М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти Μ ¨¨¸¸ , где ξ – СВ, имеющая распределение© aξ + b ¹Пуассона,,– константы.8.6. СВ ξ имеет бета-распределение с плотностьюгде1Β(a, b ) = ³ x a −1 (1 − x )0b −1dx =Γ(a )Γ(b ), a, b > 0 , – бета-функция Эйлера.Γ(a + b )Найти Μξ .8.7. Пусть ξ – неотрицательная СВ с конечным математическим ожиданием, имеющая ф.р.. Доказать, что∞Μξ = ³ (1 − Fξ ( x ))dx .08.8. СВ ξ – неотрицательная целочисленная величина с конечным математическим ожиданием.
Показать, что.9 08.9. Пусть ξ и– независимые одинаково распределенные СВ. Най. Являются ли независимыми СВ (ξ − η) и (ξ + η) ?ти8.10. При условии задачи 7.2. найти Μξ , Μη .8.11. Найти Μξ i , i = 1, 3 , в задаче 7.4.8.12. При условии задачи 7.1 найти Μξ1 , Μξ 2 .8.13. Найти среднее значение квадрата расстояния между двумяточками, выбранными наугад на любой из сторон прямоугольника.8.14.
Интервалы времени между движением автомашин на дороге имеют показательное распределение с параметром λ . Найтиинтенсивность потока автомашин на дороге.8.15. Имеется сетевой график планирования управления, согласнокоторому момент начала какой-то работы представляет собой максимальное время окончания двух обеспечивающих работ , ξ 2 (моменты окончания этих работ). Случайные величины ξ1 , ξ 2 независимы и имеют плотности pξ1 ( x1 ) и pξ 2 (x2 ) . Найти среднее значениеслучайной величины η .8.16.
Техническое устройство состоит из узлов. Каждый узелможетηiµTξnΜ1i [(ξ − η)(ξ + η)] выходить из строя независимо от других. Время исправнойλработы -го узла распределено по показательному закону с парамет. Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно замеромняется новым и поступает в ремонт. Ремонт i -го узла продолжаетсяслучайное время, распределенное по показательному закону с пара. Устройство работает в течении времени t . Определить:метрома) среднее число узлов, которые придется заменить; б) среднее время, которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов.8.17. В результате испытаний прибор может быть отнесен к классу I с вероятностью p1 , к классу II с вероятностью p 2 , или бытьзабракованным с вероятностью p 3 = 1 − p1 − p 2 . Испытание проходят n приборов.
Определить распределение вероятностей различного числа приборов классов I и II, их средние значения.8.18. Из десяти изделий, среди которых два бракованных, случайным образом выбирают два для проверки. Найти среднее значение числа бракованных изделий.9 18.19.
Среди 7 приборов 3 неисправных. Наугад берут 4 прибораи проверяют их. Найти среднее значение числа приборов, которыепри этом будут работать исправно.8.20. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1.Из партии контролер случайным образом берет деталь и проверяет еекачество. Если она оказывается нестандартной, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если деталь окажетсястандартной, то контролер берет следующую и т.д.
Всего проверяетон не более 5 деталей. Найти математическое ожидание – числапроверяемых стандартных деталей.8.21. Уровень весеннего паводка на реке является случайной ве. Плотина рассчитана так,личиной ξ с функцией распределениячтобы выдерживать паводок уровня не выше z . Предполагая, чтоуровни паводков в разные годы независимы и одинаково распределены, найти минимальное значение z , при котором вероятность разрушения плотины паводком за 100 лет будет не больше.8.22.
Производится ряд попыток включить двигатель. Каждаяпопытка занимает время τ и заканчивается успехом (включениемдвигателя) независимо от других с вероятностью. Найти распределение общего времени T , которое потребуется для запуска двигателя и его среднее значение.8.23. Радиолокационная станция ведет слежение за областьюпространства, где находится N объектов. За один цикл обзора i -йобъект независимо от других обнаруживается с вероятностью,i = 1, N . За время наблюдения осуществляется n циклов обзора. Найти среднее число объектов, которые будут обнаружены.8.24.
Наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора отображается светящейся точкой. Будем считать, что точка может занимать на экране любое положение. Диаметр экрана равен . Найтисреднее значение расстояния от точки до центра экрана.8.25. Написано n писем, но адреса на конвертах написаны в случайном порядке.
Пусть– число писем, которые будут полученытеми адресами, которым они предназначались. Показать, что Mξ n = 1 .8.26. В N телефонных автоматах ведутся разговоры. Длительность разговора, измеряемого в секундах, имеет геометрическое распределение с математическим ожиданием µ . Найти среднее времяожидания до первого освобождения телефона-автомата.9 28.27. Стреляют три раза по мишени.
Вероятности попадания в; 0.2 ; 0.3 . Найти средкаждом выстреле равны соответственнонее число попаданий.8.28. Скорость молекул газа ξ является СВ, распределенной позакону Максвелла:Найти среднюю скорость молекул.8.29. Из теории броуновского движения известно, что если частицав момент времени t = 0 находится на расстоянии x 0 от отражающейстенки, то вероятность того, что в момент t > 0 она будет находиться отстенки на расстоянии между x и, равняется, где1p(x ) =2 πDt( x + x 0 )2 ºª − ( x − x 0 )2−«e 4 Dt + e 4 Dt » .«»¬¼Найти среднее значение перемещения частицы за время t .0xN1x )dx+p,.(01dx 4h3 2 −8.30.2 2Предположим, что вам необходимо выбрать работу из двухx e h x , x ≥ 0,°pξ ( x ) = ® πпредлагаемых работ (по первой работе оплата сдельная, по второй –°0, xповременная).Известно, что на первой работе доход с одинаковой< 0.¯вероятностью составит $200 при хорошей распродаже и $100 прискромной.
