) = О. Поскольку 1-соз го(х — а) >О, то из свойства Н (п. 2 $6) следует, что (Р-и. н.) !=соя Го(4 — а), что эквивалентно соотношению (33).
Ь) Из предположения ]ьге(1)] =] ре(Ы)[ = 1 и (33) следует, что Р((=а+ — л) = ~ Р(Е=Ь+ — т) =1. гг=-ао гь=-ОО Если Е не является вырожденной, то тогда в множествах (а+ — л, л=О, ~1, ...) и (Ь+ — т, т=О, Ы, ...) найдутся по крайней мере две совпадаюшие точки: 2гг 2к 2гг 2гг а+ — л! =Ь+ — т!, а+ — ло— - Ь+ — тз, Г оГ ' 1 о! откуда 2гг 2к — (л! л2) = (т! тз) о! что противоречит предположению об иррациональности числа а.
утверждение с) следует из Ъ). С! 8. Пусть ь' = (с!, ., Сь) — случайный вектор, чгс(1) =Ее!!гд1, 1=(1н ", 1ь) — его характеристическая функция. Будем предполагать, что для некотоРого л > 1 Е]йг]" < оо, ! = 1, ..., й. Из неравенства Гельдера (29) $6 и неравенства Ляпунова (27) $6 следует, что сушествуют (смешанные) моменты (с!' ...6ью) для всех неотрицательных и!, ..., иь таких, что гг!+...+ил <а. 368 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Как и в теореме 1, нз этого выводится существование и непрерывность частных производных !м+...+ш д1И д ш !с4( ! ° ° ° ») для и!+...+и» <и.
Тогда, разлагая !рс(1!, ..., 1») в ряд Тейлора, найдем, что !м+...+г ~ ре(1!, ..., 1») = ~~~,, т! '"-'Ин!,"' ...1 '+ о(!1!"), и!!... иь! м+...+ш<« где !1! = 11! ! + ... + )1» ! н (34) ! 1 (м,- »»! Е«м «ш — (смешанный) момент порядка и=(ип ..., иь). Функция ре(1н ..., 1») непрерывна, ре(0, ..., О) = 1, и поэтому в некоторой окрестности нуля (11! < 6) она не обращается в нуль. В этой окрестности существуют н являются непрерывными частные производные дм+...+ш , !и ре(1!, " ., 1»), где под !п а понимается главное значение логарифма (еслн а=ге!е, -я < у <я, то !п а полагается равным !и г+ !у). Поэтому 1п !се(1!, ..., 1») может быть представлен по формуле Тейлора ;м+...+ш !и ре(1н ..., 1,)= ~ ~' ' '""-"!1" ...1," +о(!1!"), (35) и~+...+ш<» где коэффициенты з! '""'"'! называют (смешанными) семнинвариант нлн кумулянтами йорядка и = (ин ..., и») вектора с = (с!, ..., 4»).
Заметим, что если 4 н г) — два независимык вектора, то ами (36) 1п Ре+»Я=!п рс(1)+!и рчЯ, н поэтому и! = и! 1... и»1, )и! = и~ +... + ию Пусть также з! ! = з'"""'"'1, т!"! = т'"'""'"'!. ! !И,...»э) !И,...»э! + (И,...,г ~! (37) 4+ч 4 $ (Именно это свойство н оправдывает название «семнннварнант»,) Чтобы упростить запись н придать формулам (34), (35) «одномерный» внд, введем следующие обозначения. Если и= (и!, ..., ия) — вектор с неотрицательными целочисленными компонентами, то положим 369 й <г. хд лкткристичпскип Фу<<кции Тогда представления (34), (35) примут следующий вид: <н! <ье(1) = ~ —,т~'!'"+ о($$$"), (38) <а'$4ч <з ! $п Фе(1) Е зеы$$ + о($$! ). (39) <и<ил и! ~Ь <х!н! е! л<<$!... л<м! х х е р=! П '"'"' Ч Л<<$<...Л«<И Е р=! т<"! = (40) м!ь<-...+л!!!=и (41) л!ч+...+хм=„ где ~', означает суммирование ао всем упорядоченным нами!+...+хм= борам целых неотрицательных векторов Л<л$, (Л<е$(>0, дающих в сумме вектор и.
Доказательство. Поскольку <ре(1) = ехр(<п !ре(1)), то, разлагая ехр по формуле Тейлора и учитывая (39), получим л <<л! <се($)=1+~~ —, ~ —,з< $!~ +о($1!"). (42) ч=! <Фл<кл Сравнивая члены при <х в правых частях (38) и (42) и учитывая, что $Л<<$$+... + <Л<ч$! = $Л<0+...
+ Л<"$$, получаем формулу (40). х<алее, <<л! $п <ас(1)=)п 1+ Х ~— '„, т'"$$" +оЩ") . <к<х<кч (43) При малых г справедливо разложение и ( 1)Р-! <п(1+ г) = ~ ~ге + о(г"). д=! Ч Следующая теорема и ее следствия дают формулы связи моментов и семиинвариантов, Теорема 6. Пусть С=(с<, ..., Сь) — случайный вектор с Е<С<~" <со, !' = 1, ..., й, и > 1. Тогда для всех и =(и<, ..., ! ь) с $и! < и 370 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применяя это разложение к (43) и сравнивая затем коэффициенты при /л с соответствующими коэффициентами в правой части (38), получим формулу (41).
