А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если с„- с, то Р(!(ч — ~~! > )е) < (Р(!4л — Я > е/2) + РЯ~ — () > >е/2) (19) и, значит, последовательность (С„) фундаментальна по вероятности. Обратно, если (Я фундаментальна по вероятности, то тогда, согласно теореме 5, найдутся подпоследовательность (С„,) и случайная величина С ЗЗ2 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ такие, что с„, -'-' с.
Но тогда Р(Кл — 6 > >е) ~< Р Ил — ~л, ! > 1е/2] + Р([(д, — Я! > е/2), откуда ясно, что ф— ~С. П В связи со сходимостью в среднем порядка р > 0 сделаем прежде всего несколько замечаний о пространствах Е». Будем обозначать через 1У = Е»(й, У', Р) — пространство случайных величин С=4(м) с Е[С!»ьэ~ ]С!»аР <со.
Предположим, что р>! и поло- жим []с[!» -— (Е]4]~)'~». Ясно, что [[с[! > О, ]]сч»[!» = [с! ]]ч]!», с — постоянная, и в силу неравенства Минковского (31) $6 (20) (21) ]]с+и[!»<]]с[! +]]и[! . (22) Таким образом, в соответствии с известными определениями функционального анализа функция ]! ]!», определенная на Е» и удовлетворяющая условиям (20) — (22), является (для р > 1) полунормой. Чтобы она была и нормой, нужно еще выполнение свойства ]Щ»=0 =« Е=О, (23) которое, конечно, вообще говоря, не выполнено, поскольку, согласно свойству Н ($6), можно утверждать лишь, что С = 0 не тождественно, а только почти наверное. Это обстоятельство приводит к несколько иному взгляду на пространство (.».
Именно, свяжем с каждой случайной величиной 4 е с.» класс [С] эквивалентных ей случайных величин из с.» (С и и эквивалентны, если 4 = т) почти наверное). Нетрудно убедиться, что свойство эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно,а значит, линейное пространство (» можно разбить на взаимно непересекающиеся классы эквивалентных между собой случайных величин.
Если теперь под [с.»] понимать совокупность всех таких классов [с! эквивалентных между собой случайных величин С Е (.» и положить по определению [с]+ Ы = [с+В а[с] = [ас], а — константа, ]][с]]!» = []С]! то [Е»] становится линейным нормированным пространством. й !о. рдзныв виды сходимости ззз В функциональном анализе об элементах пространства [Е») обычно принято говорить не как о классах эквивалентных функций, а просто как о функциях. В этом смысле мы не будем вводить нового обозначения [ь»] и впредь под (.» будем понимать именно множество классов эквивалентных функций, по-прежнему называя их просто элементами, функциями, случайными величинами... Один из важных результатов функционального анализа состоит в доказательстве того, что пространства (.», р > ), являются полными, т.
е. всякая фундаментальная последовательность является сходящейся. Сформулируем и докажем этот результат на вероятностном языке. Теорема 7 (критерий Коши сходимостн в среднем порядка р > !). Для того чтобы последовательность случайных величин (с„) из ~» сходилась в среднем порядка р > ! к случайной величине, принадлежащей Г», необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем порядка р.
Доказательство. Необходимость следует из неравенства Минковского. Пусть (с,) — фундаментальна ([[с„— с [[»- О, п, т-+со). Как и в доказательстве теоремы 5, выберем подпоследовательность (С„,) такую, что С„, -"-'-' С, где с — некоторая случайная величина с [[С[[» < со. Положим п1 = 1 и по индукции выберем пь как то наименьшее п > пь и для которого при всех з > и, ! > и 1[6 45[!» <2 Обозначим Аа =(ы: [С„„, — 4„,[>2 ").
Тогда в силу неравенства Чебышева Р(А )« """' '"" =2 "»<2 ~. 2ь» 2»» Так же, как в теореме б, отсюда выводится, что существует такая случайная величина с, что с ь -'- 4. Выведем отсюда, что [[с„— с [[» — О, и — со. С этой целью зафиксируем е > О и выберем й! = Ф(е) таким, что [[ф— С [[» »< е для всех и > й!, т > й!.
Тогда для любого фиксированного и > й! в силу леммы Фату 5 6) Е[4„— Я»=Е( !!ш [~.-(„„[») =Е~ )ип [6„— 4„,[») < т сю т ОО < )пп Е[с„— с„„[»= Игп [[~,— (,„Ц<е. ль оо т Оо Следовательно, Е[С'„-С[»-+О, и- оо. Ясно также, что поскольку С= = (с — с,) + с„, то в силу неравенства Минковского Е[с[» < оо. П 334 ГЛ.
Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Замечание 1. В соответствии с терминологией функционального анализа полные нормированные линейные пространства называются банаховыми пространствами. Таким образом, пространства 1 р, р > 1, являются банаховыми. Замечание 2. Если 0< р< 1, то !!С!!р =(Е!С!Р)!7Р не удовлетворяет неравенству треугольника (22) и, следовательно, не является нормой. Тем не менее пространства (классов эквивалентности) (.Р, 0 < р < 1, являются полными относительно метрики !1(С, г)) м Е!С вЂ” П~Р. Замечание 3. Обозначим (. =(. (й, .Р, Р) пространство (классов эквивалентности) случайных величин С=С(ы), для которых !!С(! <оо, где величина (!С!1, называемая существенным суаремумом С, определяется формулой 11с(1 гаеаззцр (с(за(п((0<с<со: Р(1с(>с)=0). Функция 1( !1 является нормой, и относительно этой нормы пространство 7. является полным. 6.
