А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 56
Текст из файла (страница 56)
н.), необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 Р(эцр (Ỡ— Я(>г(-+О, и- оо. »Вь Ь) Последовательность (Я„>! фундаментальна с вероятностью единица тогда и только тогда, когда для любого г > 0 Р( аир !С» — б!(>г)-+О, н — оо, (б) »>к!>ь 326 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ или, что эквивалентно, Р(зир (сь+»-с„!>е)~ — О, и — со. »»>О (7) А'=)ип А'эа Доказательство. а) Пусть А'„=(ы; (('„— я! >е), = () и А;.
Тогда л=! »Вь („. ~ цЦ 0 Аь Ц А!/ы е>0 и~= ! Но ~|л |=в РГЦ м), ч»в>ь поэтому утверждение а) является результатом следующей цепочки импли- каций: Р(ин 6~+0=0 ьь Р(Д А*1 =0 ч~ Р( Ц АП =О чь ~ч>о l сь Р(А~!~)=0, т>! ь» Р(А')=О, е>0 ьь ьь Р( Ц А»1- О, и- оо, е>0 ь» Р(зцр !С»-с(>е(- О, и- оо, е>0. 1»>ь / »вл Ь) Обозначим В»! =(ь!: (С» — С! ! > е), В' = ( ) 0 В»,. Тогда (ы: (С,(ь!)) и=! »>а !>ь не фундаментальна)= () В', и так же, как в а), показывается, что ь>0 Р(ы: (4„(ь!)) не фундаментальна) = 0 чь (6). Эквивалентность же утверждений (б) и (7) следует из очевидных неравенств зцр )(„+» — с„! < ацр !~„+» — 4„+!! < 2 зцр )(„+» — с„(. П »о »вл,!>л »>О Следствие.
Поскольку Р(зцр )с» — с!)е) =Р( Ц (!с» — с! >е)~ <~~! Р(!с»-с!)е), »вь 1»>п l »>и то выполнение для каждого е > 0 условия Р((с» — с! >е) <со (8) »=! достаточно для скодимости (;„- 4 (Р-и. и.). е !о. РАзные Виды схОдимОсти 327 (А б ч) — 1!тА — П 0 ч=! Йвп Поэтому Р(А„б.ч) =Р(П 0 АА1 =!!. Р(О А,~.1!т ~ Р(А,) ч =1 лил / ч,лвп / л>п откуда и следует утверждение а). Ь) Если события А!, Ат, ... независимы, то таковыми же будут н события А !, Аз, ... Тогда для любою А! > п (и "1=п -» хл=ч / а=и откуда нетрудно вывести, что (и "1=П " 'хе=а / е=ч (9) В силу неравенства )п(1 — х) <-х, 0 <х< 1, !п П [1 — Р(Ал)[ = ~~ !и[1 — Р(АА)] < — ~ Р(АА) = — оо.
Следовательно, для любого и и, значит, Р(А„б.ч.)=1. В связи с условием (8) уместно сейчас отметить, что положенные при его выводе рассуждения позволяют установить следующий простой, но важный результат, являющийся основным средством при исследовании свойств, выполняющихся с вероятностью единица. Пусть А!, Аз, ...
— некоторая последовательность событий из Я. Напомним (см. табл. 1 в $1), что через (А„б. ч.) обозначается событие 1пп А„, состоящее в том, что произойдет бесконечное число событий из А!, Аз, ... Лемма 1 (Бореля — Кантелли). а) Если / Р(А„) < оо, то вероятность Р(А„б. ч.) =О. Ь) Если ~ Р(А„) =со и события А,, Аз, ...
независимы, то вероятность Р(А„б. ч.)=1. Доказательство. а) По определению Следствие 1. Если А'„=(и!: !(„— С1>е), то условие (8) означает, что 2 Р(А'„) <со, е>0, и по лемме Борелл — !(антелли Р(А') =О, е>0, «=! где А' = 1пп А„'(= (А„'б. ч.)). Тем самым РЯ~ — 6>г)<со, е>0 =ь Р(А')=О, >О еь Р(ип („/8=0, л=! что уже отмечалось выше. Следствие 2. Пусть (е„)„>! — последовательность положительных чисел таких, что г„з О, и - со.
Тогда, если (! 0) то бл — '«- с. В самом деле, пусть А„= (1ф— С1 > е„). Тогда по лемме Бореля — Кантелли Р(А„ б.ч.) =О. А это означает, что для почти каждого исхода ы е 1) найдется такое А! = М(ы), что для п > А!(ы) (4,(ы) — 4(ы)! < г„. Но г„ ) О, поэтому ~„(ы) — с(с |) для почти всех ы Е Й. 4. Теорема 2.
Имеют место следующие импликаиии: чл ~ !Р чл Р с«- с р>0, Доказательство. Утверждение (!!) следует из сравнения определения сходимости по вероятности с критерием (5), а импликация (12) — нз неравенства Чебышева. Докажем теперь импликацию (13). Пусть 7(х) — непрерывная функция, !1(х)/ <с, г>0 и А( таково, что Р(1С1>Л9 <в/(4с). Выберем б таким, чтобы для всех 1х1<М и (х — у!<б было выполнено неравенство !/(х) — /(у)/ < г/2. Тогда (ср. с «вероятностным» доказательством теоремы Вейерштрасса в п. б $5 гл. !) е(/(~ ) — 7(0! =е(Щ ) — /(О!' !~ — (! <б ф <Аг)+ + Е(Щ5 ) — Я) !' К вЂ” 6 < б К! > И) + Е(! 7(4' ) — Я) !' (6 — (! > б) < < г/2+ г/2+ 2сР߄— С1> б) ««е+ 2сР(!ф— С! > б). Но Р߄— С! >б)- О, поэтому для достаточно больших и Е!Я„) — /(~)! < < 2е, что в силу произвольности г > 0 доказывает импликацию (13).
