М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω)) – двумернаяСВ. Найдем ее ф.р.{}Fξ1 ξ 2 ( x1 , x2 ) = P{ω : ξ1 (ω) ≤ x1 , ξ 2 (ω) ≤ x2 } = P ω : ξ1 (ω) ≤ x1 , ξ12 (ω) ≤ x2 .При x1 < 0 , x2 < 0 это выражение равно 0, а при x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0{} {Fξ1 ξ 2 (x1 , x2 ) = P ω : ξ1 (ω) ≤ x1 , ξ1 (ω) ≤ x2 = P ω : ξ1 (ω) ≤ min( x1,()(()°min x1 , x2 , если min x1 , x2 ≤ 1,=®°̄1, если min x1 , x2 > 1.)Ф.р. многомерной СВ имеет следующие свойства:1) Fξ (x ) является неубывающей по всем аргументам;2) lim Fξ1 ... ξn (x1 , ..., xn ) = 0 ;xk →−∞3)limx k → +∞ , k =1, nFξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) = 1 ;4) Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) непрерывна справа по всем аргументам;5) условие согласованности:lim Fξ1 ξ k −1 ξ k ξ k +1 ...
ξ n (x1 , ..., xk −1 , xk , xk +1 , ..., xn ) =x k → +∞= Fξ1 ξ k −1 ξ k +1 ... ξ n ( x1 , ..., xk −1 , xk +1 , ..., xn )6 4}x2 ) =Ф.р. меньшей размерности, которая получается из ф.р. большейразмерности, если применить для нее условие согласованности, называется маргинальной;6) отметим, что для того, чтобы некоторая функция F (x1 , ..., xn )была ф.р. n -мерной, недостаточно, чтобы для нее были выполнены условия 1) – 5). Необходимо также выполнение еще одного условия.
Пусть ak < bk , Ak = {x : ak < x ≤ bk } , k = 1, n . Нетрудно видеть, чтоP{ω : ξ1 (ω) ≤ x1 , ..., ξ k −1 (ω) ≤ xk −1 , ak < ξ k (ω) ≤ bk , ξ k +1 (ω) ≤ xk +1 , ...,ξ n (ω) ≤ xn } = Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xk −1 , bk , xk +1 , ..., xn ) −− Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xk −1 , ak , xk +1 , ..., xn ) = ∆ k Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) .{}а также P ω : ξ k (ω) ∈ Αk , k = 1, n = ∆1∆ 2 ...
∆ n Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) . Отсюда ясно, что для многомерной ф.р. должно выполняться условие∆1∆ 2 ... ∆ n Fξ1 ... ξn ( x1 , ..., xn ) ≥ 0 .CBЭто условие не следует из свойств 1) – 5). Покажем это на примере.Пример 7.2. Пусть n = 2 ,0, x < 0, x 2 < 0, x1 + x2 < 1,Fξ1ξ 2 ( x1 , x2 ) = ® 1¯1, в остальных случаях.Для такой функции, что легко проверить, выполняются свойства 1½1) – 5). Пусть Αk = ®ω : < ξ k (ω) ≤ 1¾ , тогда¯ 3¿P{ω : ξ k (ω) ∈ Αk , k = 1, 2} = ∆1∆ 2 Fξ1 ξ 2 (x1 , x2 ) =ª§ 1 ·º= ∆1 « Fξ1 ξ 2 ( x1 , 1) − Fξ1 ξ 2 ¨ x1 , ¸ » =© 3 ¹¼¬§1 ·§ 1·§1 1·= Fξ1 ξ 2 (1, 1) − Fξ1 ξ 2 ¨ , 1¸ − Fξ1 ξ 2 ¨1, ¸ + Fξ1ξ 2 ¨ , ¸ = 1 − 1 − 1 + 0 = −1 .©3 ¹© 3¹© 3 3¹6 5Таким образом получили, что если Fξ1 ξ2 ( x1 , x2 ) – ф.р., то найденнаявероятность – отрицательная.
Это невозможно, значит, выполнениеусловий 1) – 5) является недостаточным для того, чтобы Fξ1ξ2 (x1 , x2 )была ф.р.Так же, как и в одномерном случае, Fξ (x ) относится к дискрет-ному типу, если каждая из СВ ξ k (ω) , k = 1, n , принимает значения изсчетного или конечного множества. Дискретную СВξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω)) удобно описывать распределением вероятностейPξ ( x ) = P{ω : ξ1 (ω) = x1 , ξ 2 (ω) = x2 , ..., ξ n (ω) = xn } , ¦ Pξ (x ) = 1 ,xгде x = (x1 , x2 , ..., xn ) .Fξ (x ) относится к абсолютно непрерывному типу распределения, если ее можно представить в видеx1xn−∞−∞Fξ (x ) = Fξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) = ³ dt1 ...
