М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Решить предыдущую задачу в случае, когда ξ ираспреде-лены по показательному закону соответственно с параметрамии.7.32. Для выполнения некоторой работы необходимо выполнить[µtληξp10,1i ξ51]ξ1 + ξ 2последовательно две операции. Время выполнения первой операцииимеет равномерное распределение на отрезке [1, 3] , время выпол-нения второй операции t 2 – СВ, равномерно распределенная на отрезке [2, 5] . Найти распределение времени выполнения всей работыt1 + t 2 , если t1 и t 2 – независимые СВ .7.33. СВ ξi доходов фирмы за i -й рабочий день имеет гаммараспределение с параметром , i = 1,n.
Найти плотность распределения среднего дохода фирмы η =1(ξ1 + ... + ξ n ) за один рабочий день.n7.34. Пусть ξ – случайное число изделий. Каждое изделие с вероятностью p является бракованным. Обозначим черезчислобракованных изделий, через ξ 2 – число не бракованных изделий.Показать, что СВ ξ1 и ξ 2 независимы тогда и только тогда, когда ξимеет распределение Пуассона.8 1{}7.35. Совместное распределение pij = P ξ1 = ai , ξ 2 = a j , i,j = 1,3,случайных доходов фирмы ξ1 , ξ 2 в течении двух последовательныхрабочих дней задано таблицей (ai ∈ {− 1000 , 0 , 1000}) :ξ2ξ1-100001000-10000.20.10.300.10.20.210000.10.20.3{}Найти: а) одномерные распределения pi = P{ξ1 = ai }, pi = P ξ 2 = a j ;б) распределение среднего дохода ξ =1(ξ1 + ξ 2 ) ; в) совместное рас2пределение среднего дохода ξ и прироста дохода§8.
Математическое ожидание случайных величинПеред тем, как дать формальное определение математическогоожидания, рассмотрим пример.Пример 8.1. (среднее значение СВ). Пусть ξ(ω) – СВ со значе-ниями на числовой оси R , заданная на множестве элементарных со-бытий Ω = {ω} . Нужно найти среднее значение СВ – значение, которое СВ принимает в среднем.Решение. Выберем сначала единицу измерения ε значений СВи рассмотрим множество точек Ak , ε = {ω : kε < ξ(ω) ≤ (k + 1)ε},т.е.
Αk, ε – множество точек множества элементарных событий Ω , вкоторых ξ(ω) принимает значения от kε до (k +1)ε , k = 1,2 ,... . Намножестверассмотрим последовательность СВ ξ ε (ω) , которыезависят от параметра ε , положив8 2для ω ∈ Ak, ε , k = 1, 2, ... .В качестве среднего значения СВестественно рассматриватьвеличинуlim ¦ kεP{ω : kε < ξ(ω) ≤ (k + 1)ε} ,ε →0 kкоторую принято называть математическим ожиданием случайнойвеличины ξ(ω) (средним значением СВ ξ(ω) ).Определение. Возьмем в качестве ε величину. Таким обра-зом, математическим ожиданием СВ ξ = ξ (ω) , заданной на множестве Ω = {ω} , называется число, равноеk kk + 1½Ρ ®ω : < ξ(ω) ≤¾=n → ∞ k = −∞ n ¯nn ¿∞Μξ = lim ¦∞ξ1³(xdFw ) ξ (x )Xn= lim ¦n → ∞ k = −∞k ª § k +1·§ k ·ºFξ ¨¸ − Fξ ¨ ¸ » = ³ xdFξ ( x ) ,«n¬ © n ¹© n ¹¼ Xгде Fξ (x ) – ф.р.
СВ ξ ,называется интегралом Стилтьеса.Из этого определения имеются следствия:а) если ξ(ω) – дискретная СВ, которая принимает значения измножества {x1, x2 , ..., xk , ...} , тоΜξ = ¦ xk Ρ{ω : ξ(ω) = xk } = ¦ xk pk ;k =1k =1б) если ξ(ω) имеет абсолютно непрерывное распределение(плотность pξ (x ) ), то+∞Μξ = ³ xpξ (x )dx ;−∞в) математическое ожидание Μξ существует, если Μ ξ < +∞ .8 3Пример 8.2. Найдем математическое ожидание СВ ξ , распределенной по закону Пуассона., pk =Решение. Для такой СВλk − λe ,k!k = 0,1, 2 , ...