Задачи. 1. Используя теорему 5, показать, что в теоремах 3 и 4 из $6 сходимость почти наверное может быть заменена сходимостью по вероятности. 2. Доказать, что пространство С полно. р 3. Показать, что если с„- с н в то же время с„- и, то с и ц эквивалентны (в том смысле, что Р(4Фг1) =0).
4. Пусть с„- с, г)„- г) и случайные величины с и и эквивалентны. Показать, что для любого е > О Р(Кл — пл ) )~ е) -~ О, и ~ со. р 5. Пусть с„- с, пл - г!. Показать, что если ~рлл р(х, у) — непрерывная функция, то у(с„, Пл) — ~р((, и) (лемма Слуцкого). 6. Пусть (сл — Π— О. Показать, что Сз— 7. Показать, что если С„- С, где С вЂ” постоянная, то имеет место и сходимость по вероятности: 8.
Пусть последовательность (С„)„>! такова, что для некоторого р > 0 2 Е!с„!Р <оо. Показать, что с„- 0 (Р-и. н.). л=! 9. Пусть (С„)„> ! — последовательность одинаково распределенных случайных величин. й !о. разными виды сходимости Доказать, что Е !с!! < оо «» ~ Р(К! ! > еа) < со, е > О «ь Й (! — „"! ~~, >О ~— " О(Р„„) »=! 1О. Пусть (с„)„в! — некоторая последовательность случайных величин.
Предположим, что существуют случайная величина С и подпоследовательность (и») такие, что 4„,— б (Р-п. н.) и и!ах !с! — с„,,!- 0 (Р-п. н.) т ~<!4т при й-+ со. Показать, что тогда с„- с (Р-п. н.). 11. Определим «г(-метрику» в множестве случайных величин, полагая К вЂ” п! н(60)=Е! ! ! н отождествляя случайные величины, совпадающие почти наверное. Показать, что а = !((С, !!) действительно задает метрику и сходимость по вероятности эквивалентна сходимости в этой метрике. 12. Показать, что не существует метрики в множестве случайных величин такой, что сходимость в ней эквивалентна сходимости почти наверное. 13.
Пусть Х, < Хэ < ... и Մ— Х. Показать, что Х„-+Х (Р-п. н.). » !4. Пусть Х„- Х (Р-п. н.). Тогда и и ' 2,' Х»- Х (Р-п. н.) (суммиа=! рование ао Чезаро). Показать на примере, что сходимость Р-п.н. нельзя заменить на сходимость по вероятности. 1б. Пусть (!1, Я, Р) — вероятностное пространство и Х„ - Х. Показать, что если мера Р является атомической, то Х„ - Х также и с вероятностью единица.
(Множество А б.йг называется Р-атомом, если для всякого В с Я или Р(В ПА) = Р(А), или Р(В г!А) =О. Мера Р называется атомической, если существует счетное семейство (А„) непересекающихся Р-атомов таких, что Р(() А, =1) ~л=! 1б. Согласно (первой) лемме Бореая — Кантеллн, если 2 Р(!С„! >е) < »=! <оо дая е > О, то последовательность с„- 0 (Р-п. н.). Дать пример, показывающий, что сходимость б„- 0 (Р-п. н.) может иметь место и при Условии ~„-Р((б„)>е) =ос, е>0. л=! 17.
(Ко второй лемме Бореля — Кантелли.) Пусть ()=(О, 1), Я= =ах((0, 1)), Р— лебегова мера. Рассмотрим события А„= (О, 1/а). Пока- 336 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !пп — = 1 (Р-п. н.). 5л л Е5« 21. Пусть (Хл)л>! и (Ул)л>! — две последовательности случайных величин, у которых совпадают все конечномерные распределения (Рх, х„= Р =Рг, г„, и>1). Пусть Хл- Х. Доказать, что тогда имеет место сходимость Ул — У к некоторой случайной величине У, распределение которой совпадает с распределением Х. 22. Пусть (Хл)л>! — последовательность независимых случайных величин таких, что Хл - Х для некоторой случайной величины Х. Доказать, что Х является вырожденной случайной величиной. 23.
Показать, что для каждой последовательности случайных величин С!, Сз, ... можно найти такую последовательность констант а!, аз, ..., что („/а„- 0 (Р-п. н.). 24. Пусть Е!, сз, ... — последовательность случайных величин и 5« «л =с!+...+с„, а>1. Показать, что множество(5«- ), т. е. множество тех щЕ П, где ряд 2 4ь(ы) сходится, может быть представлено в следующем А>! виде: (5-)=П 0 лв! т>! Соответственно, множество (5„-,Г+), где ряд 2 , 'Сл(ь!) расходится, предав! ставимо в виде ( ) (зцр (5! — 5»! > М л> л '>" (5 ')=0 П х!>! т>! зать, что 2 Р(А«) =ос, но каждое ы из (О, 1) может принадлежать только конечному числу множеств А!, ..., А1! ! 1, т е. Р(А« б ч) = О.
з 18. Привести пример последовательности случайных величин такой, что с вероятностью единица !пизцр С„=со, 1пп !п1 с„=-оо, но тем не менее существует случайная величина и такая, что С„ — г!. 19. Пусть !1 есть не более чем счетное множество. Доказать, что если 4л- б, то ~л- 4 (Р-п.н.). СЮ 20. Пусть А !, Аз, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