³ pξ1 ... ξ n (t1 , ..., tn )dtn .Здесь∂ n Fξ1 ... ξn ( x1 , ..., xn )∂x1 ... ∂xn= pξ1 ... ξn ( x1 , ..., xn ) ,+∞+∞−∞−∞pξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) ≥ 0 , ³ dx1 ... ³ pξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn )dxn = 1 .Функция pξ ( x ) = pξ1 ... ξn ( x1 , ..., xn ) , обладающая перечисленными свойствами, называется плотностью распределения вероятностеймногомерной СВ ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω)) (совместной плотностью вероятностей величин ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω) .
Из условия согла-сованности для Fξ (x ) вытекает следующее свойство для совместнойплотности вероятностей6 6+∞³ pξ ... ξ−∞1k −1 ξ kξk +1 ... ξn(x1 , ... xk −1 , xk , xk +1 , ..., xn )dxk == pξ1 ... ξk −1 ξk +1 ... ξn ( x1 , ..., xk −1 , xk +1 , ..., xn ) .Плотность распределения, стоящая справа, называется маргинальной по отношению к исходной. Справедлива также следующаяважная формула:P{ω : (ξ1 (ω), ..., ξ n (ω)) ∈ G} = ³ ... ³ pξ1 ... ξ n (x1 , ...
xn )dx1 ... dxn ,Gнапример,{}P ω : ξ12 (ω ) + ξ 22 (ω ) ≤ Z ={x³³ pξ ξ (x1 , x2 )dx1dx2 .}221 + x2 ≤ Z12Рассмотрим примеры многомерных распределений.1. Полиномиальное распределение имеет дискретная СВξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω)) , гдеnξ k (ω) ∈ {0, 1, 2, ..., N } , ¦ ξ k (ω) = N ,k =1npkx k, 0 ≤ xk ≤ N , k = 1, n , ¦ xk = N ,k =1k =1 xk !nPξ ( x ) = Pξ1 ... ξ n ( x1 , ..., xn ) = N !∏n0 < pk < 1 , k = 1, n , ¦ pk = 1 .k =12. Многомерное нормальное распределение имеет СВξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω)) , непрерывного типа, для которойpξ ( x) = pξ1 ...ξ n ( x1 , ..., xn ) = (2π )−π2 1 n½G exp ®− ¦ ( xi − ai )g ij x j − a j ¾ ,¯ 2 i , j =1¿()где G =|| g ij ||n× n – неотрицательно определенная матрица, G – ееопределитель.Пример 7.3. Пусть (ξ(ω), η(ω)) – двумерная СВ, имеющая нормальное распределение,6 7° 1 § x − a ·T § x − a · ½°¸¸ G ¨¨¸¸ ¾, G =|| g ik ||2× 2 .pξ η (x, y ) =exp ®− ¨¨2π°̄ 2 © y − b ¹ © y − b ¹ °¿GНайдем плотности распределения СВ ξ(ω) и η(ω) :∞pξ (x ) = ³ pξ η (x, y )dy =−∞=° 1 §(g + g 21 )2 ·¸(x − a )2 ½° ,g g1g11 − 12 21 exp ®− ¨¨ g11 − 12¾¸g 222π4 g 22°̄ 2 ©°¹¿∞pη (x ) = ³ pξ η ( x, y )dy =−∞=° 1 §(g + g 21 )2 ·¸( y − b )2 ½° .g g1g 22 − 12 21 exp ®− ¨¨ g 22 − 12¾¸g114 g112π°̄ 2 ©°¹¿Из условий нормировки∞∞−∞−∞³ pξ (x )dx = ³ pη ( y )dy = 1 для элементовматрицы G вытекает следующее требование: g12 = g 21 ,g11 g 22 − g12 g 21 = G > 0 , т.е.
матрица G должна быть симметричнойи положительно определенной.Пусть ξ k (ω) , k = 1, n , – СВ, определённые на вероятностноммножестве элементарных событий Ω = {ω} , Ak = {ω : ξ k (ω) ∈ Bk } , гдеBk – множество на числовой прямой R , Bk ⊆ R .Определение. СВ ξ k (ω) , k = 1, n , называются независимыми всовокупности, если, как бы ни выбирались множества Bk , k = 1, n ,случайные события Ak , k = 1, n , являются независимыми в совокупности, т.е.§mP¨ A j i© i =1( )· m¸ = ∏ P A j i , ∀m ≤ n ,¹ i =16 8.Определение.
СВ ξ k (ω) , k = 1, n , называются независимымипарами, если ∀1 ≤ i < k ≤ n и для любых множеств Bi и Bk событияAi и Ak являются независимыми, т.е. P ( Ai Ak ) = P( Ai )P( Ak ) .Ясно, что СВ, независимые в совокупности, являются независимыми парами.Приведём два критерия независимости СВ в совокупности.Теорема. Для того чтобы СВ ξ k (ω) , k = 1, n , были независимыми в совокупности, необходимо и достаточно, чтобы ∀, k = 1, n ,nFξ1 ...ξ (x1 , ..., xn ) = ∏ Fξ k (xk ) .nk =1Если Fξ1 ...ξ ( x1 , ..., xn ) – абсолютно непрерывная функция, тоnимеет место следующее утверждение.Теорема.