.Поэтому.Пример 8.3. Пусть ξ принимает значенияятностями pk =1, k = 1, 2, ... . Попарно просуммировав последова2kтельные значения, получим x2 k −1 p2 k −1 + x2 k p2 k = 0 , k = 1, 2, ... .На первый взгляд может показаться, что∞¦ xk pk = ¦ 2 2 k 2 − 2 k = ∞ ,{k : x k > 0}с веро-k =1. Однако∞¦ xk pk = − ¦ 2 2 k −121− 2k = −∞ ,{k : xk <0}n =1поэтому Μξ не существует.Пример 8.4. Найдем математическое ожидание СВ ξ , равномерно распределенной на отрезке.Решение. Данная СВ непрерывного типа. Учитывая для нее видплотности распределения, будем иметьxa+bdx =,2a b−abΜξ = ³т.е. математическое ожидание равно середине отрезка [a,b ] .Свойства математического ожидания следуют из свойств интегралов и рядов.
Рассмотрим основные из них (будем предполагать, чтосоответствующие математические ожидания, входящие в приведенные в данных свойствах соотношения, существуют).1. Если Ρ(ω : ξ(ω) ≥ 0) = 1 , то Μξ ≥ 0 .8 42. Μ (cξ ) = cΜξ , где c – константа,., то Μξ ≥ Μη .3. Если4. Μ (ξ + η) = Μξ + Μη .5. Μξ ≤ Μ ξ .1, ω ∈ Α6. Пусть Ι Α (ω) = ®, A ∈ F. Такая СВ называется индика¯0 , ω ∉ Αтором случайного события Α . ТогдаΜΙ Α (ω) = 1 ⋅ P{ω ∈ A} + 0 ⋅ P{ω ∉ A} = Ρ( Α) ,т.е. математическое ожидание такой СВ равно вероятности события Α .7.
Пусть ξ и– независимые СВ, тогда8. Пусть ξ – СВ,.– действительная функция. Тогда g (ξ )также является СВ и, если Μ g (ξ ) < +∞ , тоΜg (ξ ) = ³ g ( x )dFξ (x ) ,RηΜcΜΡg ((ωx(1ξη)=:≠ξc)(=ω1+∞Μωη)) = 1)Μ≥ξη(частности,вΜΜg (ξ ) = ³ g (x ) pξ ( x )dxξ Μ−ξ∞∞Μg (ξ ) = ¦ g (xk ) pk , если ξ – дискретная СВ,k =1, если ξ – непрерывная СВ.Пример 8.5. Правомерно ли следующее рассуждение: «От общежития до университета расстояние равно 1 км, студент ходит в среднем со скоростью 5 км/ч, следовательно, в среднем на дорогу у негобудет уходить 12 мин»?Решение. Прежде всего уточним формулировку задачи: имеетсяв виду, что скорость – случайная величина, математическое ожидание которой равно 5 км/ч. Рассуждение является неправомерным, т.к.из свойства 8 следует, что, вообще говоря,8 5.Для многомерной СВ ξ = (ξ1, ξ 2 , ..., ξ n ) математическое ожидание определяется в виде вектораΜξ = (m1, m2 , ..., mn ) , где mk = Μξk , k = 1, n .Если, например, СВ ξ – дискретного типа и ξ k ∈ {0,1, 2 , ..., N } ,nk = 1, n , ¦ ξ k (ω) = N ∀ω ∈ Ω , тоk =1NN − x1N − x1 − x 2 − ...− x n −1¦ xk Ρ{ξ1 = x1, ξ2 = x2 , ..., ξ n = xn } , k = 1, n .mk = ¦ ¦ ...x1 = 0 x 2 = 0xn =0Если СВ ξ = (ξ1, ξ 2 , ..., ξ n ) непрерывного типа и g ( x1, x2 , ..., xn ) – измеримая функция, то+∞+∞−∞−∞Μg (ξ1, ξ 2 , ..., ξ n ) = ³ ...
³ g (x1, x2 , ..., xn ) pξ1ξ2...ξn ( x1, x2 , ..., xn )dx1dx2 ...dxn,где pξ1ξ2...ξn ( x1, x2 , ..., xn ) – плотность распределения n -мерной СВ.В частности,.Рассмотрим неравенства, справедливые для математическихожиданий.1) Неравенство Чебышева. Пусть f ( x ) – неотрицательная,монотонно неубывающая борелевская функция, определенная на интервале [0, + ∞ ) со значениями в R . Тогда для любой СВ ξ и,в частности,Ρ{ξ ≥ ε}≤Μξεkk∀k ≥ 0 –это неравенство называется неравенством Маркова. При k = 1 имеем:8 6Ρ{ξ ≥ ε} ≤Μξ.ε2) Неравенство Иенсена. Напомним, что функция g ( x ) со значениями в R , заданная на интервале Ι ⊂ R , называется выпуклой нанайдется число λ (x0 ) та-нем вниз (вверх), если для любогокое, что для всех x ∈ Ι :(g (x0 ) + λ(x0 )(x − x0 ) ≥ g (x )) .Т.к.
