М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Новая система функций опреде-7 1лит n -мерную СВ. Тогда из условия согласованности и предыдущего случая будем иметь:∞∞−∞−∞pη ( y1 ,..., ym ) = ³ dym+1... ³ pη ( y1 ,..., yn )dyn =∞∞−∞−∞= ³ dym+1... ³ pξ (q1 ( y1 ,..., yn ),..., qn ( y1 ,..., yn ))∂(q1 ,..., qn )dyn .∂ ( y1 ,..., yn )Пример 7.5. Пусть у нас есть двумерная СВξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω)) .Образуем СВ η(ω) = ξ1 (ω) + ξ 2 (ω) и найдем ее плотность распределения. В данном случае n = 2 , m = 1 ,Т.к. m < n ,f1 ( x1 , x2 ) = x1 + x2 = y1 ., то нужно ввести еще одну функцию, выберемf 2 ( x1 , x2 ) = x2 = y2 . Тогда обратное преобразование определяется фун-кциями x1 = q1 ( y1 , y2 ) = y1 − y2 , x2 = q2 ( y1 , y2 ) = y2 .
Поэтому∞∂ (q1 , q2 ) 1 − 1== 1 и pη ( y ) = ³ pξ ( y − y2 , y2 )dy 2 .∂ ( y1 , y2 ) 0 1−∞Если ξ1 (ω) и ξ 2 (ω) – независимые СВ, то∞pη ( y ) = ³ pξ1 ( y − y2 ) pξ2 ( y2 )dy2 .−∞Эта формула известна в литературе как свертка для плотностей распределения вероятностей и обозначается pη = pξ1 * pξ2 .Пример 7.6. Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) , …, ξ n (ω) – независимые СВ,имеющие экспоненциальное распределение с параметром λ , т.е.Найдем распределение СВ ηn (ω) = ξ1 (ω) + ξ 2 (ω) + ...
+ ξ n (ω) .7 2Пусть n = 2 . Имеемyy00pη 2 = ³ λe − λ ( y − y 2 )λe − λy 2 dy2 = λ2e − λy ³ dy2 = λ2 ye − λy , y ≥ 0 .Предположим, что для некоторого n ≥ 1 справедлива формулаpη n = λ(λy )n −1 e − λy ,(n − 1)!y ≥0.Докажем, что она справедлива также и для n + 1 . По той же формуледля плотности суммы двух независимых СВ ηn +1 (ω) = ηn (ω) + ξ n +1 (ω)получаемypη n+1 ( y ) = ³ λ0=[λ( y − y2 )]n −1 e − λ ( y − y )λe − λy dy =2(n − 1)!22(λy ) e − λy , y ≥ 0 .λn +1 − λy yn −1e ³ ( y − y2 ) dy2 = λ(n − 1)! 0n!nµξ1 (ω) λk − λ Распределение с плотностью pη n ( y ) называется распределениеPξ1 (k ) = ek! Эрланга n -го порядка., ξ 2 (ω) независимы и дискретны, то формула дляЕсли СВраспределения вероятностей их суммы η(ω) = ξ1 (ω) + ξ 2 (ω) имеет видPη ( y ) = P{ω : ξ1 (ω) + ξ 2 (ω) = y} ==¦ P{ω : ξ1 (ω) = y1 , ξ 2 (ω) = y2 } ={y1 , y 2 : y1 + y 2 = y}¦ P{ω : ξ1 (ω) = y1}P{ω : ξ 2 (ω) = y2 } ={ y1 , y 2 : y1 + y 2 = y }¦{ y1 , y 2 : y1 + y 2 = y }Pξ1 ( y1 )Pξ 2 ( y2 ) == ¦ Pξ1 ( y − y2 )Pξ 2 ( y2 ) .{y 2 }Пример 7.7.
Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) независимы и имеют пуассоновские распределения с параметрами λ ,, Pξ 2 (l ) =:µl −µe , k , l = 0,1,2,... .l!7 3Покажем, что их сумма ξ1 (ω) + ξ 2 (ω) = η(ω) имеет пуассоновское распределение с параметром λ + µ :=(λ + µ )k e − (λ + µ ) ,k!поскольку справедлива формула бинома Ньютонаk(λ + µ )k = ¦ Cki µi λk − i .i =0Пример 7.8. Пусть имеем двумерную СВξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ 2 (ω))непрерывного типа, для которой известна плотность распределенияpξ ( x1 , x2 ) . Необходимо найти pη ( y ) , гдеη(ω) =ξ1 (ω).ξ 2 (ω)В данном случае опять n = 2 , m = 1 .
При этомf1 ( x1 , x2 ) =x1= y1x2и введем функцию f 2 ( x1 , x2 ) = x2 = y2 . Обратное преобразование имеет вид: x1 = q1 ( y1 , y2 ) = y1 y2 , x2 = q2 ( y1 , y2 ) = y2 . Якобиан этого преобразования равен∂ (q1 , q2 ) y2=0∂ ( y1 , y2 )y1= y2 ,1поэтому pη ( y1 , y2 ) = pξ ( y1 y2 , y2 ) y2 , и, таким образом,∞pη ( y ) = ³ pξ ( yy2 , y2 ) y2 dy2 .−∞7 4Если СВ ξ1 (ω) и ξ 2 (ω) независимы, то∞pη ( y ) = ³ y2 pξ1 ( yy2 ) pξ2 ( y2 )dy2 =0∞00−∞= ³ y2 pξ1 ( yy2 ) pξ 2 ( y2 )dy2 − ³ y2 pξ1 ( yy2 ) pξ 2 ( y2 )dy2 .Используя этот результат, можно найти также плотность распре-деления произведения η(ω) = ξ1 (ω)ξ 2 (ω) :∞§y · 1pη ( y ) = ³ pξ ¨¨ y2 , ¸¸dy2 ,y2 ¹ y2−∞©а если ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) независимы, то∞pη ( y ) = ³−∞ηp (x )pξξ η ( x, y ) =§ y ·1pξ1 ( y2 ) pξ 2 ¨¨ ¸¸ dy2 .y2© y2 ¹Задачиa1 + x2 + y2 + x2 y 27.1.
Дана плотность распределения вероятностей двумерной СВππ1° sin (x + y ), 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ ,pξ1 ξ 2 ( x, y ) = ® 222°̄0, в остальных случаях.Найти ф.р. Fξ1 ξ2 ( x, y ) .7.2. Совместная плотность распределения случайных величинξ и имеет вид:.Найти коэффициент a ,, pη ( y ) ; определить вероятность попа-дания случайной точки (ξ, η) в пределы квадрата с центром в начале7 5координат, стороны которого параллельны осям координат и имеютдлину, равную 2.7.3. СВ (ξ1 , ξ 2 ) имеет плотность распределенияpξ1 ξ 2 ( x, y ) =a.π (3 + x 2 )(1 + y 2 )2Найти: а) величину а; б) ф.р.
Fξ1ξ2 (x, y ) ; в) вероятность попадания (ξ1 , ξ 2 ) в квадрат, который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 ,x = 1 , y = 1.7.4. Случайный вектор ξ = (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) имеет плотность распределенияpξ (x, y, z ) =a.1 + x + y + z + x y + x2 z 2 + y 2 z 2 + x2 y2 z 222222Найти коэффициент a .7.5.
