М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 15
Текст из файла (страница 15)
== (n − 1)(n − 3) ⋅ ... ⋅ 3Μξ 2 = (n − 1)(n − 3)...3 ⋅1.Положим n = 2k . Тогда9 6·¸=¸¹=(2k − 1)! .2 k −1 (k − 1)!Таким образом,m2 k = Μξ 2 k =(2k − 1)! , k = 1, 2, ... .2 (k − 1) !k −1Найдем теперь центральные моменты распределения СВ η сплотностью, -∞ < x < +∞ .Если ввести СВ1 −, то имеем pξ ( x ) =e2πпо формулеx22,а из формулы η = a + σξ находимξη−aη =(2k − 1)! .−σa(ξξ− Μξ− ()x2− a )2Dξ=Μ(ξpn=−(x1))(=n − 13) ⋅ ...e ⋅12=r 2 (2k − 1)(2k − 3) ...1 =Μη = a +(σ2kΜ−ξ1)=! a .= k −1σ()[][()]−−⋅⋅kk...21222η2 (k − 1)!2πРассмотрим центральные моменты СВ η любых порядков. Т.к., то0, n = 2k − 1,°k = 1, 2 , ... .Μ (η − Μη) = Μ (σ ξ ) = σ Μξ = ® σ 2 k (2k − 1) !° 2 k −1 (k − 1)! , n = 2k,¯nnnnДисперсия и ее свойстваОпределение.
Дисперсией СВ ξ называется ее центральныймомент второго порядка:,Dξ называется средним квадратичным отклонением СВ ξ .9 7Дисперсия служит характеристикой (хотя и не полной) рассеяния значений СВ от ее среднего значения.Из определения следует, что.Рассмотрим свойства дисперсии.1. Dξ ≥ 0 .2. Dξ = 0 только в том случае, когда P (ξ = const ) = 1 .3. D(cξ ) = Μ (cξ − cΜξ ) = c 2 Μ (ξ − Μξξ ) = c 2 Dξ .224. D(c + ξ ) = Μ [c + ξ − Μ (c + ξ )] = Μ (ξ − Μξ ) = Dξ .25. Пусть ξ и2– независимые СВ, тогда= Μ (ξ − Μξ ) + Μ (η − Μη) + 2Μ [(ξ − Μξ )(η − Μη)] =22= Dξ + Dη + 2[Μ (ξη) + ΜξΜη − 2 ΜξΜη] = Dξ + Dη ,поскольку для независимых СВ Μ (ξη) = ΜξΜη .6. Если в неравенстве Чебышева для математического ожиданияв качестве f ( x ) взять x 2 , а в качестве СВ взять (ξ − Μξ ) (или, что тоже самое, в неравенство Маркова вместо ξ подставить), тополучим неравенство Чебышева для дисперсии:Dξ∀ε > 0 .ε2Пример 9.2.
Из предыдущего примера следует, что дисперсияP{ξ − Μξ ≥ ε}≤СВ, имеющей нормальное распределение с параметрами,,равна σ 2 , т.е. Dη = r 2 .Пример 9.3. Найдем дисперсию СВ ξ , равномерно распределенной на отрезке.Решение. Для такой СВ Μξ =9 8a+b(см. пример 8.6). Найдем2начальный момент второго порядка:∞m2 = Μξ 2 = ³ x 2 pξ (x )dx =−∞1 b 2b3 − a 3 a 3 + ab + b 3x dx ==.³b−a a3(b − a )3ПоэтомуDξ = Μξ 2 − (Μξ ) =2(b − a )2 .12Пример 9.4. (правило «трех сигм»). Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что любая СВ ξ отклонится отсвоего среднего значения менее чем на три средних квадратичныхотклонения этой величины.Решение. Из неравенства Чебышева следует.В нашем случае ε = 3σ , где σ = Dξ – среднее квадратичноеσ2η0 0 Dξ{3}1, т.е.отклонение.ПоэтомуPξ−Μξ<σ≥−P{ξ(ξ−,ηΜ)ξ= <Με}§¨ ξ≥⋅1η−·¸ = 2Μ [(ξ − Μξ )(η − Μη)]9σ 2cov©¹ε8P{ξ − Μξ < 3σ}≥ .9Таким образом, полученная вероятность не меньше, чем8.9Ковариация и ее свойства.Определение.