y = g ( x0 ) + λ(x0 )(x − x0 ) является уравнением прямой, котораяпроходит через точку (x0 , g ( x0 )) с угловым коэффициентом λ(x0 ) , товыпуклость вниз (вверх) означает, что в любой точке (x0 , g ( x0 )) можно провести касательную прямую так, что график функции g (x ) лежит выше (ниже) этой прямой.g (x ) – выпуклая вниз (вверх) борелевская функция на R .gx0( x∈D+xλ ( x0 )( x − xПусть=0 )Μ0 ) ≤ g (x )Тогда, если Μ ξ < +∞ , то выполняется неравенство Иенсенаg (Μξ ) ≤ Μg (ξ) ( g (Μξ ) ≥ Μg (ξ)) ,в частности,(Μξ )2 ≤ Μξ 2 ,rrΜξ ≤ Μ ξ , r ≥ 1 .Поясним, почему неравенство Иенсена имеет место, например,для выпуклой вниз функции g ( x ) .
Для такой функцииg ( x0 ) + λ( x0 )( x − x0 ) ≤ g (x ) , x ∈ R .Положим, x = ξ , тогдаg (Μξ ) + λ (Μξ )(ξ − Μξ ) ≤ g (ξ ) .Взяв в этом неравенстве математическое ожидание в левой и правойчасти, получим требуемое неравенство.8 73) Неравенство Гёльдера. Пусть(Μ ξη ≤ Μ ξ1 1+ = 1 , p > 0 , q > 0 , тогдаp q) (Μ η ) .1p p1q qsЕсли в неравенстве Гёльдера положить ξ = ξ , η = 1 ,,1s= 1 − , где 0 < s < t , то получим неравенство Ляпунова:qt(Μ ξ ) ≤ (Μ ξ ) .1s s1t tПри p = q = 2 из неравенства Гёльдера получаем неравенство Коши –Буняковского (Шварца):Μ ξη ≤ Μξ 2 Μη2 .Пример 8.6. Показать, что½ 1 n nΡ ® ¦ ξi ≥ ε ¾ ≤ ¦ Μ ξi .¿ ε i =1¯ i =1Решение.
Применив неравенство Чебышева и свойство 5 математического ожидания, получимn½ 1 n1 nΡ ® ¦ ξi ≥ ε ¾ ≤ Μ ¦ ξ i ≤ ¦ Μ ξ i .ε i =1¿ ε i =1¯ i =1Приведем практический пример, иллюстрирующий, как можноиспользовать понятие математического ожидания.Пример 8.7. Продавец получает N единиц товара в день и стремится заказать число N таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль. Найти оптимальный параметр N * , если число покупателей товара в данный день следует закону Пуассона с параметром λ > 0 . Прибыль, получаемая от единицы проданного товара, равна, убыток от нереализованной единицы товара – , c – убыток, еслипокупатель желает приобрести товар, но их запас исчерпан.8 8Решение. Пусть– число покупателей в данный день, тогдачистая прибыль продавца имеем видОжидаемая прибыль является математическим ожиданиемGN = Μg N (ξ ) .
Изменение ожидаемой прибыли при добавлении ещеодной единицы товара равноGN +1 − G N = Μ [g N +1 (ξ ) − g N (ξ )] = Μ [− b + (a + b + c )u (ξ − N )] ,1, x > 0где u ( x ) = ®– функция Хевисайда. Поскольку Μu (η) = 1 ⋅ Ρ{η > 0} +¯0 , x ≤ 0}+ 0 ⋅ Ρ{η ≤ 0} = Ρ{η > 0} , то приращение ожидаемой прибыли равноGN +1 − GN = −b + (a + b + c )Μu (ξ − N ) = −b + (a + b + c )Ρ{ξ > N } .Для нахождения max GN достаточно решить уравнениеNG N = G N +1 , откуда получаемξaξ − b(N − ξ ), если ξ ≤ N,g n (ξ ) = ®bb, т.е. 1 − Fξ ( N ) =.Ρ{ξ >ξ N>}N=.¯aN − c(ξ − N ), еслиa+b+ca+b+cТ.к. для закона Пуассонаλk − λe ,k = 0 k!NFξ ( N ) = ¦то уравнение для нахождения оптимального N * имеет вид:bλk − λ+1¦ e =a+b+ck = 0 k!N*или в неявной формеb§·N * = Fξ−1 ¨+ 1¸ .©a+b+c ¹Числовое значение данного выражения можно найти, воспользовавшись таблицей распределения Пуассона.8 9Задачи8.1.
Найти математическое ожидание СВ, распределенной по.нормальному закону с параметрами a ,8.2. Существует ли математическое ожидание СВ ξ , имеющейраспределение Коши? Найти.8.3. Пусть ξ – СВ, равномерно распределенная на отрезке.22Найти Μ cos (πξ ) , Μ sin (πξ ) .8.4. Найти математические ожидания дискретных СВ, имеющих:а) распределение Бернулли, б) биномиальное распределение, в) геометрическое распределение.§·18.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
