А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 44
Текст из файла (страница 44)
13. Пусть (ац; 1, 1 > Ц) — последовательность действительных чисел таких, что ~„[а(; [ < со, Вывести из теоремы Фубннн, что ч (78) 14. Привести пример последовательности (а;;; 1, 7'>1), для которой [ау[ = со и равенства в (78) не справедливы. !,/ 15. Отправляясь от простых функций н используя теоремы о предельных переходах под знаком интеграла Лебега, доказать справедливость следующего результата об интегрировании с помощью подстановки. Пусть Ь =Ь(у) — неубывающая непрерывно днфференцнруемая функция на интервале [а, Ь], а 7(х) — интегрируемая (по мере Лебега) функция на интервале [Ь(а), Ь(Ь)].
Тогда функция 7(Ь(у))Ь'(у) ннтегрируема на [а, Ь] н л(ь) ь 7(х) Ых = ') 7(Ь(у))Ь'(у) ду. Л(а) а 16. Доказать формулу (70). 17. Пусть С, С(, Сз, ... — неотрицательные интегрируемые случайные величины такие, что ЕС„-+ЕС и для всякого е>0 вероятность Р([с — с„[>е)-+О. Показать, что тогда Е]с„— с[- О, и со. 18. Пусть С вЂ” интегрируемая случайная величина (Е[С[<со). Доказать, что для всякого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для любого А Е Х с Р(А) <6 выполнено свойство Е/А[С[< в («свойство абсолютной непрерывности интеграла Лебега»). да ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИЛАНИЕ 263 19. Пусть 4, т), ь и с ° тМ. 4, л> 1,— случайные величины такие, что *) 4л — (, Ъ вЂ” т), (л 6, г)л < 6л < ~., П > 1, Ег,„- Ег,, Епл-+Ет), и математические ожидания Ес, Ет), Ес конечны. Показать, что тогда справедлива лемма Пратта: Ес„-+ Ес и если к тому же г1, < 0 < г",„, то Е!сл — 6! — ~ О.
Вывести отсюда, что если с„- с, Е(с„!- Е!с! и Е(с! < со, то Е!сл -с!-+О. Привести пример, показывающий, что в условиях леммы Пратта, вообще говоря, Е(6„— с! 2~+0. 20. Доказать, что (.7<с.'7 и если функция Г' ограничена и мера р конечна, то Е. 7 = Е 7 (см. замечание 2 в п. 11). 2!. Доказать, что для ограниченных функций 7" математическое ожидание Ет = Е.7' (см. замечание 2 в п.
11). 22. Доказать заключительное утверждение в замечании 2 п. 11. 23. Пусть г(х) — функция распределения случайной величины Х. Показать, что ЕХ+ < со оо ') ! п — г(х < оо для некоторого а. 1 р(х) 24. Показать, что если р>0 и !пп хдР((с! >х)=0, то Е(с!'<со для х оо всех г < р. Привести пример, показывающий, что при г= р может оказаться, что Е!С!д = оо. 25. Дать пример плотности Г(х), не являющейся четной функцией, у которой, тем не менее, все нечетные моменты ~ хд/(х) г(х=О, А=1,3, ... 26.
Привести пример случайных величин („, и > 1, таких, что льп л=! 27. Пусть случайная величина Х такова, что для любого а > 1 Р()Х! > ал) РОХ! Р *) Сходнмость 4, Е называемая сходнмостью по вероятности, означает, что ддя всякого е>О веРоЯтность РОЕл — 6! >е! О, л оо.
ПодРобнее см. $!О. 264 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Доказать, что тогда у Х существуют все моменты. Указание: воспользо- ваться формулой Е]Х]" =М ~ х" 'Р(]Х]>х)дх. о 28. Пусть Х вЂ” случайная величина, принимающая значения А=О, 1, 2, ... с вероятностями рю Функция г(з)= 2 раз", ]з]<1, называется »=о производящей функцией случайной величины Х.
Установить следующие формулы: (1) если Х вЂ” пуассоновская случайная величина, т. е. рь = е "Л~/й), где Л > О, й = О, 1, 2, ..., то г"(з) = е ха '!, ]з] < 1; (й) если случайная величина Х имеет геометрическое распределение, т.е. ра= рць, где О< р<1, д=! — р, й=О, 1, 2, ..., то р(з) = р , ]з] < 1.
1 — зд' 29. Наряду с производящей функцией г(з) полезно рассматривать производящую функцию моментов: М(з) = Ее'» (в предположении, что з таковы, что Ее'» < со). (а) Показать, что если производящая функция моментов М(з) определена для всех з из некоторой окрестности нуля (з е ]-а, а], а > 0), то существуют производные Мвй(з) при з =0 для всех й = 1, 2, ... и Мвй(0) = ЕХ~ (это свойство и оправдывает название для М(з)). (Ь) Привести пример случайной величины, для которой М(з) =со при всех з >О. (с) Показать, что для пуассоновской случайной величины Х с Л>0 функция М(з)=е »0 ' ! для всех хай. 30.
