М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Случайной величиной (СВ) называется функция ξ(ω) , определённая на множестве , принимающая числовые значения и такая,что для любого действительногоопределена вероятность.Пример 6.1. Пусть Ω – множество студентов на факультете.Каждый отдельный студент – элемент. Определим на элементах ω функциюкоторая принимает значения, равные году4 8рождения студента, который является элементом. Таким образомопределенная функция является случайной величиной (имеется в виду,что, кроме, задана вероятностная функция P(ω) ).Пример 6.2.

По промежуткам времени безотказной работы приборы делятся на несколько типов, например, первый, второй, третий.Пусть Ω = {ω} – множество значений, которые могут принимать промежутки времени безотказной работы прибора, а ξ(ω) – номер типа,который присваивается прибору с промежутком безотказной работы. Тогдаявляется СВ.Определение. Функцияназывается функцией распределения (ф.р.) случайной величины ξ(ω) .Теорема (свойства ф.р.). 1)– монотонно неубывающаяфункция; 2) lim Fξ ( x) = 0 , lim Fξ ( x) = 1 ; 3) Fξ (x ) – непрерывнаяx → −∞x → +∞функция.ωΩξwP=ξ=1(Fω=ξ}(ωlimlim=,ω, )...,...Fξ{(ωω(Ax){:)ωPξ)({2x≤ω:xсправаωk),≤P}x(}A→=)P={(ξ∅Ω≤) =xF}10ξ.(xk )+∞ kx k →xДоказательство.x→ −∞xk → x1) Поскольку {ω : ξ(ω) ≤ x1} ≤ {ω : ξ(ω) ≤ x2 } для x1 ≤ x2 , тоP{ω : ξ(ω) ≤ x1} ≤ P{ω : ξ(ω) ≤ x2 } Ÿ Fξ ( x1 ) ≤ Fξ ( x2 ) .2) {ω : ξ(ω) ≤ x} x→ ∅ Ÿ по аксиоме непрерывности→ −∞;{ω : ξ(ω) ≤ x} x→ Ω→ +∞Ÿ поаксиоме непрерывности3) Пусть x1 > x2 > ..., lim xk = x , {ω : ξ(ω) ≤ xk } = Αk , тогда A = Akk →∞kŸ по аксиоме непрерывности.Рассмотрим случай, когда множество Ω состоит из дискретного множества элементарных событий (счетного или конечного).

Пусть xk = ξ(ωk ) , ξ(ω) ∈ {x1 , x2 , ..., xk , ...} ,4 9Αk = {ω : ξ(ω) = xk } , k = 1, 2, ... . Случайные величины, которые могутпринимать только конечное или счетное множество значений, называютсядискретными. Для их описания удобно пользоваться набором вероятностей{p1, p2 , ..., pk , ...} , где pk = P( Ak ) = P{ω:ξ(ω) = xk }, который называетсяраспределением вероятностей дискретной СВ ξ(ω) . ПосколькуΑi Α j = ∅ , i ≠ j, то,(условиенормировки).

Совокупностьx1, x2 ,..., xk ,...p1, p2 ,...,pk ,...называется дискретным законом (рядом) распределения вероятностей.Установим связь между распределением вероятностей и функцией распределения:§·Fξ ( x) = P{ω : ξ(ω) ≤ x} = P¨¨ {ω : ξ(ω) = xk }¸¸ = ¦ P{ω : ξ(ω) = xk } = ¦ pk ,{k:x k ≤ x }© {k : x k ≤ x}¹ {k:xk ≤ x}pk = Fξ ( xk ) − Fξ ( xk −1 ) , если считать, что Fξ ( x0 ) = 0.В связи с тем, что свойства СВ полностью определяются свойствами их функций распределения, их принято классифицировать похарактеру этих функций.I. Дискретные СВ (ф.р.). В этом случае множество значенийξ(ω) : x1, x2 ,..., xk ,.. – счётно либо конечно, Fξ (x) =¦ pk ; ф.р. об-{k : x k ≤ x}ладает, кроме основных, следующими свойствами: 1) Fξ (x) имеетконечное или счетное множество точек разрыва первого рода, 2) еслиx – точка непрерывности, то ∃иПримеры дискретных распределений CB :5 0dFξ ( x)dx= 0.1) СВ имеет распределение Бернулли, если ξ(ω) ∈ {0,1} ,pk = P{ω : ξ(ω) = k } = p k (1 − p )1− k , k = 0,1 ,,­0 , x ≤ 0 ,°Fξ ( x) = ®1 − p, 0 < x ≤ 1,°1, x > 1;¯2) СВ ξ(ω) имеет биномиальное распределение, если,pk = P{ω : ξ(ω) = k } = Cnk p k (1 − p) n − k , k = 0,1, 2,..., n ,,­ l k kCn p (1 − p ) n − k , l < x ≤ l + 1,°k¦=0°°Fξ ( x) = ®1, x > n,°°0 , x ≤ 0 ,°¯отметим, что, как следует из формулы Бернулли, число появлений∈<{{010,1 ,22,...,n} }ξ0((<ω))p∈события в n независимых испытаниях Бернулли имеет биномиальное распределение;3) СВимеет геометрическое распределение, еслиξ(ω) ∈ {0, 1, 2, ...k , ...} ,pk = P{ω : ξ(ω) = k } = p (1 − p) k , k = 0,1, 2,...

