М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Республики БеларусьУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»М.А. Маталыцкий, Т.В. РусилкоТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯСТАТИСТИКАУчебно-методическое пособие для студентовИнститута последипломного образованияи студентов, получающих высшее образованиепо сокращенной форме обученияГродно 2007УДК 519.2 (075.8)ББК 22.171М33Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Н.Н.

Труш,кандидат физико-математических наук, доцент А.А. Крушельницкий.Рекомендовано Советом факультета математики и информатикиГрГУ им. Я. КупалыМаталыцкий, М.А.Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.- метод.М33 пособие / М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко. – Гродно : ГрГУ,2007. – 219 с.ISBNВ учебно-методическом пособии даются основы теории вероятностей иматематической статистики.

В каждом из параграфов кратко излагаетсятеоретический материал, приведены решения типовых примеров, даны задачи длясамостоятельного решения различной степени трудности. Представленные задачимогут быть использованы при составлении контрольных работ и индивидуальныхдомашних зданий для студентов очной и заочной форм обучения. Адресованостудентам инженерных и экономических специальностей, а также лицам,занимающимся самообразованием, инженерным работникам, которые интересуютсятеорией вероятностей, математической статистикой и их применениями.УДК 519.2 (075.8)ББК 22.171© Маталыцкий М.А.,Русилко Т.В., 2007ISBN© ГрГУ им. Я.

Купалы, 2007ПредисловиеЗа последнее десятилетие значительно увеличился объем преподавания теории вероятностей в высших учебных заведениях. В университетах и институтах для студентов различных специальностейчитается полугодовой или годовой курс теории вероятностей и математической статистики, обязательным является раздел, связанный свероятностью и статистикой, для студентов инженерных и экономических специальностей.Предлагаемое учебно-методическое пособие является пособием по теории вероятностей и математической статистики для слушателей Института последипломного образования (ИПО) и студентовфакультета непрерывного образования, получающих высшее образование по сокращенной форме обучения. Оно написано на достаточнострогом математическом уровне, но в то же время понятном студентам-нематематикам. Примеры и задачи также подобраны соответствующим образом.

Пособие поможет студентам в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ. Каждый из параграфов пособия имеет введение, где приводятся краткие сведения о понятиях иутверждениях теории вероятностей, необходимых для решения задач,приводятся решения типовых примеров. В пособии дается большоечисло задач различной степени трудности; в нем представлено значительное число задач «прикладного» характера, что позволяет не только обучить студента теоретическим основам, но и привить навыкивероятностно-статистического моделирования реальных явлений.При написании пособия был использован ряд отечественных изарубежных учебников и задачников, приведенных в списке литературы.

Некоторые из задач составлены авторами.Выражаем благодарность рецензентам, сделавшим ряд полезныхзамечаний.3ЭЛЕМЕНТЫГлава 1ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ§1. Случайные события.Классическое определение вероятностиОпределение. Возможные события, порождаемые комплексомусловий, называются элементарными, если:а) они различны (т.е. осуществление одного означает неосуществление любого другого);б) после выполнения комплекса условия обязательно происходит одно из них.Обозначим через Ω = {ω1 , ω 2 , ..., ω n , ...} множество (пространство) элементарных событий.Определение. Любое объединение элементарных событий называется случайным событием, B ⊆ Ω .Событие B осуществляется тогда, когда происходит одно из элеможет расментарных событий ω ∈ B . В этом смысле множествосматриваться тоже как событие.

Т.к. одно из элементарных событийпроисходит всегда, то и событие Ω происходит всегда, поэтому оноявляется достоверным событием. Событие, не содержащее ни одногоэлементарного события, является невозможным и обозначается.Таким образом, мы пришли к описанию случайных событий какмножеств, получающихся объединением элементарных событий. Всвязи с этим для определения соотношений между случайными событиями в теории вероятностей принят язык теории множеств, который приобретает своеобразную вероятностную трактовку. Пояснимнекоторые из них при помощи таблицы 1.Таблица 14Продолжение таблицы 1Язык теориимножествСоотношения между событиями на языке теориимножествОпределение (классическое определение вероятности).