Ковариацией СВ ξ иназывается,00здесь ξ = ξ − Μξ , η = η − Μη – центрированные СВ по отношению кСВ ξ и.9 9Рассмотрим свойства ковариации.1.2. Если СВ ξ и.независимы, то, это следует изопределения ковариации и свойства 6 математического ожидания (см.предыдущий параграф).3. Для произвольных СВ ξ и,что следует из определения дисперсии и ковариации.4. Пусть ξ1 = xξ − η , где x принимает действительные значения.Рассмотрим дисперсию СВDξ1 = Μ [xξ − η − Μ ( xξ − η)] = Μ [( xξ − Μ ( xξ )) − (η − Μη)] =2= x 2 Μ (ξ − Μξ ) − 2 xΜ [(ξ − Μξ )(η − Μη)] + Μ (η − Μη)2 == x 2 Dξ − 2 x cov(ξ, η) + Dη .Это выражение является квадратным трехчленом относительно x .2Посколькуто дискриминант [2 cov(ξ, η)] − 4 Dξ Dη долженбыть меньше либо равен нулю, т.е. должно выполняться неравенство[cov(ξ, η)]2 ≤ DξDη ,т.е.cov(ξ, η) ≤ Dξ Dη ,или− Dξ Dη ≤ cov(ξ, η) ≤ Dξ Dη .Коэффициент корреляции и его свойства.
Нормированной СВ2по отношению к СВ ξ называется СВ2; очевидно, чтоΜξ 0 = 0 , Dξ 0 = 1 .Определение. Коэффициентом корреляции СВ ξ и.100называетсяОн характеризует меру степени зависимости между СВ ξ иСВи.называются некоррелированными, если(cov(ξ, η) = 0) .Пример 9.4. Приведем два примера, показывающие, что из равенства нулю коэффициента корреляции двух случайных величин неследует их независимость.Рассмотрим две непрерывные СВ ξ и.
Пусть СВимеет плот-, − ∞ < x < +∞ , аность распределения. Тогдаcov(ξ, η) = Μ (ξη) − ΜξΜη = Μξ3 − ΜξΜξ 2 =∞2∞2= Α ³ x 3e − x dx − Α ³ xe − x dx Μξ 2 = 0 − 0 Μξ 2 = 0 ,−∞−∞т.к. подынтегральные функции в интегралах – нечетные, и, следова-тельно, cov(ξ, η) = r (ξ, η) = 0 , т.е. СВ ξ и()некоррелированы, в товремя как они связаны функциональной зависимостью.2ξη=b,ηrpr(±(ξ,10 −ax≥≠00 Рассмотрим свойства коэффициента корреляции.1η=ξ,Μξaηξ2))ξ=+≤00ηξ ( x ) = Αe1. r (ξ, η) ≤ 1 . Оно выполняется, поскольку() ()= 2[1 ± Μ (ξ η )] 0 ≤ D ξ0 ± η0 = Μ ξ0 ± η02( )2( )20 02. r (ξ, η) = ±1 тогда и только тогда, когда ξ иной зависимостью.Достаточность следует из того, что, еслиr (ξ, η ) =()= Μ ξ0 + Μ η0 ± 2 Μ ξ0η0 =.связаны линей, то21, a > 0 ,Μ [(ξ − Μξ )(η − Μη)] aΜ (ξ − Μξ )a== = signa = ®a DξaDξ Dη¯− 1, a < 0.3.
Если ξ и– независимые СВ, то. Обратное ут-верждение не обязательно, но оно будет справедливо, когда ξ инормально распределенные СВ.101–Важной характеристикой-мерной СВ является ковариацион-[(, где Κ ij = Μ (ξi − Μξi ) ξ j − Μξ jная матрица)] – ковари-ационный момент СВ ξi и ξ j ; ясно, что Κ ij = Κ ji , Κ ii = Dξ i ,i,j = 1,n . Нормированной ковариационной (корреляционной) матрицей R называется матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции СВ ξi и ξ j :R = rijn× nΚ ij, rij =Dξ i Dξ j, rij = r ji , rii = 1 , i, j = 1, n .Энтропия. Количество информации. Часто числовыми характеристиками СВ являются функционалы, определяющие различиемежду двумя распределениями вероятностей.
Такое различие необходимо знать, например, если, кроме факта зависимости между двумя СВ, нужно знать, насколько велика эта зависимость. Рассмотримслучай абсолютно непрерывных распределений. В качестве величины, измеряющей степень зависимости двух СВ, можно использоватьрасстояние между распределениями pξη (t, τ ) и pξ (t ) pη (τ ) . Расстояние между двумя распределениями измеряется различными способами. Одним из них является так называемое количество информацииШеннона.Определение.