Пусть 0 < г < оо, Х„е (.', Х„- Х. Тогда следующие условия равносильны: (!) семейство (]Х„]', а > Ц равномерно интегрируемо; (й) Х,- Х в (.', (й!) Е]Х„]'- Е]Х]' < оо. 3!. Тождество Спицера. Пусть Хн Хэ, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с Р(Х! < 1) =1, и пусть 5„=Х~ + ... 46. Ннтегрлл левеГА, мАтемАтическОе ОжилАние + Ха. Тогда лля !и!, !! ! < ! Ол лл !и ~~~ !лЕ(иМл) = ~ — Е(и5лл'), л=е льо где Мл = щах(0, Хн Хз, ..., Х ), 5„+ = щах(0, 5л). 32.
Пусть 56 =О, 5л ллХ| +... +Хи, и > 1, — простое симметричное случайное блуждание и т=пнп(п>0: 5л>0), Показать, что Е пнп(т,2т)=2Е!5~ (=4тР(5з =0), т>0. 33, Пусть с — стандартная гауссовская случайная величина (( .4'(О, 1)). Используя интегрирование по частям, показать, что Е(» = =(я — !)Ес» з. Вывести отсюда формулы Есз~ '=0 и Есз»=! 3.... (2й — 3)(2й — 1) (=(2й — 1)!!). 34. Показать, что функция х ' гйп х, х ей, интегрируема по Риману, но не интегрируема по Лебегу (с лебеговой мерой на (й, йл()г))). 35. Показать, что функция С(ьн,лл»)=е ' ' — 2е ~' ', ОЧЕЙ1=[1,оо), юзЕйз=(0,1], такова, что (по мере Лебега) (а) лля каждого о~ она интегрируема по лн е йн (Ь) для каждого ач она интегрнруема по ллзейз, но теорема Фубини не имеет места.
36. Локазать теорему Беппо Леви: Пусть случайные величины 6, сз, ... интегрируемы (е!с„! < оо для всех и > !), знр ес, < оо и с„! 4; тогда случайная величина с интегрируема и Ес„! Ес (ср. с теоремой ! а). 37. Доказать следующую разновидность леммы Фату: если 0 < с„- с (Р-п.н.) и ЕС„<А <со, п>1, тос интегрируема и ЕС<А. 38. (О связи интегрирования по Лебегу и ао Риману.) Пусть борелевская функция Г = Дх) интегрируема по мере Лебега: ) (Г(х) ! ах < оо. я Доказать, что для всякого е > 0 найдутся: л (а) стУпенчатаЯ фУнкциЯ Г',(х) = 2 Д/л,.(х) с огРаниченными интеРва1=! лами А; такая, что ~ )Г(х) — ~,(х)! ах < е; (Ь) интегрируемая непрерывная функция д,(х) с ограниченным носителем такая, что ~ !)(х) — у,(х))с(х <г.
я 266 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 39. Показать, что если С есть интегрируемая случайная величина, то о ЕС= ') Р(С>х)йх — ') Р(С<к)ах. о — ОО 40. Пусть с и г! — интегрируемые случайные величины. Показать, что ЕС вЂ” Ег)= $ [Р(г)<х<С) — Р(С<х<и)) йх.
41. Пусть С вЂ” неотрицательная случайная величина (С > 0) с преобразованием Лапласа ~р~(Л) =Ее ~1, Л>0. (а) Показать, что для всякого О < г < 1 Ес' = ) — з — аЛ. = Г(1 -г) Л+1 о Указание: воспользоваться тем, что для з >О, 0 <г < 1 ! — 5х — Г(1 — г)з' = $,~, йЛ. о (Ь) Показать, что для всякого г >0 Е~ '=+ ~ 1сс(ЛЬО)йЛ. Указание: воспользоваться тем, что для з > О, г > 0 з = — ~ ехр(-(Л/з)') йЛ.
г Г(!!г) 0 ф 7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно сг-алгебр 1. Пусть (й,л, Р) — вероятностное пространство и событие А е лг таково, что Р(А) > О. Как и в случае конечных вероятностных пространств, условной вероятностью А (обозначение: Р(В (А)) будем называть величину Р(ВА)/Р(А), а условной вероятностью события В относительно конечного или счетного разбиения У=(0н 02, ...) с Р(0;) >О, ! >1 (обозначение: Р(В)У), Р(В(У)(ьг)) назовем случайную величину, равную Р(В(0;) для ьгЕ0ь !>1: Р(В / У)(ю) = ~~~ Р(В /0;))о,(ы).
!в! $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 267 Аналогичным образом, если 4 — случайная величина, для которой опреяено Е~, то условным математическим ожиданием 4 относительно обытия А с Р(А))0 (обозначение: Е(с]А)) будем называть величину Е(с!А) (ср. с (! О) $8 гл. !). Р(А) Случайная величина Р(В ~ У) является, очевидно, измеримой относительно о-алгебры У=о(З), в связи с чем ее обозначают также Р(В [У) (см.
$8 гл. !). В теории вероятностей приходится, однако, сталкиваться с необходимостью рассмотрения условных вероятностей относительно событий, имеющих нулевую вероятность. Рассмотрим, например, следующий эксперимент. Пусть 4 — случайная величина, равномерно распределенная на [О, (]. Если С =х, то подбрасывается монета, у которой вероятность появления «герба» равна х, а «решетки» вЂ” (! — х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