,,­0 , x ≤ 0­0 , x ≤ 0 ,°=®Fξ ( x) = ® lkl° ¦ p(1 − p ) , l < x ≤ l + 1 ¯1 − (1 − p ) , l < x ≤ l + 1;¯k = 04) CB ξ(ω) имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0 , если,pk = P{ω : ξ(ω) = k } =λk − λe , k = 0, 1, 2, ... ,k!5 1­0, x ≤ 0,°Fξ ( x) = ® − λ l λk°e ¦ k! , l < x ≤ l + 1.¯ k =0Дадим интерпретацию некоторых из этих СВ.

Предположим, чтостудент идет сдавать зачет. На некоторые вопросы по сдаваемому предмету он знает ответы, а на остальные – нет. Поэтому событие, заключающееся в том, что он получит зачет, является случайным. Определим СВ следующим образом: если зачет сдан, то ξ = 1 , если нет, то. Таким образом определенная СВ является бернуллиевой, параметрв том случае соответствует относительному числу вопросов, на которые студент знает ответ. Пусть студенту необходимо сдатьзачетов и он делает по одной попытке получить каждый из этихзачетов. Определим СВкак число зачетов, которые получит студент. Такая СВ будет биноминальной. Число студентов, которых успел выслушать преподаватель на зачете за фиксированный интервалвремени, а также число заданий, которые выполняет ЭВМ за фиксированный промежуток времени, являются СВ, распределенными позакону Пуассона с соответственно определенными параметрами .Пример 6.4. Производятся последовательные испытания трехприборов на надежность.

Каждый следующий прибор испытываетсятолько в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составить таблицу распределения и найти ф.р. случайного числа испытанных приборов, если вероятность надежности каждого прибора равна.Решение. СВ ξ , описывающая число испытанных приборов,имеет распределение вероятностейпоэтому таблица распределения имеет видk123pk0,10,9·0,1(0,9)2·0,15 2а ф.р.­0, x ≤ 1,°k°Fξ ( x) = ®¦ pi , k < x ≤ k + 1,°i =1°¯1, x ≥ 3.II.

Непрерывные СВ (СВ с абсолютно непрерывными ф.р.).В этом случае Fξ (x) − непрерывная функция и Fξ ( x) =Ясно, что pξ ( x) =dFξ ( x)dxx³ pξ (t )dt .−∞в точках существования производной. Функ-ция pξ (x) называется плотностью распределения вероятностей СВξ(ω). Она обладает следующими свойствами:Hpaξ"bxG ≥ .1)2)(как производная неубывающей функции);∞³ pξ ( x)dx = 1 условие нормировки, (следует из свойства ф.р.−∞Fξ (+∞) = 1) ;3) кроме того, P{ω : x1 < ξ(ω) ≤ x2 } = Fξ ( x2 ) − Fξ ( x1 ) =x2³ pξ (t )dt.x1Рассмотрим примеры непрерывных СВ:1) СВ ξ(ω) имеет равномерное распределение на отрезке­0, x < a,­ 1°x − a, x ∈ [a, b]°°pξ ( x) = ® b − a, Fξ ( x) = ®, a < x ≤ b,°b − a°̄0, x ∉ [a, b]°¯1, x > b;5 3, если2) СВ ξ(ω) имеет показательное (экспоненциальное) распределениес параметромесли­0, x < 0, Fξ ( x) = ®,− λx¯1 − e , x ≥ 03) СВ ξ(ω) имеет нормальное распределение с параметрамиξ(ω) ~, еслиpξ ( x) =−1e2 πσ( x−a)22σ21 x −, Fξ ( x) =³e2π σ − ∞(t − a ) 22σ 2dt ;4) СВ ξ(ω) имеет распределение Коши с параметромpξ ( x) =,, если1xa, Fξ ( x) = arctg .2aππ( a + x )2В частности, интервалы времени между соседними автомобилями на дорогах являются экспоненциально распределенными СВ с– СВ, имеющаясоответствующими параметрами λ > 0.

Еслиэкспоненциальное распределение, тоP ( ξ > x + τ / ξ > τ) ==P(ξ > x + τ, ξ > τ) P (ξ > x + τ) 1 − P(ξ ≤ x + τ)===P ( ξ > τ)P ( ξ > τ)1 − P ( ξ ≤ τ)1 − 1 − e−λ( x + τ)= e − λx = 1 − Fξ ( x) = 1 − P (ξ ≤ x) =− λτ1 −1 − e= P (ξ > x) Ÿ P (ξ − τ ≤ x / ξ > τ) = P(ξ ≤ x),следовательно, см. рис.

