А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть Р— вероятностная мера на (й, Р') и Рх — вероятностная мера на (Е, е'), индуцируемая Х =Х(ы): (40) Рх(А) = Р(ы: Х(ы) Е А), А Е Л'. Тогда для всякой в-измеримой Функции д = д(х), х е Е, $ д(х) Рх(йх) = $ й(Х(ш)) Р(йы), А Е 4' (41) л х- >л> (в том смысле, что если существует один из интегралов, то определен и второй, и они совпадают). Доказательство. Пусть множество А е в и а(х) =!в(х), где В е в'. Тогда искомое соотношение (41) превращается в равенство Рх(АВ)=Р(Х >(А)Г>Х '(В)), (42) справедливость которого следует из (40) и замечания, что Х '(А)п Г>Х '(В)=Х '(АПВ). Из (42) вытекает, что (41) справедливо для неотрицательных простых функций д = й(х), а значит, в силу теоремы о монотонной сходимости (4!) справедливо и для произвольных неотрицательных в-измеримых функций.
В общем же случае надо представить функцию д в виде й+ — й н заметить, что, поскольку для функций д+ и д равенство (41) справедливо и если, например, ) й+(х) Рх(йх) <оо, то и ~ д+(Х(ы))Р(йы) <оо, а А х- >л> 46, интеГРАл леБеГА. мАтемАтическОе О)кидяние значит, из существования ) д(х) Рх(с(х) следует существование интеграла о(Х(ь()) Р(с(ы). С) х- (л) Следствие. Пусть (Е, в') = (В, Я(Я)) и с = с(ь() — случайная величина с распределением вероятностей Рс. Тогда, если я = д(х) — борелевская функ)(ия и существует любой из интегралов ) д(х) Рс(((х) л или ~ д(Дь()) Р(((ы), то '(л) ~ и(х) Ре(ах) = ~ В(((ы)) Р(аь().
Ф '(.4) В частности, при А =В получаем, что Ед(4(ь()) = $ у(6(г))Р(((ь() = $ д(х) Ре(((х). (43) Мера Рс однозначно восстанавливается по функции распределения Рс (теорема ! в $3). Поэтому интегралы Лебега ~ д(х)Р4(((х) часто обозначая ют ) д(х) Ре(с(х) или ) д((Р4 и называют интегралами Дебега — Стилтьеса (по мере, соответствующей функции распределения Ре(х)). Рассмотрим случай, когда функция распределения РЕ(х) имеет плотность Ге(х), т. е.
пусть к Ре(х) = ~ Гс(у)((у, (44) ЕВ(4((и))= ~ д(х)~4(х)йх, (45) где интеграл понимается как интеграл Лебега от функции Е(х))4(х) по лебеговской мере. В самом деле, если ц(х) =)в(х), В ЕМ()г), то требуемая формула превращается в равенство Рс(В)=~ 14(х)((х, ВЕЯЯ), (46) в где ~с = Гс(х) — неотрицательная борелевская функция, а интеграл пони- мается как интеграл Лебега по лебеговской мере на множестве ( — со, х] (см.
замечание 3 в п. 2). В предположении (44) формула (43) принимает следующий вид: 246 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ справедливость которого следует нз теоремы ! $3 и формулы ь Рг(Ь) — Ре(а) = ) 74(х) (тх. ч В общем случае доказательство то же, что и в теореме 7. 10. Рассмотрим специальный случай измеримых пространств (Й,,тг) с мерой и, где Й = Й1 х Йю з =,яч ЭЯ2, а мера и = р( х р2 есть прямое произведение конечных мер р( и р2, т. е. такая мера на йг, что р( х р2(А х В) = р((А)и2(В), А Е,йг(, В Е Я~ (сугцествование такой меры будет следовать из доказательства теоремы 8).