П 32а Гл. В. мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей ~6- с, ~с. 6 =ь с« с. (! 1) (12) (13) й!О. РАзные Вилы схОдимОсти Приведем ряд примеров, показываюших, в частности, что в (1», (12) обратные импликацин, вообше говоря, несправедливы. Пример( (С„- С 71» С,-" — '"+С; С„- С ,-Ф С„-" — '"' С). Пусть й=[0, 1], .й=Я([0, »), Р— мера Лебега, Положим г! — 1 !з А'=~ —, -~, ~'=Тл (ы), 1=1,2,„,,п; п>1 Тогда последовательность случайных величин Ы' 4. 6' 4з (з 1з' ") сходится и по вероятности, и в среднем порядка р > О, но не сходится ни в одной точке ы е [О, 1].
Пример 2 (с, - с ч= с„-'-'-": с ~ с„— с, р > 0). Снова пусть й = = [О, »,.л =йр([0, 1]), Р— мера Лебега и е", 0(ы(1/и, Сл(ы) = О, ы>1/и. Тогда последовательность (с„) сходится с вероятностью единнна (и, следовательно, по вероятности) к нулю, однако для любого р > 0 елр Е]4„]Р= — - со, и- оо. Пример 3 (ф— С ЗЬ С„-' — ' О. Пусть (С„) — последовательность независимых случайных величин с Тогда нетрудно установить, что чь рл-+О, и- оо, (14) (15) с:ь рл- О, и- оо, с„-'-' 0 еь ~~~ рл(оо. льп сл л.л.
В частности, при р„=1/пс„— 0 для любого р >О, но с„-г' О. В следуюшей теореме выделяется один интересный случай, когда из сходимости почти наверное следует сходнмость в смысле 7 '. Теорема 3. Пусть (Я„>! — последовательность неотрицательных случайных величин таких, что с„— 'к с и Е(„- Ес(со.
Тогда Е](л — (] -~ О, и — ~ оо. (17) ЗЗО ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказательство. Для достаточно больших п ЕС„< со, поэтому для них Е!(' — (л! = Е(4 — Я/!сит !+ Е(~» — ~)7!»>с! = 2Е(4 — б»)/!с>е !+ Е(~» — О. Но 0< (~-~„)1!е>с„! <С. Тогда по теореме о мажорируемой сходимости )пп Е(С вЂ” ~„)/!С>С„! =О, что вместе с предположением ЕС„- ЕС доказывает (17).
П Замечание. Теорема о мажорируемой сходимости (теорема 3 ф 6) справедлива и тогда, когда в ней сходимость почти наверное заменяется на сходимость по вероятности (см. задачу 1). Поэтому в теореме 3 сходимость ».». Р «С„-'-: с» можно заменить на сходимость «(„— С». 5. Из математического анализа известно, что всякая фундаментальная числовая последовательность (х„), х„ б й, является сходящейся (критерий Коши). Приведем аналогичные результаты для сходимости последовательности случайных величин.
Теорема 4 (критерий Коши сходимости почти наверное). Для того чтобы последовательность случайных величин (С,) была сходящейся с вероятностью единица (к некоторой случайной величине ~), необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна с вероятностью единица. Доказательство. Если с„-" — '"-'+ с, то р К вЂ” Ы<зцр К вЂ” 6+ р К вЂ” 6 гл» ь>» ь>»л>» !!нп с»(м), ш ЕЙ~.Ф, с( )= ~о, шЕ Ф'. (18) Так определенная функция является случайной величиной и, очевидно, с. ' ' с.
П Прежде чем переходить к случаю сходимости по вероятности, установим следующий полезный результат. Теорема 5. Если последовательность (~„) фундаментальна (сходится) по вероятности, то из нее можно извлечь подпоследова- откуда (см. теорему !) вытекает необходимость условия теоремы. Пусть теперь последовательность (с„) фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим Ф'=(ип (~„(ю)) не фундаментальная». Тогда для всех ю е Й ~.Ф' числовая последовательность (с„(м)) является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей, существует 1пп с„(ь ).
Положим зз! 4 !О. РАЗНЫЕ ВИЛЫ СХОДИМОСТИ тельность (с„„), фундаментальную (сходящуюся) с вероятностью единица. Доказательство. Пусть последовательность (Я фундаментальна по вероятности. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что из нее можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся почти наверное. Положим и! = 1 н по индукции определим и« как то наименьшее п > п«!, лля которого при всех з > и, ! > и Р% — 6) >2 «)<2 «. Тогда РЯ„„, -4'„,)>2 «)<') 2 «<оо и по лемме Бореля — Кантелли РЯ„, ! — Я > 2 «б.
ч ) = О. Поэтому с вероятностью единица ~~', !чт ! — ч.!< "о. ««и Пусть .4' = (ин 2 )4„,~, — С„,) = со). Тогда, если положить с(ь!) = (гч(ь!) + ~~ ((„,~,(ы) -(„,(ь!)), и! Е П ~.Ф, О, и!е Ф', то получим 4„, -'-''(. Если же исходная последовательность сходится по вероятности, то она и фундаментальна по вероятности (см. далее (19)) и, следовательно, этот случай сводится к уже разобранному. П Теорема 6 (критерий Коши сходимости по вероятности). Для того чтобы последовательность случайных величин (с„) была сходящейся по вероятности, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна по вероятности. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