Энтропией называется функционал[]∞Η (ξ ) = Μ ln pξ (ξ ) = ³ ln ( pξ (x )) pξ ( x )dx .−∞В физике – это мера беспорядка (неопределенности); чем больше неопределенность, тем больше энтропия.Следует отметить, что ξ может быть и многомерной СВ, т.е.может быть, что.Определение. Количеством информации Шеннона называетсявеличинаΙ (ξ,η) = − Η (ξ ) − Η (η) + Η (ξ, η) .102В теории информации эта величина означает, что СВ ξ содержитинформации о СВ η .Т.к.,∞∞∞−∞−∞−∞Η (ξ ) = ³ ln ( pξ (x )) pξ ( x )dx = ³ ln pξ ( x ) ³ pξη (x, y )dydx =∞ ∞∞ ∞−∞ −∞− ∞ −∞= ³ ³ ln ( pξ ( x )) pξη ( x, y )dydx , Η (η) = ³ ³ ln ( pη ( y )) pξη (x, y )dydx ,то∞∞ª pξη (x, y ) ºΙ (ξ, η) = ³ dx ³ ln «»dy.−∞−∞¬« pξ ( x ) pη ( y ) ¼»Если ξ и– независимые СВ, тоηΙΗ(ξξ,(ξ,η, η) =) =∞03Η (2ξ ) + Η (η)x ≤ 1, СВ ξ не содержит о СВpξ (x ) = °³ pxξηформации(,x,0 y≤)dy− ∞2°.°32pξ ( x ) = ® (2 − x ) , 1 < x ≤ 2 ,°2°0 , x < 0, x > 2.Задачи°¯9.1.
Дана плотность распределения СВ ξ, т.е. никакой ин. В этом случаеНайти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.1039.2. Дано распределение дискретной СВ ξНайти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.9.3. Найти среднее квадратичное отклонение СВ, заданной законом распределенияξ3579P0,40,30,20,19.4. СВ ξ имеет плотность распределенияНайти дисперсию СВ ξ .9.5.
Найти начальный момент -го порядка СВ, равномерно распределенной на отрезке.9.6. Найти начальный момент n -го порядка СВ, имеющей показательное распределение.9.7. Найти дисперсию и моменты дискретных СВ, имеющих: а)распределение Бернулли, б) биномиальное распределение, в) распределение Пуассона, г) геометрическое распределение.9.8. Найти дисперсию СВв задаче 8.22.9.9.
Найти дисперсию СВ ξ , имеющей распределение Максвелла, см. задачу 8.29.9.10. Показать, что функция видагде a, α > 0 , s = 1,2 ,3 , обладает свойствами плотности распределения.104Определить параметры и , исходя из заданного математическогоожидания , и найти дисперсию.
Заметим, что СВ, имеющая плотность распределения, распределена по закону Релея, а СВ, име-ющая плотность распределения f 2 ( x ) , – по закону Максвелла.9.11. Найти дисперсию СВ ξ , распределенной по логарифмическинормальному закону, плотность вероятностей для которого имеет видгде a – любое действительное число, а– любое положительноедействительное число.Замечание. А.Н. Колмогорав показал, что логарифмически нормальному закону распределения подчинены размеры частиц при дроблении.9.12.
Ребро кубаизмерено приближенно, причем.Рассматривая длину ребра куба как СВ , распределенную равноx!a,≤ξ(bx=αaΜ, найти дисперсию объема куба.≤0 b мерно (вlnинтервале[xσξamx − a )21 ])−122σ9.13.Точкаброшенанаудачу внутрь круга радиуса r . Вероят°e, x > 0,pξ ( x ) = ® 2π xσность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга,°≤ 0,0,xплощади этой области. Найти ф.р. и дисперсию¯ пропорциональнарасстояния от точки до центра круга.9.14. Найти дисперсию числа бракованных изделий в задаче 8.18.9.15.
Найти дисперсию числа исправно работающих приборов взадаче 8.19.9.16. Найти дисперсию числа попаданий в задаче 8.28.9.17. На летящий объект действуют независимо один от другогодва случайных фактораи ξ 2 , которые распределены нормально() ()соответственно с параметрами a1, σ12 , a2 , σ 22 . Найти D(ξ1 + ξ 2 ) .9.18. Ошибка измерений некоторых величин при одном способеравна 2ξ , где ξ – нормально распределенная СВ с параметрами, σ = 5 . При другом способе ошибка является суммой двух105независимых нормально распределенных СВ, причемΜξ1 = Μξ 2 = 0 , σ ξ1 = σ ξ 2 = 5 . Какой способ измерений лучше?9.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