Приводимая далее теорема играет ту же самую роль, что и известная теорема из анализа о сведении двойного интеграла Римана к повторному. Теорема 8 (Фубини). Пусть С=С(ы(, ы2) — яч чзя2-измеримая функция, интегрируемая по мере р1 х р2,. 1с(ь(1, ы2) ~ с(((и1 Х р2) С 00. (47) й, хй2 Тогда интегралы ~ С(ы(, ш2) р(((ь(г1) и ) Е(ы(, (г2) р2((((г2) й( йг 1) определены для р2-почти всех (г2 и р,-почти всех и(1, 2) являются тг2- и я,-измеримыми функциями, соответственно, Ц2((г2. ') 1с(Щ, ы2)1р((с(ь(1) =00) =О, (48) р1((е1.
') 1с(и11, ыт)1Ц2(((ы2) =00) =О й( и 3) 1 а, И( (=1(1В-ь-( И (1,И (= й,хй, й! ~й2 = 1 (1 ((, й(р (и д1~е(ш д(. (49( й2 ьй( Доказательство. Покажем прежде всего, что для любого фиксированного ы( Е Й1 функция С, ((г2) = С((г(, (е2) является уг2-измеримой по ы2. Пусть рЕ,уг( ®,уг2 и С(ы(, ы2)=lг(ы(, (г2). Обозначим через В, = =(ь12ей2'. ((г(, ы2)ег) — сечение множества г' в точке (е(, и пусть (е, = (г" е зг: г" ( е Я2).
Надо показать, что для любого (е( 1к, =.Уг. йа, интеГРАЛ ЛЕБеГА. мАТемАтичЕСкОе ОжидАние 247 Если Е = А х В, А Е,йгй В Е Яу, то (А В) 2 В, если ь22 ЕА, '(Е2, ЕСЛИ ь22 и А. Поэтому прямоугольники с измеримыми сторонами прннавлежат и", Далее, если Ее У', то (Е), =Р' „а если (Е")„>2 — множества из Я, то (() Е"), =() Е",, Отсюда следует, что У, =.эг. Пусть теперь 5(ыь ь22) >О. Тогда, поскольку для каждого ы, функция С,(ь22) =С(ь22, ь22) является У~-измеримой, то определен интеграл ~ 5(ь2Й ь22) 122(2(ь22). Покажем, что этот интеграл является Я2-измеримой й2 функцией и ~ ') 5(ь22, ь22) 122(г(ь22)~)22(2(ь22) = ) с(ь22, ь22) 2((122 х 422).
(50) й! ~Й2 Й,хй, Предположим, что 5(ь2й ь22) =/А,в(щ, ь22), А е Я2, В е Яэ. Тогда, посколь- КУ 2А ха(Ь22, ~2) = 2А (Ь22 )2 В (2222), ТО ') IАхв(ш! ь22)122(2(ь22)=!А(ь22) ) /в(ь22)142(г(мг) (51) Й2 и, следовательно, интеграл в левой части (51) является Х2-измеримой функцией. Пусть теперь С(ь22, ь22) =гг(ь2й ь22), ЕЕЯ=Я2 Э,У2.
Покажем, что интеграл Т(ь22) = ) (в(ь22, ь22))22(2(ь22) является Я-измеримым. С этой цеЙ2 лью обозначим У =(Е е Я: т(ь22) — я 2-измерима). Согласно доказанному, множества А х В принадлежат У (А е Я2, В е Я2), а значит, и алгебра л~, образованная из конечных сумм непересекающихся множеств такого вида, также принадлежит и". Из теоремы о монотонной сходимости следует, что система й является монотонным классом, и". = 12(У).
Поэтому в силу вклю- чений АФСм"с..эг и теоремы 1 из $2 Я=2т(АФ)=12(ьФ)С12(М') =в С,эг, т.е. ~=Я, наконец„если 5(2вй ь22) — произвольная неотрицательная эг-измери- мая функция, то К2-измеримость интеграла ~ 5(ь2Й ь22) 422(2(ь22) следует й2 из теоремы о монотонной сходимости и теоремы 2 $4. Покажем сейчас, что мера 24=24, х 122, определенная на йг=Я2 З,яз и обладающая свойством 22, х 222(А х В) = 242 (А)2А2(В), А е .эгй В е лгэ, дей- ствительно существует и единственна. 248 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Положим вля В Е.л и()) = ) () ) .,( Я)Л (Л й)]2 (Л ) Как было показано, внутренний интеграл является яч-измеримой функцией, и, следовательно, функция множеств /2(е) действительно определена для /'е.й.