Пустьмножество элементарных событий состоит из конечного числа равновозможных элементарных событийи пустьслучайное событие A состоит из n элементарных событий:. Тогда вероятностью событияA называется числоn().PA=BBC=∅C'&Событияиявляются несовместными.ЕслиΩω1j ,,ωω2 ,j ...., ωωA = {ω, ...,N}Nj n , ω ji ∈ Ω, i = 1, n12событие C происходит, то событие B не происходит.Данная формула называется формулой классической вероятности.C⊆BСобытие C влечет за собой событие B .Пример 1.1. Монету бросают дважды. Найти вероятность того,хотябы один разA герб окажетсяA = Ω \ Bчто,Событиеявляется наверху.дополнительнымРешение.Множествомэлементарныхсобытий Bявляетсямноже(противоположным)поотношениюк событию.A= BСобытие A происходит тогда и только тогда, когда не} .

Здесь, например,ство Ω = {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦозначает, что припроисходит событие B .первом бросании появился герб, а при втором – цифра. Таким образом: N = 4 ,{(})3.4Основной проблемой при решении задач с использованием формулы классической вероятности является подсчет числа способов,которыми могло произойти то или иное событие. В связи с этим такие задачи решаются, как правило, методами комбинаторики.Часто используется следующее очевидное правило (основнойпринцип комбинаторики): если некий выбор A можно осуществитьA = {ГГ, ГЦ, ЦГ} Ÿ n = 3 Ÿ P (Α ) =5m различными способами, а некоторый другой выборможно осу-и B ( A или B ) можно осуще-ществить n способами, то выборствить mn (m + n ) способами.При этом классическое определение вероятности можно датьдругими словами.Определение.

Рассмотрим эксперимент, имеющий N одинаково возможных исходов (любой мыслимый результат экспериментаназывается элементарным событием). Предположим, что событию Aблагоприятствует n из этих исходов (оно состоит из n элементарныхсобытий). Тогда справедлива формула классической вероятности.Рассмотрим свойства классической вероятности:1. Для любого событияP ( A) ≥ 0 , поскольку n > 0 , N ≥ 0 .2. Для достоверного события Ω, так как оно состоитиз N элементарных событий.3.

Если события A и B несовместны, то P ( A B ) = P ( A) ++ P(B) , поскольку если событие A содержит n1 элементарных событий, а событие B – n 2 элементарных событий, то событие A B содержит n1 + n 2 элементарных событий; и, следовательно, P ( A B ) ==n1 + n 2 n1 n 2=+= P( A) + P( B ) .NN NОстальные свойства вытекают из этих трех свойств.4. Вероятность противоположного события A равна P ( A ) = 1 −− P ( A) , так как A A = Ω , A A = ∅ , 1 = P (Ω) = P ( A) + P ( A ) .5. Если A ≤ B , то, поскольку= ( B A) ( B A) = A ( B A) , и P ( B ) = P( A) + P( B A) ≥ P( A) .6. Для любых событий A и B P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) −− P( A B ) .67.

Для любого события A 0 ≤ P ( A) ≤ 1 , так как P ( A) + P ( A) = 1и P ( A) ≥ 0 , P ( A) ≥ 0 .При решении задач часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество Ω = {ω1 , ω 2 , ..., ω n } , то размещением (сочетанием) из n элементов по называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество из k элементов множества Ω . Приразмещение называется перестановкой изэлементов.Пусть, например, дано множествоРазмещениями из трех элементов этого множества по два являются(ω1 , ω 2 ), (ω1 , ω 3 ), (ω 2 , ω 3 ), (ω 2 , ω1 ), (ω 3 , ω1 ), (ω 3 , ω 2 ) ; сочетаниями:(ω1 , ω 2 ), (ω1 , ω3 ), (ω 2 , ω3 ) . Два сочетания отличаются друг от другахотя бы одним элементом, а размещения отличаются либо самимиэлементами, либо порядком их следования.Число сочетаний из n элементов по вычисляется по формулеC kn =k 1== n{ω1 , ω 2 , ω 3 }. kΩωгде A n =n!(n − k )!A knn!,=Pkk!(n − k ) != n(n − 1) ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги