М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При проведении математических экспериментов наЭВМ поведение построенной модели многократно наблюдают приразличных случайных исходных условиях. Такой способ исследования называется методом статистических испытаний или методом«Монте-Карло». При этом возникает задача получения случайных5 7чисел, распределенных по любому какому угодно заданному закону.В ЭВМ эта задача решается при помощи функционального преобразования случайных чисел, распределенных равномерно в интервале[0,1], методы получения которых хорошо разработаны. Это делаетсяследующим образом.Пусть СВ ξ(ω) равномерно распределена на интервале [0,1].Надо найти такое преобразование f (x ) , чтобы СВ η(ω) = f (ξ(ω))имела заданную ф.р.
F ( y ) . Т.к. 0 ≤ F ( y ) ≤ 1 , выберем f (x ) в видеf ( x) = F −1 ( x) . Рассмотрим СВ η(ω) = F −1 (ξ(ω)) . Для нее pη ( y ) == pξ ( F ( y ))∂F ( y ), но т.к. ξ(ω) равномерно распределена на интер∂yвале [0,1], то, и мы получаем pη ( y ) =∂F ( y )(знак мо∂yдуля здесь можно снять, т.к. F ( y ) – неубывающая функция). Такимобразом, Fη ( y ) = F ( y ) , что и требовалось доказать.Модой дискретной СВ называется ее наиболее вероятное значение, модой непрерывной СВ ξ – значение аргумента , при котороммаксимальна.
Медианой СВ ξее плотность распределенияназывается значение аргумента, при котором.Задачи6.1. Плотность распределения вероятностей СВ ξ имеет видНайти: а) константу С, б) плотность распределения вероятностей СВ5 8η=1, в) P{4 < η ≤ 9} .ξ6.2. Дана плотность распределения СВ0, x < 0, x > 2,pξ ( x) = ®3¯ a 4 x − x ,0 ≤ x ≤ 2 .()Найти а, Fξ (x) , P{− 2 < ξ ≤ 1}.6.3.
СВ ξ имеет показательное распределение с параметромНайти плотности распределения СВ: а)б) η2 =.1ln ξ ; в)λη3 = 1 − e − λξ ; г) η4 = e − ξ .6.4. СВ ξ равномерно распределена на отрезке. Найти плот-но сти распределения СВ: а) η1 = 2ξ + 1; б) η2 = − ln(1 − ξ);τaP0{=[ξλ,1ξ]0≥ 2m}η1 =ξ ;§ §1 ··в) η3 = tg ¨¨ π¨ ξ − ¸ ¸¸.2 ¹¹© ©6.5. СВ ξ распределена по нормальному закону с параметрами, σ 2 . Найти плотность распределения СВ η =1.ξ6.6. В ячейке ЭВМ записано n -разрядное двоичное число; каждый знак этого числа, независимо от остальных, принимает с равнойвероятностью значение 0 или 1.
СВ– число знаков «1» в записидвоичного числа. Найти распределение СВ ξ и вероятности, P{ξ < m} .6.7. Времена между двумя сбоями ЭВМ распределены по показательному закону с параметром λ . Решение определенной задачитребует безотказной работы машины в течении временивремя. Если запроизошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбойобнаруживается только через время τ после начала решения задачи.5 9Рассматривается СВ– время, за которое задача будет решена.
Най-ти ее закон распределения.6.8. При работе ЭВМ в случайные моменты возникают неисправности. Времяработы ЭВМ до первой неисправности распреде-лено по показательному закону с параметром λ . При возникновениинеисправности она мгновенно обнаруживается, и ЭВМ поступает времонт. Ремонт продолжается время, после чего ЭВМ снова вклю-чается в работу. Найти плотность pξ (t ) и ф. р. Fξ (x) промежуткавремени ξ между двумя соседними неисправностями. Найти вероятность.6.9. СВ ξ распределена по нормальному закону с параметром. Задан интервал (α, β] , не включающий начала координат. Прикаком значении σ вероятность попадания случайной величиныинтервалвдостигает максимума?6.10. СВ ξ имеет распределение Пуассона.
Найти вероятностислучайных событий:{ ξ принимает четное значение},{ξпринимает нечетное значение}.6.11. Интервалы времени безотказной работы ЭВМ имеют показательное распределение с параметромНайти вероятностьбезотказной работы ЭВМ в течении времени 2T .6.12. Плотность распределения СВ равна pξ ( x) = ax 2 e − kx , k > 0 ,0 ≤ x < +∞ . Найти: а) коэффициент a ; б) ф.р. этой СВ; в) вероятность попадания этой СВ в интервал.6.13.