Случайный векторпределение внутри цилиндраимеет равномерное рас-°(2πr 2 h) −1 , x12 + x 22 ≤ r 2 , x3 ≤ h,pξ1 ξ 2 ξ3 ( x1 , x2 , x3 ) = ® 222°̄0, x1 + x 2 > r или x3 > h.Определить плотности распределения отдельных компонентов ξ1 , ξ 2 , ξ3 .7.6. Пусть 0 < a ≤ 1 и[(1 + ax )(1 + ay ) − a ]e x − y − axy , x > 0, y > 0,p ( x, y ) = ®¯0, в остальных случаях.Доказать, что p(x, y ) – двумерная плотность распределения вероятностей, и найти маргинальные плотности распределения.7.7. Пусть u ( x ) – нечетная непрерывная функция на прямой,которая принимает значения, равные нулю, вне интервала [− 1, 1] , причемu (x ) <1.2πeДоказать,7 6чтофункцияx2 + y21 − 2p ( x, y ) =e+ u ( x )u ( y ) является двумерной плотностью рас2πпределения, отличающегося от нормального, но маргинальные распределения – нормальны.7.8. Плотность распределения случайного вектора ξ = (ξ1 , ξ 2 )является равномерной внутри круга радиуса r с центром в началекоординат.
Написать ее выражение и выражения для плотностей распределения отдельных его компонент.7.9. Студент и студентка договорились встретиться между 19 и20 ч, условившись не ждать друг друга более 10 мин. Предположим,что моменты их прихода к месту встречи равномерно распределенымежду 19 и 20 ч. Найти вероятность встречи.7.10. Закон распределения системы двух случайных величинопределяется таблицейyihξ(pξ, η)zi204060103λ2λλ20λ4λ2λ3002λ5λНайти λ . Составить ряд распределения для каждой из случайныхвеличини .7.11. Передаются два сообщения, каждое из которых может бытьнезависимо от другого либо искажено, либо не искажено. Вероятностьискажения для первого сообщения равна , для второго – p2 Рассматривается система двух случайных величин (ξ1 , ξ 2 ) , определяемых следующим образом1, если первое сообщение искажено,ξ1 = ®¯0, если первое сообщение не искажено,1, если второе сообщение искажено,ξ2 = ®¯0, если второе сообщение не искажено.Найти совместное распределение пары случайных величин (ξ1 , ξ 2 ) .Найти совместную функцию распределения Fξ1 ξ2 ( x1 , x2 ) .7 77.12.
Каким условиям должны удовлетворять числа a , , c для того,чтобы при подходящем выборе нормировочной константыфункция− ( ax 2 + 2 bx + c )Αeявлялась плотностью распределения вероятностей на плоскости?7.13. Состояние замкнутой компьютерной сети, состоящей изсистем (такими системами могут быть серверы, компьютеры пользователей и т.д.), описывается векторомnk = (k1 , k 2 , ..., k n ) , ¦ ki = K ,i =1где ki – число заданий (запросов, сообщений) в i -й системе,–число заданий, обрабатываемых в сети. Распределение вероятностейсостояний сети имеет вид:ki§e ·P(k ) = G ∏ ¨¨ i ¸¸ ,i =1 © µ i ¹nгде µi – интенсивность обработки заданий в i -й системе,воряют системе уравненийудовлет-nei = ¦ e j p ji , i = 1, n ,j =1p ji – вероятность перехода задания после обработки из j -й системыв -ю,– нормировочная константа, определяемая из условия нормировки¯n½¿¦ P(k ) = 1, D(K ) = ®k / ki ≥ 0, i = 1, n, ¦ ki = K ¾ .k ∈D ( k )i =1Найти вероятности состояний сети в случае: а) K = n = 2 , p12 = p21 = 1 ,µ1 = 1 ; µ 2 = 2 , б) K = n = 3 , p12 = p13 = 1 , p21 = p31 = 1 , µ1 = 100 ,µ 2 = µ3 = 1 .7.14.
