А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1„, и ) 1, — заданное семейство конечномерных функций распределения, удовлетворяюи(их условиям согласованности (2). Тогда существуют вероятностное пространство (й, .ь, Р) и случайный процесс Х =(Ел)гег такие, что Р(ин (и <хн ..., 4п <х„)=рп,п(хн ..., х„). (3) Доказательство. Положим ??г е уу(рг) т. е. возьмем в качестве пространства П пространство действительных функций ы =(ш,),ег с о-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами. Пусть т=((н ..., г„], Г~ <1я<...<г„.
Тогда, согласнотеореме2 язв 3, в пространстве (1?", йй(1?")) можно построить (н притом единственную) вероятностную меру Р, такую, что Р ((ьч„...,ич„): ич, <хн ...,ич„<х„)=РА „,ь(хн ..., хл). (4) Из условий согласованности (2) вытекает, что семейство (Р,) также является согласованным (см. (20) $3). Согласно теореме 4 нз $3, на пространстве ()?г, М()?г)) существует вероятностная мера Р такая, что Р(ин (ич„..., ич„) Е В) = Р, (В) дпя всякого набора т=(гн ..., 1„], 11 «...Г„. Отсюда следует также, что выполнено условие (4). Таким образом, в качестве искомого случайного процесса Х = ((~(с4)сег можно взять процесс, определенный следующим образом: ~,(ы) =и~, г е т. (5) П Замечание 1.
Построенное вероятностное пространство (1?г, йй(1?г), Р) часто называют каноническим, а задание случайного процесса равенством (5) — координатным способом построения процесса. Замечание 2. Пусть (Е, ег ) — полные сепарабельные метрические пространства, о принадлежит произвольному множеству индексов й. йв. построкник процесса Пусть (Р ) — набор согласованных конечномерных функций распределения Р„т=[аь ..., а„[, на (Еь, х ... хЕ, 4', З...Зй'„). Тогда существуют вероятностное пространство ((),,Уг, Р) и семейство Я/Ю -измеримых функций (Х (ы)) еи такие, что Р((Хт, ..., Х„„) ЕВ)= Р.,(В) для любых т=[аь ..., аь[ и ВЕ4*, З".Зй' .. Этот результат, обобщающий утверждение теоремы 1, следует из теоремы 4 $ 3, если положить () = П Е, Я = Я вь и Х„(ы) =ыь для каждого ь ь ы=(ю ), аЕЙ.
Следствие 1. Пусть Р~(х), Рз(х), ... — последовательность одномерных функций распределения. Тогда существуют вероятностное пространство (й, зг, Р) и последовательность независимых случайных величин 4ы Ез, ... такие, что Р(ип ~;(ы) <х) =Р;(х). (б) В частности, существует вероятностное пространство ((), Я, Р), на котором определена бесконечная последовательность бернулли- евских случайных величин (в этой связи см.
и. 2 $5 гл.!). В качестве й можно здесь взять пространство й=(ип ю=(ан аз, ...), а; =0 или Ц Р(з, х; т, В) = ~ Р(з, х; 1, ду) Р(1, у; т, В). я Пусть, кроме того, я=я( ° ) — вероятностная мера на (В, М(Я)). (7) (ср. также с теоремой 2). Лля доказательства следствия достаточно положить Р1 „(хы ..., х„) = =Р~(х~)...Р„(х„) и применить теорему 1. Следствие 2. Пусть Т = [О, оо) и (Р(з, х; 1, В)) — семейство неотрицательных функций, определенных для з, 1 Е Т, 1) з, х Е )1, В е МЯ) и удовлетворяющих следующим условиям: а) Р(з, х; 1, В) является при фиксированных з, х и 1 вероятностной мерой по В; Ь) при фиксированных з, 1 и В Р(з, х; 1, В) является борелевской функцией ло х; с) для всех О<э <1 < т и В ЕЯ(й) выполняется уравнение Колмогорова — Чепмена 318 ГЛ.
и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тогда существуют вероятностное пространство (й, лг, Р) и случайный процесс Х =(6)ело на нем такие, что для 0=(о <И < ... ° ° < «« Р(6,<хо, Ео <хн ..., Еп <х,)«« «О «~ «, "(дуО) ~ Р(0, уО; Й, ду!) " ~ Р(1«г и у« — Н (л, С(у«) (8) Так построенный процесс Х называется марковским процессом с начальным распределением я и системой перекодных вероятностей (Р(з, к; С В)). Следствие 3.
Пусть Т=(0, 1, 2, ...) и (Рь(х; В)) — семейство неотрицательных функций, определеннык для й > 1, х Е В, В Е йу()1) и таких, что функция Рь(х; В) есть вероятностная мера по В (при фиксированных й и х) и измерима по х (при фиксированных й и В).
Пусть, кроме того, я=я( ) — вероятностная мера на (П, йг()()). Тогда можно построить вероятностное пространство (й, Р, Р) с семейством случайнык величин Х =(4о, 6, ...) на нем таких, что Р(чо <хо, Е6 < кн ..., («~(хл)— «о «, «, (дуо) ~ Р1(уо', дуй " ~ Р.(У.-Н ду.). 3. В соответствии со следствием 1 существует последовательность независимых случайных величин Ен Ез, ..., одномерные функции распределения которых есть соответственно Р,, Рз, ... Пусть теперь (Ен 4), (Ез, вз), ...— полные сепарабельные метрические пространства и Р,, Рз, ... — вероятностные меры на них.
Тогда из замечания 2 следует, что существуют вероятностное пространство (й, Уг, Р) и последовательность независимых элементов Хп Хз, ... такие, что Մ— лг/аГ„-измеримы и Р(Х„Е В) = Р„(В), В Е Ф„. Оказывается, что этот результат остается справедливым и в том случае, когда пространства (Е„, л„) являются произвольными измеримыми пространствами. Теорема 2 (Ионеску Тулчи о продолжении меры и существовании случайной последовательности). Пусть (й„, Я„), и= 1, 2, ...,— произвольные измеримые пространства и Й=П й„, з«=)з( Я,. Предположим, что на (йн,йг~) задана вероятностная мера Р~ и для каждого набора (ын ..., ь«„) Ей~ х ... х й„, и >1, на (й„+и У«ч.~) заданы вероятностные меры Р(щ, ..., ог«; ).
будем предполагать, что Р(щ, ..., м„; В) для каждого ВЕуг„+~ являются измеримыми Ез. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 3!9 ц)уНКцияни От (ШО, Шь), и ПуетЬ Р„,'А~ х ... хА„) = ~ Р1(дш1) $ Р(шб Ышз) ... ~ Р(шй ..., ш„б с(ш„), А, А~ А„ А( Е Уй и ~ )1. (9) Тогда на (й, лг) существуют единственная вероятностная мера Р такая, что для любого и > 1 Р(ш: ш1 ЕАО ..., шь еА„)=Рь(А~ х ... х А„), (! 0) и случайная последовательность Х = (Х| (ш), Хз(ш), ...) такая, что Р(ш: Х~(ш) Е А й ..., Х (ш) Е А„) = Р (А ~ х ...
х А„), (! 1) где А; евь Доказательство. Первый шаг в доказательстве состоит в установлении того, что для каждого и >1 функцию множеств Р„, заданную на прямоугольниках А~ х ... х А„с помощью равенства (9), можно продолжить на о-алгебру яг1 Э... Э Я . С этой целью для каждого п>2 и ВЕЯ~ З...ЗУ'„положим Рь(В)= ) Р~(дш~) ~ Р(ш~', дшз) ... ) Р(шы ..., шл-9, 'ишь-!)х й| й2 й, х ~ !в(шй ..., шл) Р(шй ..., ш„б дш„).
(12) Нетрудно видеть, что лля В =А1 х ... х А„правая часть в (12) совпадает с правой частью в (9). Кроме того, для и =2 так же, как и в теореме 8 $6, показывается, что Рз является мерой. Отсюда по индукции легко устанавливается, что Р„являются мерами для произвольного и > 2.
Следующий шаг в доказательстве такой же, как и в теореме Колмогорова о продолжении меры в Я, ЯЯ )) (теорема 3 $3). А именно, яля всякого цилиндрического множества У„(В) =(ш Ей: (шй ..., ш„) Е В), В Е.рг| З... З Я„, определим функцию множеств Р с помощью равенства Р(/„(В)) = Р„(В). (13) Используя (12) и то обстоятельство, что Р(шй ..., шь, ) являются мерами, нетрудно установить, что определение (13) корректно в том смысле, что значение Р(У„(В)) не зависит от способа представления цилиндрического множества. Отсюда вытекает, что функция множеств Р, определенная в (13) лля цилиндрических множеств и, очевидным образом, на алгебре, содержащей все цилиндрические множества, является на этой алгебре конечно- 320 ГЛ.
Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ аддитивной мерой. Остается проверить ее счетную аддитивность на этой алгебре и затем воспользоваться теоремой Каратеодори. В теореме 3 $3 осуществление указанной проверки основывалось на том свойстве пространств(В", мг(В")), что для каждого борелевского множества В можно найти компакт А С В, вероятностная мера которого сколь угодно близка к мере множества В. В рассматриваемом случае этот момент доказательства видоизменяется следующим образом. Пусть, как и в теореме 3 $3, (В„)„> ~ — последовательность цилиндрических множеств Ва=(ы: (оп, ", А,)ЕВп), убывающих к пустому множеству о, но (14) 11гп Р(В„) >О.
х ао Из (12) для п>1 Р(В„) = ~ ~~~!(ш~) Р~(г(ьч), где !Н!(М) = ~ Р((Намыт) "- ~ l~„(~н ", МР( ы " ~ -1' с!М. Поскольку В„+1 с В„, то В„+1 с В„х й„+~ и, значит, Iа„„(ын ..., ы„+~) < (!в„(мь ", ы„)!йеы(ы„+~). Поэтому последовательность функций (Г! !(ьч))„в~ является убывающей. пусть /и!(ьп) =!по Гп!(ьч). тогда по теореме о мажорируемой сходимости йгп Р(В„)=!пп ~ ~й!(ы1) Р~(г(ы1) = ~ ~й!(ьп)Р~(~(ьл). й~ й1 По предположению 1пп Р(В„) > О. Отсюда следует, что найдется такое л ьТ е В,, что )и!(ы~) > О, поскольку если точка ьч к Вн то ~1О(ы~) =О для всех п>1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
