А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 38
Текст из файла (страница 38)
и. 5 й 4 гл. !). Цель этого параграфа — дать определение и изучить свойства математического ожидания Е5 произвольной случайной величины. С точки зрения анализа математическое ожидание Е5 есть не что иное, как интеграл Лебега от лг-измеримой функции 5=9ы) по мере Р, для которою (наряду с ЕО используются также следующие обозначения: ~ 5(ы)Р(ды) или ~ 5дР. и и 2. Пусть(=5(ы) — неотрицательная случайная величина. Построим последовательность простых неотрицательных случайных величин (5„)„>, таких, что 5„(ы) 15(ы), и — оо, для каждого ы е й (см. теорему 1 в $ 4). Поскольку Еб, <Еб„+~ (ср.
со свойством 3) из п. 5 $4 гл. !), то существует !пп Е5„, который может принимать и значение +ос. » Определение 1. Интегралом Лебега от неотрицательной случайной величины С =С(ы), или ее математическим ожиданием, называется ве- личина Е5 Гм !!гп Еб». (3) йгп Е(„=!пп Еп,„, (4) Лемма 1. Пусть г) и 4„— простые неотрицательные случайные величины, и > 1, причем 615>п. Тогда !!гп Еб„> Еп.
(5) Доказательство. Пусть е>0 и А» =(ин 5» >и — е). Чтобы это определение было корректным, надо показать, что значение этого предела не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности (Я. Иначе говоря, надо показать, что если 5„Т 5 и и (с, где (и )— последовательность простых неотрицательных функций, то 228 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Ясно, что А„! () и (» = (лlл„+ ~л/д„> ~«(л„> (ц — е)!л„. Поэтому, используя свойства математических ожиданий от простых слу- чайных величин, находим, что Е~„> >Е(г1 — е)(д„= Ег)(д„— еР(А«) = = Егг — Ег1lл„— еР(А„) > ЕЦ вЂ” СР(А„) — е, где С = гпах г!(ш).
Отсюда в силу произвольности е > 0 вытекает требуемое неравенство (5). П Из этой леммы следует, что 1пп ЕС„>!пп Ец, и, по симметрии, «н (пп Ег! >! пп Ес„, что и доказывает (4). Часто оказывается полезным следующее Замечание 1. Для математического ожидания ЕС от неотрицательной случайной величины С имеет место следующее представление: (6) Ес = знр Ез, рава<«! где 5 =(з) — множество простых неотрицательных случайных величин (задача 1). Итак, для неотрицательных случайных величин математическое ожидание определено. Перейдем теперь к общему случаю. Пусть 4 — случайная величина и с+ = гпах(с, О), с = — т!п(с, О).
Определение 2. Говорят, что математическое ожидание Ес случайной величины С существует, или определено, если по крайней мере одна из величин ЕС+ или ЕС конечна: ппп(ЕС+, ЕС ) <оо. В этом случае по определению полагают ЕС ааЕС+ — ЕС Математическое ожидание Ес называют иначе интегралом Лебега от функции С по вероятностной мере Р. (По поводу других подходов к определению интеграла Лебега см. замечание 2 п.!!.) Определение 3.
Говорят, что математическое ожидание случайной величины с конечно (или с — интегрируема), если Ес+ < со и Ес < оо. Поскольку !с!=с++с, то конечность Ес эквивалентна тому, что Еф < по. (В этом смысле интегрируемость по Лебегу носит «абсолютный» характер.) йб. интеГРАл леБеГА, мАтемАтическОе Ожиддние Замечание 2. Наряду с математическим ожиданием ЕС важными числовыми характеристиками случайной величины с являются величины Ес' (если они определены) и Е[с[', г > О, называемые соответственно моментом г-го порядка (г-м моментом) и абсолютным моментом г-го порядка (г-м абсолютным моментом) случайной величины с. Замечание 3.
В данном выше определении интеграла Лебега ) С аР предполагалось, что мера Р является вероятностной (Р(й) =!), а Я'-измеримые функции (случайные величины) 4 принимают значения в Я=(-оо, оо). ПРедположим тепеРь, что Р— пРоизвольнаЯ меРа, заданная на измеримом пространстве (Й, Я) и принимающая, быть может, значение +со, а 4=4(ь~) — Я-измеримая функция со значениями в Д = [-со, со] (расширенная случайная величина). В этом случае интеграл Лебега ~ Е(ш) р(аш) определяется тем же самым способом: сначала для неотрицательных простых С (по формуле (2) с заменой Р на р), затем для произвольных неотрицательных с и в общем случае по формуле ~ 4( )рФ )=~е.+р(4 ) — ~ е. рФ ), й й й если только не возникает неопределенности вида оо — оо. Лля математического анализа особо важен случай, когда ((), Я) = =(К, М(Я)), а р — мера Лебега Л.