На второй работе ставка $151, но если компания обанкротится (вероятность этого равна), то вы получите пособие размером $51. Какую работу вы бы предпочли?8.31. По маршруту ходит N автобусов. У водителя каждого изних было k билетов. Эти автобусы вместе перевезли n пассажиров.Найти среднее число пассажиров, которым не досталось билетов, есликаждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой изавтобусов с одинаковой вероятностью.8.32. В лотерее имеетсябилетов и разыгрывается m1 выигрышей стоимостью c1 , m 2 выигрышей стоимостью c2 , ..., mn – стоимостью c n . Какую стоимость лотерейного билета следует установить, чтобы средний выигрыш составлял 50 % его стоимости?9 38.33.
В партии имеется n изделий, каждое из которых независимо от остальных с вероятностьюроятностьюудовлетворяет стандарту, а с ве-не удовлетворяет ему. Изделия проходят про-верку, описанную в задаче 3.33. За каждое изделие, удовлетворяющеестандарту, фирма-изготовитель получает a руб. премии; за изделие,прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, – штрафруб.; за изделие, не прошедшее проверку, – штраф c руб. Найти среднюю прибыль фирмы, полученную за партию из8.34. Обследуется крупный пакет акций изизделий.штук. Известно,что каждая акция с вероятностью p обесценивается. Обследованиепроисходит путем анализа экономического проекта, в котором участвуют акции пакета. Применяют два способа обследования:а) обследовать каждую изакций;б) вести обследование по группам из n ,, акций, при-чем если пакет неубыточный, то считают, что все акции данной группы растут в цене; если же наоборот (это происходит, если хотя быодна акция группы обесценилась), то переходят к сплошному анализу акций из данной группы.Определить: 1) какой способ выгоднее в смысле минимальногосреднего числа анализов, 2) при каком n = n* для обследования группы акций потребуется в среднем наименьшее число анализов.8.35.
Пусть бизнесмен имеет убыток ατ , если попадет к местувстречи ранее намеченного срока на время. Положим, что время, необходимое, чтобы попасть к месту встречи, является экспоненциально распределённой СВ с параметром. Предполагая, что биз-несмен отправляется к месту встречи за времяка, доказать, что величина, минимизирующая ожидаемые потери,определяется из уравнения{до назначенного сро-}()P ξ ≤ t * = Fξ t * =9 4b.a+b§9. Другие числовые характеристикислучайных величинВ данном параграфе рассмотрим другие различные числовыехарактеристики СВ, которые являются математическими ожиданиями определенных функций от СВ.Моменты СВОпределение.
Начальным моментом порядка N СВ ξ называется, а центральным моментом порядка N − µ N = Μ (ξ − Μξ ) .NОпределение. В случае многомерных СВ смешанным началь-ным моментом порядка N СВ ξ = (ξ1, ξ 2 , ..., ξ n ) называется[]nΜ ξ1k1 ξ 2k 2 ⋅ ... ⋅ ξ knn , где ¦ ki = N , k i – целые неотрицательные числа.i =1Смешанным центральным моментом порядка N называется[Μ (ξ1 − Μξ1 ) 1 (ξ 2 − Μξ 2 ) 2 ...(ξ n − Μξ n )kkkn].x ∞xn 2=2= Μξ Nmσn−−N1 1 Пример 9.1. Найдем моменты СВ, имеющей нормальное расpξn(=x )Μm= ξ n = e 2 ³ x n e 2 dx2πпределение2π − ∞.с параметрами a ,22Сделаем это вначале для случая a = 0 , σ = 1 , плотность распределения СВ при этом имеет вид, − ∞ < x < +∞ ,поэтому.При нечетных n этот интеграл равен нулю как интеграл нечетнойфункции по симметричному промежутку интегрирования.
Таким образом, остается найтипри четных n . Пусть9 5, тогдаx2x2x21 ∞ 2 −22∞ 2 − 22 ∞ §¨ − 2Μξ =³ x e dx = π ³ x e dx = π ³ xd ¨ − e2π − ∞00©22 −xe=−πx22∞0x2x2·¸=¸¹x2∞2∞ − 22∞ −21 ∞ −2e dx =e dx =e dx = ³ pξ (x )dx = 1+³³³π0π02π − ∞−∞;при этом мы использовали предел lim x ex →∞−x22 dx= 0 , который легкопроверяется по правилу Лопиталя. Аналогично, проинтегрировавинтеграл, выражающий Μξ n , по частям, получимx2x22∞ n −22 ∞ n−1 §¨ − 2³ x e dx = π ³ x d ¨ − eπ00©x21 ∞ n −2Μξ =³ x e dx =2 π −∞n2 n −1 −=−x eπ== (n − 1)x22∞0x22 ∞ n−2 − 2+ (n − 1)³ x e dx =π0x21 ∞ n−2 − 2n−2³ x e dx = (n − 1)Μξ .2π − ∞Итак, доказана рекуррентная формулаMξ n = (n − 1)Mξ n − 2 , Mξ = 0 .ОтсюдаΜξ n = (n − 1)Μξ n − 2 = (n − 1)(n − 3)Μξ n − 4 = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