П Следствие 1. Справедливы следующие формулы, связывающие моменты и семиинварианты: к /=! ( 1)Р- (д 1)! Р-! и( Р ГГ Г (Ль'>1' >и Р„йо П/, >=! т("> = (пл!ч+...Р.ол! !=и) «) (г~Л!'>+...+ОЛы=и) (45) где ~" означает суммирование по всем неупорядочен(г!Лн!+...+г Ль!=г ) ным наборам различных целых неотрицательных векторов Л(П, (Л(/)(>О, и по всем упорядоченным наборам целых положительных чисел г; таким, что г)Л('>+... + г„Л('> = и. Для доказательства (44) предположим, что среди векторов Л('), ..., Л«>, участвующих в формуле (40), г! векторов равны Л(">, ..., г„векторов равны Л(!"> (г/)О, г>+...+г, =!/), причем все векторы Л(ь> различны. !7( Существует ровно — ' различных наборов векторов, совпадающих г!)...гР( с точностью до порядка с набором (Л('>, ..., Л«)).
Но если два набора, скажем, (Л('>, ..., Л(Р>) и (Л('>, ..., Л«>), отличаются лишь порядком, то Льч) (1ы) П з = П з . Поэтому, отождествляя наборы, совпадающие с р=! р=! точностью до порядка, из (40) получаем (44). Аналогичным образом из (41) выводится формула (45). Следствие 2. Рассмотрим частный случай, когда и=(1, ..., 1). В этом случае моменты т " аз Ес! ... сь и соответствующие семиинварианты будем (и) называть простыми. Формулы связи простых моментов и семиинвариантов получаются из приведенных формул. Однако их удобнее записать по-другому. Для этого введем следующие обозначения. Пусть /с =(1, 2, ..., й) — множество индексов компонент вектора с = = (с), ..., сь).
если / с /р, то через с! будем обозначать вектор, состоящий из тех компонент вектора Е, индексы которых принадлежат /. Пусть х(/)— вектор (Л(, ..., Л„), у которого Лп = 1, если / Е /, и х! = О, если ! й /. Эти векторы находятся во взаимно однозначном соответствии с множествами 4 >2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 37> 1 с 1Ф Поэтому обозначим (1) т<х</» з (1) з <х</н е Иначе говоря, тр(1) и зе(1) являются простыми моментами и семиинвариантами подвектора С/ вектора Е. Далее, в соответствии с определением, данным на с. 29, назовем разбиением множества 1 неупорядоченный набор непересекающихся непустых множеств /р такой, что 2 1р — — 1.
С учетом этих обозначений имеют место формулы Р тг(1)= ~, П зе(1Р) ~; /г — -/ р ! зе(1)= ~ ( — !)' '(</ — !)! Ц те(1р), (46) (47) р=> (46) вытекает из (44), Аналогичным образом из (45) выводится справедливость представления (47). Пример 4. Пусть С вЂ” случайная величина (й= !) и т„=т<">=Е4", зл = э<">. Тогда из (40) и (4!) получаем следующие формулы: т< =3>, т2 =э2+3>, 2 тз =аз+ Зз>22+ 3> з т> = 24+ Ззэ+ 42>аз+ба, з2+з,, 2 2 / (48) где 2 означает суммирование по всевозможным разбиениям ~; /р=/ р ! множества 1, ! </7 < А/(1), А/(1) — число элементов множества I.
Для доказательства представления (46) обратимся к формуле (44). Если и=><(1) и Л<'>+...+Л<" =/, то Л<" =><(/р), 1р С1, все Л<р> различны, Л<Р>! = и! = ! и каждому неупорядоченному набору (><(1>), ..., Х(12)) взаимно однозначно соответствует разбиение 1= 2 Iр. Следовательно, формула р=> 372 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ з~ =ги~ =Ес, зз = тз — ги21 = Пг, зз = тз — Зиг~ гиз+ 2гин з4 =т4 — 3тз — 4т~гиз+12т,тз — бтн 2 2 4 (49) Пример 5. Пусть С 4'(т, оз). Поскольку, согласно (9), г а 1п ус(1) =1(ги — —, 2 то в силу (39) з~ =ги, эх =аз и все семиинварианты, начиная с третьего, равны нулю, т.е, з„=0, и>3.
Заметим, что в силу теоремы Марцинкевича функция вида ехр .'У(Г), где ,!Р(Г) — полипом, может быть характеристической только в том случае, ко- гда степень этого полинома не больше двух. Отсюда, в частности, вытекает, что гауссовское распределение является единственным распределением, обладающим тем свойством, что все его семиинварианты з„ начиная с некоторого номера и >3, обращаются в нуль. Пример 6. Если с — пуассоновская случайная величина с параметром Л > О, то, согласно (1!), )п ут(1) = Л(еп — 1). Отсюда следует, что для всех и >! зл Пример 7. Пусть С =(Сн ..., Сз) — случайный вектор. Тогда те(1) = зе(1), гие(1, 2) = зе(1, 2) + зе(1)зе(2), тз(1, 2, 3) = зс(1, 2, 3) + зз(1, 2)зз(3) + аз(1, 3)зс(2) + + зе(2, 3)зе(1) + зе(1)зе(2)зе(3), (50) (51) Эти формулы показывают, что простые моменты выражаются через простые семиинварианты весьма симметричным образом.
Если положить (~ за (2 м... азСМ то из (51) получатся, конечно, формулы (48). Из (51) становится понятным «групповое» происхождение коэффициентов в формулах (48). Из (51) следует также, что зе(1, 2) = тт(1, 2) — тс(1)игс(2) = ЕЫ2 — Е~|Е~2, (52) т. е. зе(1, 2) есть не что иное, как ковариаиия случайных величин сн сз. згз й |2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ х"аР(х)= $ х"дб(х). (53) Спрашивается, вытекает ли отсюда совпадение функций р и О? Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим распределение Р с плотностью Дх) = йе ", х>0, О, х < О, где о > О, 0 < Л < 1/2, а константа й выбрана из соображений нормировки $ Дх)дх=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