В этом случае интеграл ) С(х)Л(Их) обозначают ) С(х)Их, или ) Д(х)Их, или (В) ) С(х)ах, чтобы подчеркнуть отличие этого интеграла от интеграла Римана (К) ) С(х)Их. Если же мера р (Лебега — Стилтьеса) соответствует некоторой обобщенной функции распределения 0 = 0(х), то интеграл ) с(х) р(дх) называют также интегралом Дебега — Стилтьеса и обозначают ((.— 5) $ с(х) 0(йх), я чтобы отличить его от соответствующего интеграла Римана — Стилтьеса (К вЂ” 8) ) с(х) 0(дх) (см.
далее и.! 1). Из дальнейшего (свойство О) станет ясно, что если Ес определено, то определены также математические ожидания Е(с/л) для любого А Е Аг. Лля Е(0л), или, что то же, ~ 0лИР, часто используются обозначения Е(с; А) и ~ с г(Р. Интеграл ~ с с(Р принято называть интегралом Лебега А л от с помере Р на множестве А. 230 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Аналогично и в случае произвольной меры р вместо ) С/лда пишем ~ сйр. В частности, если р — и-мерная мера Лебега — Стилтьеса, А А =(ан Ь|] х ...
х (а„Ь„], то вместо ~ С йр используем запись ь, ь„ ~... ) с(хп ..., х„) р(йхн ..., йх„). ь( й„ Если р — мера Лебега, то вместо и(йхп ..., дх„) пишем просто йх~ ...йх„. 3. Свойства математического ожидания Ес случайных величин с. А. Пусть с — постоянная и Ес существует Тогда Е(сс) также существует и Е(сс) = сЕВ. В. Пусть(<ц, тогда Е~<ЕВ в том смысле, что если — оо<Еб, то — со<Ег) и Ес<Еп, если Еп < оо, то ЕС < оо и Е~ < Е г1. С. Если ЕС существует, то ]Ес] < Еф. О.
Если Ес существует, то для каждого А еР Е(сlл) также существует; если Ес конечно, то Е(сlл) также конечно. Е. Если с и г) — неотрицательные случайные величины или такие, что Еф<оо, Е]п]<со, то Е(с+ и) = Ес+ Еп. (По поводу обобщения этого свойства см. задачу 2.) Приведем доказательство свойств А — Е. А.
Для простых случайных величин утверждение очевидно. Пусть С > О, С„10, где ф— простые случайные величины, и с >О. Тогда с4„1сС и, значит, Е(с4) =Г1т Е(с~,) =с йгп Е(„=сЕ(. В общем случае надо рассмотреть представление (=4+ — С и заметить, что для с>0 (сС)+=с(+, (сС) =су, а для с<0 (сС)+= — сС (сс) = — сс+.
йб. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В. Если 0<С < г), то Е4 и Еп определены и неравенство ЕС < Ег) сразу следует из формулы (6). Пусть теперь ЕС> — оо, тогда ЕС <оо. Если х<п, то с+<г)+ и с >г) . Поэтому Еп <Ес <со, следовательно, Ег) определено и Ес = Ес+ — Ес < Еп+ — Ег) = Еп. Аналогичным образом рассматривается случай, когда Ег) < со. С. Поскольку — К! < 4 < К!, то из свойств А и  — е!с! < ес < е!с(, т.
е. !Ес! < Е)с!. О. Следует из В и того, что (0А) с )А » с ФА) ГТА '< Г. Е. Пусть с >О, г)> О, и пусть (с„) и (г)„) — последовательности простых функций таких, что ~„ТС, п„Тг). Тогда Е(С„+п„)=Е4„+Еп„и Е(~„+и») ТЕ(с+и), Е(» Т Ес, Еп„ТЕ«) и, значит, Е(с+О) = Ее+ Ег). Случай, когда Е!с)<со, Е(п!<оо, сводится к рассмотренному, если воспользоваться тем, что с=с+ — с, гг=ч+ — г) ° 4+<!6 Г<!6 н и+<(п(,п <(и! Следующая группа утверждений относительно математических ожиданий связана с понятием «Р-почти наверное».