Пусть ξ ~ N (0, 1) . Что больше:P{1 < ξ ≤ 2} ?6 0илиλ( xλ ) n e − λx , λ ,, явn!ляется плотностью вероятности некоторой СВ ξ и найти вероятностьпри n = 2 .попадания СВ ξ в интервал6.14. Показать, что функция p( x) =6.15. СВ ξ имеет ф.р.Найти ф.р. СВ η =1(ξ + ξ ).26.16. Дискретная СВ ξ характеризуется законом распределенияНайти закон распределения СВ η = ξ 2 + 1, θ = ξ .6.17. Ф.р. Вейбулла°1 − e − λx m , x ≥ 0,Fξ ( x) = ®°̄0, x < 0,в некоторых случаях характеризует время службы элементов элект− lg1x0 ) 2Rx>0ξ(Fp0ξξ,1(x] ).), -1Mронной0− (lg xаппаратурыξ .
Найтимоду СВ ξ .2σ 2pξ (Px) = 0,4e,Случайное время простоя радиоэлектронной аппаратуры в2π xσ 0,36.18. 0,3некоторых случаях имеет плотность распределениягде M = lg e ≈ 0, 4343 (логарифмический нормальный закон распределения). Найти: а) модуль распределения при x0 = 1 , σ = 5M ;б) ф.р. Fξ (x) .6.19. СВ R – расстояние от места попадания до центра мишени – распределена по закону Релея, т.е. ее плотность распределения°axe − α 2 x 2 , x > 0,p( x) = ®°̄0, x ≤ 0.Найти: а) коэффициент a ; б) вероятность того, чтоше, чем мода.6 1окажется мень-6.20. На электронное реле воздействует случайное напряжение,11, γ=.2σ2σКакова вероятность схемы сработать, если электронное реле срабатывает каждый раз, когда напряжение на его входе больше 2 В?6.21.
Случайные ошибки измерений дальности до неподвижнойцели подчинены нормальному закону с параметрами a = 100 м и10 м. Определить вероятность того, что измеренное значение дальности отклонится от действительного не больше, чем на 15 м.6.22. Закон распределения ошибок при измерении радиуса круганормальный с параметрами1000,0,25. Найти законраспределения ошибок при вычислении длины окружности, площади круга.6.23. В счетчике Гейгера – Мюллера для подсчета космическихчастиц частица, попавшая в счетчик, вызывает разряд, длящийся время τ . Попавшие в этот промежуток времени в счетчик новые частицы счетчиком не регистрируются.
Считая, что распределение числачастиц, попавших в счетчик, подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность попадания в счетчикчастиц за время t равнараспределенное по закону Релея с параметрами a =, k = 0, 1, 2, ... , найти вероятность того, что счетчикза время t сосчитает все попавшие в него частицы.6.24. Закон ошибок при наблюдении температуры выражен пошкале Фаренгейта формулой для плотности вероятности.Написать этот закон, приспособив его к шкале Цельсия.6.25.
Угол сно са с амолет а α определяет ся формулой, где β – угол ветра – равномерно распределен в интервале, u – скорость ветра, – воздушная скорость самолета. Найтиплотность вероятности угла сноса самолета, если20 м/с,1200 км/ч.6 2ξªN8 (aπ, ºσ 2 )«0, 2 »¼¬6.26. В группе из 5 изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим икаждое вынутое проверяют. Построить закон распределения и ф.р.числа проверенных изделий.6.27. Из партии 15 изделий, среди которых имеются две бракованные, выбраны случайным образом 3 изделия для проверкиих качества. Построить закон распределения и ф.р.
числа бракованных изделий.6.28. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) наивероятнейшее число опытов, если вероятность успешного исхода в каждомопыте равна 0,5.6.29. На пути движения автомобиля шесть светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,5. Составить ряд распределения и построить ф.р.
числа светофоров, пройденным автомобилем до первой остановки.6.30. Известно, что при определенных параметрах динамиявческих систем может наступить резонанс. Пусть параметр. Найти веляется СВ, следующей нормальному законуроятность того, что значение параметра удалено от точек резонанса более чем на расстоянии d , где d ≤ 2l , а точки резонансаравны nl , n ∈ Z6.31.
Бюджетная прямая спроса потребителя на два товараи Y подвергается изменению вследствие изменения цены натовар Y . Предполагая, что изменение зависит от угла наклонаα , равномерно распределенного в промежутке, найти ф.р.и плотность распределения величины полного расходования дохода потребителя на товар Y , если бюджетная прямая проходитчерез точку B (1, 0) .6 3§7. Многомерные случайные величины.Независимость и функциональные преобразованияслучайных величинПусть на одном и том же множестве элементарных событий Ω = {ω}заданы СВ ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,…, ξ n (ω) . Вектор ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω),...,ξ n (ω)) называется n -мерной СВ, или случайным вектором.Функция n аргументовназывается n -мерной ф.р. n -мерной СВ.Пример 7.1. Пустьотрезке [0, 1] , ξ 2 (ω) =ξ12– СВ, равномерно распределенная на(ω) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
