М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 17
Текст из файла (страница 17)
.3Тогда. Предположим, что выполненоусловие Ляпунова1 n3Μ ξ k (ω) n→0 .3 ¦→∞Βn k =1Воспользуемся неравенством Ляпунова для математического ожидания(Μ ξ (ω) ) ≤ (Μ ξ (ω) ) , 0 < s < t ,k1s stk1tиз которого вытекает, что()3σ3k = Μξ k2 (ω) 2 ≤ Μ ξ k (ω) ,3и поэтому11 n 33maxσ≤→ 0 .¦ σ k nk→∞Βn3 k ≤ nΒn3 k =1Но т.к. σ k < Βn , k = 1, n , то1max σ k2 n→ 0 ,2 k ≤n→∞Βnа из этого соотношения следует условие Линдеберга, т.е.
в данномслучае справедлива центральная предельная теорема.Нужно отметить, что если все ξ k (ω) , k = 1, 2 , .. , независимы и114одинаково распределены,Линдеберга также выполняется и, k = 1, 2, ... , то условие.Практический смысл центральной предельной теоремы состоитв следующем: если некоторый процесс происходит под воздействиембольшого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь очень мало изменяет ход процесса, то распределение суммарного действия этих случайных факторов можно оченьблизко аппроксимировать нормальным законом.Пример 10.4.
Нагрузка потребительской сети (телефонной, информационной, электрической и т.п.) в данный момент времени является результатом суммирования большого числа элементарных нагрузок, вносимых индивидуальными потребителями. Поскольку случайности, определяющиеповедение потребителей, естественно считать½Dx k (ω)n =ξs (2ω<) −Ґ na2¦kx − t суммирование большого числа незавинезависимыми,тоимеет° k =1°1 место°°2P ®ω :dt< x ¾пренебрежимоn→³ e влияющих→∞CB,на сумму.
Различные статиnσ симых2π −мало∞°°стические °°¯¿исследования подтверждают нормальный закон нагрузки.Пример 10.5. Всякое измерение неизбежно сопряжено с погрешностями; систематические погрешности можно устранить, случайныеже ошибки измерения полностью никогда не могут быть устранены.Случайная погрешность измерения вызывается многими причинами,каждая из которых лишь незначительно влияет на результат. Каждаяиз причин порождает свою, так называемую элементарную, погрешность измерения. Например, при взвешивании некоторого тела наточных весах случайная ошибка в определении его веса складывается из элементарных погрешностей, вызываемых атмосферными причинами (колебаниями плотности температуры, влажности воздуха,воздушными потоками); попаданием на чаши весов пылинок; неточностями, допущенными измерителем при снятии показаний со шка-115лы весов; незначительными вибрациями основания весов (которые всвою очередь могут вызываться многими причинами) и т.п.
Реальнонаблюдаемая случайная погрешность измерения есть сумма элементарных погрешностей. Так как количество элементарных погрешностей велико, и роль каждой из них в образовании случайной погрешности измерения мала, то в силу теоремы Ляпунова случайная погрешность измерения должна быть распределена приближенно понормальному закону.Опыт показывает, что наблюдающиеся распределения вероятностей случайных ошибок измерения очень хорошо согласуются с нормальным законом. Итак, при прямых измерениях случайная погрешность измерения распределена по закону, близкому к нормальному.Пример 10.6.
Дано 5000 независимых одинаково распределенных CB с дисперсией 50. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих CB отклонится от своего математического ожидания не более, чем на ∆ = 0.,12 .Решение. Пусть, Dξ k (ω) = σ 2 . Тогда искомая вероятность равнаn½ξ k (ω) − a¦°°n½ 1σ k =1°°P = P ®ω : ¦ ξ k (ω) − a ≤ ∆ ¾ = P ®ω :≤ ∆¾ =nσ n¿¯ n k =1°°°°¿¯nξ (ω) − a¦°n° k =1 k= P ®ω :≤σσ n°°¯½°§ n ·§§ n ·n ·¸°∆ ¸¸ − Φ¨¨ −∆ ¸ = 2Φ¨¨∆ ¾ ≈ Φ¨¨∆ ¸¸,σσσ°©¹©¹©¹°¿t21 x −2где Φ( x ) =³ e dt . Подставляя значения n = 5000 , σ = 50 ,2π 0∆ = 0,12 , получаем.116Задачи10.1.Данапоследовательность{ξ k (ω), k = 1, 2, ...}, причемнезависимыхCB1°− k с вероятностью k ,°1°ξ k (ω) = ® k с вероятностью ,k°2°°0 c вероятностью 1 − k .¯Выполняется ли для нее закон больших чисел?10.2. Дана последовательность независимыхCB{ξk (ω), k = 1, 2, ...}, при этом Μξk (ω) = 0 , Dξ k (ω) = k , α < 1 .
Выполняется ли для нее закон больших чисел?α10.3. Независимые CB{ξ.a−ξ1k((k(kωω(ω1)))), ξ 2 (ω) ,... имеют нормальное распре-деление и Μξ k (ω) = 0 , Dξ k (ω) = ck α , c > 0 , α ≥ 0 . При каких пос= 1 ледовательность2 }этих величин удовлетворяет закону больших чисел?10.4. CBпринимает значения−k ,, 1 ,..., (k-1) , k ,,..., − 1 ,при этом12§11 ·P{ω : ξ k (ω) = 0} = 1 − ¨1 + 3 + ... + 3 ¸ , P{ω : ξ k (ω) = i} = 3 , i = 1, k .3© 2k ¹2iУдовлетворяет ли последовательность {ξ k (ω), k = 1, 2 , ...} закону больших чисел?10.5. CB ξ k (ω) принимает значения − k ,P{ω : ξ k (ω) = k } =, k , при этом1, k = 1, 2 , ...