Будем говорить, что некоторое свойство выполнено «Р-почти наверное», если существует множество .Ф' е дг с Р( т) =0 такое, что это свойство выполнено длл каждой точки ш е й ~ т . Вместо слов «Р-почти наверное» (Р-п. н.) часто говорят «Р-почти всюду» (Р-и. в.) или просто «почти наверное» (п, н.), «почти всюду» (п.
в.). Е Если С =0 (и. н.), то ЕС = О. В самом деле, если С вЂ” простая случайная величина, 4=~ хь/А,(ы) и х»Ф.О, то по условию Р(А»)=0, а значит, ЕС=О. Если же 4>0 и 0<з <С, где з — простая случайная величина, то з = 0 (п. н.), а следовательно, Ез = 0 и Ес = зцр Ез =О. Общий случай сводится к рассмотренному обычным резв<О переходом к представлению с =с+ — С с учетом того, что С+ < !с!, с < !с! и !с ! = О (п.
н.). С. Если с = и (и. и.) и Е !с! < со, то Е (и! < со и Ес = Еп (см. также задачу 3), В самом деле, пусть +'=(щ: С ~ г)). Тогда Р( Ф') = 0 и С =О„к+ Се р, гГ=ОI„«+О„„-,. По свойствам Е и Р Е~=Е9„«+ЕС( —,=ЕС! -=ЕПТ вЂ”,. Но ЕП!„, = О, поэтому по свойству Е ЕС = Ен/ „-+ Е»Г(„« = Ег).
Н. Пусть С >О и Ее=О. Тогда С=О (п.н.). 232 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛя дОКаЗатЕЛЬСтВа ОбОЗНаЧИМ А =(ип С(Ы) > 0), Ал =(Ш: С(1Л) > 1/П). Ясно, что А„)А и О < С(л„< ~!л. Поэтому по свойству В О <~ ЕС)л„< <ЕС = О. Следовательно, 0= ЕС(Л„> -Р(Ал) 1 и, значит, Р(Ал) =0 для всех и >!. Но Р(А) = йгп Р(Ал) и, следовательно, Р(А) =О. !. Пусть с и () таковы, что Е!с! < оо, Е!()! < оо и для всех А е.Р' Е(сlл) < Е(()1л).
Тогда с < г) (п. и.). В самом деле, пусть В =(ы: с(ы) >()((л)). Тогда Е(г)!в) < Е(С!в) < Е(()lв) и, значит, Е(~/в) = Е(г)/в). В силу свойства Е Е((Š— 1))!в) =О и по свойству Н (С вЂ” г))/в = 0 (п. н.), откуда Р(В) = О. г. Пусть с — расширенная случайная величина и Еф <оо. Тогда !с ! < оо (и. н.).
Действительно, пусть А=(ин !с((л)(=со) и Р(А) >О. Тогда Е)с)> > Е(К)1л) =со. Р(А) = со, что противоречит предположению ЕЦ < со. (См. также задачу 4.) 4. В этом пункте будут рассмотрены основные теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания (интеграла Лебега). Теорема 1 (о монотонной сходимости). Пусть )), С, С), С2, ...— случайные величины.
а) Если с„> () для всех п > 1, Ег) > -со и с„Т с, то Е6ТЕ6 Ь) Если С„< г) длл всех и > 1, Е() < со и С„з С, то Ес„з Ес. Доказательство. а) Предположим сначала, что ()>О. Пусть для каждого й > 1 К~"~)„>1 — последовательность простых функций таких, что Сь() (Сь и- оо. Обозначим (,(") = гпах Сь("). Тогда 1<лил <(, = тах С < тах Се=С„. (л-!) (л) (л) 1<хил 1<лил Пусть ~=!нп (,("). Поскольку для 1 < й < и ~(л) < ~(л) й Б ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 233 то, переходя к пределу при и- оо, получим, что для любого й > 1 6<С<(, а значит, с = ь. Случайные величины г,!"! простые и С!"! 7 С Поэтому Е(=Е~=!ип ЕС!"!<!нп Е~„. С другой стороны, очевидно, что поскольку с„ < с„+! <С, то !нп Ес„< Ес. Тем самым !нп Есч =Ес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