Для того чтобы СВ ξ k (ω) , k = 1, n , были независимыми в совокупности, необходимо и достаточно, чтобыnpξ1 ...ξ (x1 , ..., xn ) = ∏ pξ k (xk ) .x1knk =1Доказательство следует из предыдущей теоремы и определенияабсолютно непрерывной ф.р. Докажем, например, необходимостьx1xnn−∞−∞k =1Fξ1 ...ξ ( x1 , ..., xn ) = ³ dt1... ³ pξ1 ...ξ (t1 , ..., tn )dtn = ∏ Fξ k ( xk ) =nnn xk) = ∏ ³ pξ (tk )dtkk =1−∞kx1xn−∞− ∞ k =1n= ³ dt1... ³ ∏ pξ k (tk )dtk .Поскольку это выполняется ∀, x2 , …, xn , то отсюда следует, чтоnpξ1 ...ξ (t1 , ..., tn ) = ∏ pξ k (tk ) .nk =1Пример 7.4. Из примера 7.3 следует, что, для того чтобы нор-мально распределённые СВ ξ(ω) и η(ω) были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы диагональные элементы матрицы G были6 9равны нулю, т.е. q12 = q21 = 0 .
Приведем аналогичное утверждениедля дискретных СВ.Теорема. Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) , …, ξ n (ω) – СВ, каждая из которых может принимать не более, чем счетное число значений. Ониявляются независимыми тогда и только тогда, когда ∀, x2 , …, xnnP{ω : ξ1 (ω) = x1 , ξ 2 (ω) = x2 ,..., ξ n (ω) = xn } = ∏ P{ω : ξ k (ω) = xk } .k =1Рассмотрим следующую задачу. Пусть f k (x1 , x2 ,..., xn ) , k = 1, m –некоторые функции, определенные на R n . Определим СВηk (ω) = f k (ξ(ω)) = f k (ξ1 (ω), ξ 2 (ω),..., ξ n (ω)) , k = 1, m ,где ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω),..., ξ n (ω)) – n -мерная СВ. =СВ, η2 (ω),..., ηm (ω)) является m -мерной. Пустьи Fη ( y ) – ф.р. со-ответственно СВ ξ(ω) и η(ω) .
Нужно выразить Fη ( y ) через Fξ (x ) исистему функций f k (x) , k = 1, m .Допустим, что ф.р. Fξ (x ) – абсолютно непрерывна. Рассмотримследующие случаи., k = 1, n , являются диффе1) Пусть m = n и все функцииренцируемыми и функционально независимыми, для последнего достаточно, чтобыdet A = det aik = det∂f i ( x )≠ 0 ∀x .∂xkВ данном случае будем иметь:= ³ dx1...³ pξ (x1 ,..., xn ) dxn .{f k ( x1 ,..., xn )≤ y k , k =1, n}Сделаем замену переменных f k (x1 ,..., xn ) = zk , k = 1, n , тогда7 0xk = qk (z1 ,..., zn ) , f k [q1 ( z1 ,..., z n ),..., qn (z1 ,..., zn )] = zk ,q ( f1 ( x1 ,..., xn ),..., f k ( x1 ,..., xn )) = xk , k = 1, n ,и поэтомуFη ( y ) =³ dq1 (z1 ,...z n )³ pξ (q1 (z1 ,..., z n ),..., qn (z1 ,..., z n ))dqn (z1 ,..., z n ) ={z k ≤ yk ,k =1, n}y1yn−∞−∞= ³ dz1...
³ pξ (q1 ( z1 ,..., zn ),..., qn ( z1 ,..., z n ))где∂(q1 ,..., qn )dzn ,∂( z1 ,..., zn )∂ (q1 ,..., qn )– якобиан невырожденного преобразования∂ ( z1 ,..., z n )xk = qk (z1 ,..., zn ) , k = 1, n , т.е. определитель (n × n ) – матрицы G сэлементами qik =∂qi ( z1 ,..., zn ). Таким образом, Fη ( y ) также абсолют∂z kно непрерывная ф.р., и плотность распределения СВ η(ω) равнаf k ( x ) ∂f i ( x )rang=m∂xk∂(q ,..., qn )pη ( y1 ,..., yn ) = pξ (q1 ( y1 ,..., yn ),..., qn ( y1 ,..., yn )) 1.∂ ( y1 ,..., yn )Данное выражение можно записать в более краткой форме:) ∂f∂( y()y ) ,(pη ( y ) = pξ f −1 ( y )−1где f ( y ) = ( f1 ( y ),..., f n ( y )) = ( f1 ( y1 ,..., yn ),..., f n ( y1 ,..., yn )) .2) Пусть теперь m < n и∀x .В этом случае систему функций, k = 1, m , можно допол-нить (n − m ) функциями f m + j ( x ) , 1 ≤ j ≤ n − m , так, чтобы они былинепрерывно дифференцируемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