7, СВ ξ − τ имеет то же самое экспоненциальное распределение, как и СВ .Рис. 75 4Пример 6.5. Проверим, что функцияявляетсяплотностью распределения вероятностей.Решение. Ясно, что f ( x) > 0. Нужно еще проверить условиенормировки. Это можно сделать несколькими способами: а) пользу∞, где Γ(k ) = ³ t k −1e − t dt – гамма-функция;ясь равенствомб) возводя интеграл0∞³ f ( x)dx в квадрат и переходя в двойном интег-−∞рале к полярным координатам.Рассмотрим первый способ:x22x§1·Γp¨( x )¸== 1π e − 2© 2 ¹ 2π1 ∞ −21 ∞ −³ e dx =³eπ02π − ∞x22−1§ x2 · 2 § x2 · ª x2º¨ ¸ d¨ ¸ = « = t» =¨ 2 ¸¨ 2 ¸© ¹© ¹ ¬2¼§1·Γ¨ ¸11 ∞ − 2 −t© 2 ¹ = 1.=³ t e dt =π0πВторой способ дает:2ª∞º1 ∞ ∞ −f(x)dx=³ ³e«³»2π − ∞ − ∞¬− ∞¼x2 + y22dxdy = [x = r cos ϕ, y = r sin ϕ] =r21 2π ∞ − 2=³ dϕ ³ e rdr = 1 ,2π 0 0откуда следует тот же самый результат.

Плотность p(x) называютплотностью стандартного нормального распределения, у которогоa = 0 , σ =1.5 5Теорема Лебега. Любую ф.р.однозначно можно предста-вить в виде (разложение Лебега)Fξ ( x) =a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x) + a3 F3 ( x) ,где ai ≥ 0 , i = 1,3 , a1 + a2 + a3 = 1 , F1 ( x) , F2 ( x) , F3 ( x) – дискретная, абсолютно непрерывная и сингулярная ф.р. соответственно.Пусть ξ(ω) – СВ с абсолютно непрерывной ф.р.и плот-ностью распределения pξ (x) , y = f (x) – непрерывная возрастающаяфункция. Тогда дляη(ω) = f (ξ(ω)){}Fη ( y ) = P{η ≤ y} = P{ f (ξ) ≤ y} = P ξ ≤ f −1 ( y ) = Fξ ( f −1 ( y )) ,и если, кроме того, f (x ) – дифференцируемая функция, то(pη ( y ) = pξ f −1 ( y )) df dy( y) .−1Если же функция f (x ) – убывающая, тоFη ( y ) = 1 − F ξ( f −1 ( y )), pη ( y ) = − pξ ( f −1 ( y ))df −1 ( y ).dyПример 6.6.

Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметромРешение:. Найти плотность распределения СВ{} {}2Fη ( y ) = P ξ ≤ y = P ξ ≤ y 2 = 1 − e − λy ,2′pη ( y ) = Fη ( y ) = 2λye − λy , y ≥ 0 .Пример 6.7. Пусть СВ ξ равномерно распределена на отрезке[0,1]. Найти ф.р. и плотности распределения СВ: а)§ πξ ·б) η2 = ξ, в) η3 = sin 2 ¨ ¸.© 2 ¹5 6Решение:} {{}а) Fη1 ( x) = P ξ 2 ≤ x = P ξ ≤ x = x , 0 ≤ x ≤ 1 ,pη1 ( x) = Fη′1 ( x) ={} {12 x, 0 < x ≤ 1;}б) Fη 2 ( x) = P ξ ≤ x = P ξ ≤ x 2 = x 2 ,pη 2 ( x) = Fη′2 ( x) = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 ;½­ § πξ ·½­§ πξ ·в) Fη3 ( x) = P ®sin 2 ¨ ¸ ≤ x ¾ = P ®sin ¨ ¸ ≤ x ¾ =© 2 ¹¿¯ © 2 ¹¿¯21­½= P ®ξ ≤ arcsin x ¾ pη 3 ( x) = Fη′3 ( x) =, 0 < x < 1.ππ x(1 − x)¯¿Пример 6.8. Найти плотности распределения СВ: а) η1 = ξ3 , б)η2 = ξ , если известна плотность распределения СВ ξ .Решение.13pη1 ( y ) = pξ ( y )(3 y )′ = 3 y 2 pξ (3 y );3а)б) Fη 2 ( y ) = P(η2 ≤ y ) = P( − y ≤ ξ ≤ y ) =y³ pξ ( x)dx =−yy= ³ [ pξ ( x) + pξ (− x)]dx , y > 0 ,0откуда следует, что pη 2 ( y ) = pξ ( y ) + pξ (− y ) , y > 0 , согласно определению плотности.Пример 6.9.

Характеристики

Список файлов книги