В условиях задач 7.4, 7.5 установить, является или нет СВξ1 , ξ 2 , ξ3 зависимыми.7 87.15. Двумерная СВ ξ = (ξ1 , ξ 2 ) задана плотностью распределения221° , внутри эллипса x1 + x2 ≤ 1,pξ1ξ 2 (ξ1 , ξ 2 ) = ® 6π94°̄ 0, вне эллипса.Зависимы или нет СВ ξ1 и ξ 2 ?7.16. Случайный вектор (ξ, η) с неотрицательными компонента-ми имеет ф.р. Fξη ( x, y ) = 1 − e − αx − e −βy + e − αx − βy (α > 0 , β > 0 ) . Являются ли зависимыми его компоненты?7.17. Система СВ (ξ1 , ξ 2 ) распределена равномерно с постоян-ной плотностью внутри квадрата со стороной a . Написать выраже-, pξ1 (x1 ) , pξ 2 (x2 ) и определить, яв-ния для плотностейляются ли СВ ξ1 и ξ 2 независимыми.7.18.
Распределение СВ ξ = (ξ1 , ξ 2 ) определяется формуламиP{ξ1 = 0, ξ 2 = 1} = P{ξ1 = 1, ξ 2 = 0} =[ηp0ξ,1ξ] (x1, x2 )1 2= P{ξ1 = 0, ξ 2 = −1} = P{ξ1 = −1, ξ 2 = 0} = 0,25 .Являются ли СВ ξ1 , ξ 2 независимыми?7.19. Двумерная СВ задана таблицейξ2y1y2y3x10.150.120.09x200.350.21x3000.08ξ1Зависимы ли СВ ξ1 и ξ 2 ?7.20. Пусть СВ ξ ина отрезкенезависимы и равномерно распределены. Найти вероятность того, что действительны корниквадратного уравнения x 2 + ξx + η = 0 .7 97.21. Пусть ξ и– независимые СВ с одинаковой плотностью рас. Найти плотность распределения суммы ξ + η .пределения7.22. Найти плотность распределения суммыСВ ξ и, еслинезависимыхимеет равномерное распределение на отрезкеа η – равномерное распределение на отрезке,, a<b,,.7.23.
Пустьи ξ 2 – независимые СВ, ξ1 имеет показательноераспределение с параметром λ ,равномерно распределена на от-резке [a, b] . Найти плотность распределения СВ ξ1 + ξ 2 , ξ1 − ξ 2 .7.24. Доказать, что сумма ξ1 + ξ 2 независимых нормально рас-()пределенных СВ ξ1 и ξ 2 с параметрами соответственно a1 , τ12 ,(a2 , τ 22) нормально распределена с параметрами (a +1a2 , τ12+τ 22).7.25.
СВ ξi , i = 1,n , независимы и имеют нормальное распреде-()ление с параметрами соответственно ai ,τ i2 . Показать, что СВξ = ξ1 + ... + ξ n имеет нормальное распределение с параметрамиa = a1 + ... + an , τ = τ12 + ... + τ n2.7.26. Найти ф.р. произведения независимых СВ ξ1 и ξ 2 по ихф.р. Fξ1 (x ) и Fξ 2 ( x ) .7.27. СВ ξ принимает значения,, 2 с вероятностями со-ответственно 0.25 , 0.5 , 0.25 , а СВ η , независимая оти 1 с вероятностью 0.5 . Найти распределение СВ ξ + η .значения7.28.
СВ ξ иние на отрезке,, принимает,независимы и имеют равномерное распределе. Найти плотности распределения СВ ξ + η ,.8 07.29. Пусть СВ ξ1 и ξ 2 независимы и каждая имеет показательноераспределение с параметром λ . Показать, что: а) СВно распределена на отрезке [0, 1] , б) СВравномер-ξ1и ξ1 + ξ 2 независимы.ξ1 + ξ 27.30. Студент при поездке в университет пользуется двумя автобусами; первого ему приходится ожидать не более 5 минут, второго –не более 10 минут. Считая время ожидания ξ и η автобусов независимыми случайными величинами, распределенными равномерно соответственно в интервалахи [0, 10] , найти плотность распре-деления суммарного ожидания ξ + η .7.31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