.k3Удовлетворяет ли последовательностьших чисел?117закону боль-10.6. Последовательность независимых CB {ξ k (ω), k = 1, 2 , ...}задана законом распределенияξk(ω)Pa−ann +12n + 12n + 1Удовлетворяет ли она закону больших чисел?10.7. Дана последовательность независимых CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,...,при этомx1 1+ arctg , k = 1, 2, ... .a2 ρМожно ли применить к этой последовательности теорему Хинчина?Fξ k (x ) =10.8. Пусть– последовательность независимыхCB, причем ξ k (ω) принимает значения 2 k и − 2 k с вероятностями1.2Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?10.9.
Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... – последовательность независимыхCB. В случае, когда k – точный квадрат, ξ k (ω) принимает значения− k,k с вероятностью1каждое; при остальных k ξ k (ω) при21каждое. Применим ли2к этой последовательности закон больших чисел?10.10. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равна 10 км/ч.
Оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра при одном наблюдении не превысит 80 км/ч.10.11. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета σ = 3 . Среднее значение ошибки измерения равно нулю.Оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курсасамолета будет более 4 .нимает значения − 2 − k , 2 − k с вероятностью11810.12. ЭВМ вырабатывает случайные двоичные числа так, чтознаки 0 и 1 на каждой позиции появляются с одинаковой вероятностью и независимо от других позиций. Последовательность знаковделится на группы, состоящие из одинаковых знаков, например,001101001110 . Подсчитывается число знаков в каждой группе и делится на число групп. Как будет себя вести эта средняя величина принеограниченном увеличении числа групп n ?10.13.
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равна 30', а математическое ожидание равно нулю. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет .10.14. Нужно сделать 10 измерений x1 , x2 ,..., x10 неизвестнойвеличины a . Будем считать их независимыми и.
Подобрать ∆ так, чтобы.10.15. Проводятся n независимых измерений некоторой неизвестной величины . Ошибки измерений , δ 2 ,..., δ n – CB, Μδ k = 0 ,an."σDP=10δx1inDηη~N1(1a, 0.01)½1η¦xδk k−Daδ≤k =∆ ¾σ 2≥, 0k,99= 1, n . За значение величины a примем среднее арифмеPn® = ¦n¯ 10 kk=1=1 тическое¿ результатов измерений, тогда ошибка для будет равна.Оценить количество измерений n , при которых ошибкаше ∆ с достаточно большой вероятностьюда P = 0,99 , ∆ = 0,1 ,. Может либудет не боль-.
Рассмотрим случай, когбыть меньше, чем?10.16. Можно ли принять величину1 n2¦ (ξ k (ω) − a )n k =1в качестве приближенного значения дисперсии ошибок прибора, еслиsn2 =ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,..., ξ n (ω) – независимые измерения постоянной величины a , имеющие одинаковые ф.р.?11910.17. Пусть, ξ 2 (ω) ,... – последовательность независимыходинаково распределенных невырожденных CB, Dξ k (ω) < ∞ ,k = 1, 2 , ... ,.
Доказать, что для лю-бых конечных чисел a иlim P{ω : a ≤ ηn (ω) ≤ b} = 0 .n →∞10.18. Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... – последовательность независимыходинаково распределенных CB, Μξ k (ω) = 0 , Dξ k (ω) < ∞ , k = 1, 2 , ... ,. Найти Dξ k (ω) , если η (ω) ½ 1lim P ®ω : n> 1¾ = .n¯¿ 310.19.
Будет ли выполняться центральная предельная теорема дляn →∞последовательности независимых CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... с распределениями, задаваемыми следующим образом:{}а) P ω : ξ k (ω) = ±2 k =1;211−1 −б) P{ω : ξ k (ω) = ± k } = k 2 , P{ω : ξ k (ω) = 0} = 1 − k 2 .210.20. CB η(ω) является средним арифметическим одинаковораспределенных ошибок независимых измерений некоторой величины, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно сделатьизмерений, чтобы CB η(ω) с вероятностью, не меньшей 0,9973 , име-ла отклонение от своего среднего значения, не превосходящее 0,01 ?10.21. Для предыдущей задачи известно, что ошибки измеренийявляются независимыми одинаково распределенными случайнымивеличинами с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией,равной 2.
Произведено 3000 независимых измерений. Найти вероят-ность того, что η(ω) примет значение в промежутке (2, 3) .12010.22. В задаче 10.20 известно, что среднее квадратичное отклонение каждой из ошибок равно 2; произведено 10000 независимых измерений. Какое максимальное отклонение величины η(ω)от ее среднего значения можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544 ?10.23.
Для измерения некоторой величины с помощью прибора,лишенного систематической ошибки, но имеющего случайные с дисперсией σ 2 = 0,22 , сделано 100 независимых измерений. Найти вероятность того, что среднее арифметическое результатов отклонитсяот истинной величины больше, чем на 0,05.10.24. Производится выборочное обследование партии электролампочек для определения средней продолжительности их горения.Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99 , утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки по всей партии отклонится от средней, полученной в выборке,не более чем на 100 часов, если среднее квадратичное отклонениепродолжительности горения лампочки равно 200 часов?10.25.
В условиях предыдущей задачи найти наименьшее числоламп, которые нужно взять для обследования, чтобы с вероятностью0,99 утверждать, что средняя продолжительность горения лампы вовсей партии отклонится от полученной в выборке не более чем на 50часов.10.26. Для определения средней продолжительности работы некоторого прибора из данной партии выбирают наугад 100 штук.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