Ясно, что если В=А х В, то /2(А х В) =/2)(А)/2з(В). пусть теперь (Вл) — непересекающиеся множества в и . Тогда 2/2,2)=) () )о ец.,ьл)2(2 )]Л(2 )= л l Й, ~Й2 -) 2, () ).,( )л(2 )]л(2 )= Й) Л 2Й2 (ЛЗ) ие( (ЫЗ)~ 2((/Ы)) ~ М(лл) л Й) (Й2 л т.е. /2 является мерой (о-конечной) на яг. Из теоремы Каратеодори следует, что эта мера /2 является единственной мерой со свойством /2(А х В) =/2) (А)лг(В). Установим теперь формулу (50). Если с(л2), ыз) = 1лхв(ы) а)з) А Е йг) Ве эгз,то (52) /д„в(л)(, л2з) г///2( х,из) =/2) х,из(А х В), Й,хй, и так как /длв(л2), л)з) =/л(л2))/в(л)з), то ") (') ) ° ( . 2)л(2~)]л(л )= Й( ~Й2 = ( ()„(„,) ( (,Л,)„,(2~)]Л,(2,)=„,(Л)2,(Л).
(22) Но по определению меры /2( х /2з /2) х/2з(А х В) =/2)(А)/2з(В). Поэтому из (52) и (53) следует справедливость (50) для С(л)), (лз)= =/дхз(ь)) ь2З) Пусть теперь с(л2), (лз) = /г((л(, ыз), В е,йг, Функция множеств Л(/) = ) /г(и)), ь2з) (/(/л( х /2з), /' Е.л, й, Хйл 46, ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 249 является, очевидно, о-конечной мерой. Нетрудно проверить также, что таковой же является функция множеств (о=1 (1 ((, е)~ч ~)1и н ) й~ ~й4 Как было установлено выше, Л и и совпадают на множествах вида р=А х В, а значит, и на алгебре лФ. Отсюда по теореме Каратеодори следует, что Л и и совпадают для всех В е У. Перейдем теперь к доказательству собственно утверждений теоремы Фубини.
В силу (47) (ь11 ы2) г((241 х 442) < со, ~ 5 (м1, и~) 4((441 х 442) < оо й,хй й,хй, согласно доказанному, интеграл ) 5+(ы1, ы2)г42(1(ы2) является ег1-измей2 римой функцией от ы1 и Ч (Ш1, Ы2) 442(1(Ы2) 441(4(Ю1) = ) С (Щ, Ы2) Н(441 Х ~42) < ОО, й,,й, й,хй2 Поэтому в силу задачи 4 (см. также свойство 3 в п.
3) ~ 5+(ы1, ы2) 142(4(ы2) < оо (441-п. н.). Точно так же и ~ 5 (ы1, ыз) 142(1(ыз) < оо (441-п. н.), а значит, $ фы1, 1 ~)) 142(ды2) < со (441-п. н.). Ясно, что за исключением некоторого множества 4', имеющего 441-меру нуль, ) 5( й ы2)442(о и2)= ~ 5+(ы1, ~)442(1( 2) — ) Г(е11, ы2)442(1( 2). (54) й4 й1 йг Полагая входящие сюда интегралы равными нулю для ы1 е 4', можем считать, что (54) выполнено для всех ы1 Е П1.
Тогда, интегрируя (54) по 250 ГЛ.!!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ мере р! и учитывая (50), получим, что ! (! а., )ин )1~)2 ° )-! (! 2')., )2)2~)]2)2.)- й) (Й2 Й) Й2 — ~~ С (ш), шт)г2з(дшз)~ р)(дш))= ~ С+(ш), ыз)2((Г2! х,из)— й! (Й2 й) хй2 — 5 (ш), шз) д(22) х 22з) = ~ ~(ш), шз) д(22) х р22). й) хй2 й,хй, Аналогичным образом устанавливается первое соотношение в (48) и равенство 2) . )2)2 и)=! (! 2), )и)2 )]и)2и). й,хй, с-а -..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
