М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Объект Α из бесконечности движется по направлению кобъекту . Максимальные дальности выявления один одного для этихобъектов ξ1 и ξ 2 являются независимыми нормально распределен-() ()ными СВ соответственно с параметрами a1, σ12 , a2 , σ 22 . Найти вероятность того, что объект Α выявит объектпервым и дисперсииСВ ξ j , i = 1,2 .9.20. Дискретная СВзадана законом распределенияИспользуя неравенство Чебышева для дисперсии, оценить вероятностьтого, что ξ − Μξ < 0,2 .9.21.
Устройство состоит из 10 независимых работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов исредним числом отказов за время t окажется меньше трех.9.22. Случайная ошибка измерительного прибора имеет дисперсию 16. Систематическая ошибка прибора отсутствует.
Оценить вероятность того, что при измерении ошибка превысит по модулю 6 мВ .Замечание. Если измерения не содержат систематической ошибки, то отклонение полученных измеренных значений некоторой величины от ее истинного значения объясняется чисто случайными погрешностями и можно предположить, что Μξ = 0 .9.23. СВ ξ является ошибкой измерения некоторого расстояния.При измерении допускается систематическая ошибка в сторону за-106вышения на 1,2 м; среднее квадратичное отклонение ошибки равно0,8 м.
Оценить вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превысит по абсолютной величине 1,6 м.8.24. СВ ξ и независимы иΡ (η = 1) = Ρ (η = −1) = 0,25.Будут ли СВ ξη и: а) независимыми, б) некоррелированными?9.25. Плотность распределения СВравнаª πº° cos x1 cos x2 , x1 , x2 ∈ «0, »,pξ1ξ 2 ( x1 , x2 ) = ®¬ 2¼°̄0, при любых других значениях x1 , x2 .Найти коэффициент корреляции СВ ξ1 и ξ 2 .9.26. СВ ξ инезависимы и имеют одинаковое распределениес математическим ожиданиеми дисперсией.
Найти коэффици-СВ ξ = αξ + βη , ξ 2 = αξ − βη .ξη(σaΡpξ12(=1ξ, ξ(=ξ211),)ξ=2 )Ρ(ξент= −корреляции1) = Ρ(η = 0 ) = 0 ,51 ,9.27. Случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими сосями координат. Найти коэффициент корреляции СВ ξ и .9.28. По некоторой цели делают три независимые выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Рассмотримдве СВ:– число попаданий в цель, ξ 2 – число промахов.
Составитьтаблицу распределения совокупность (ξ1, ξ 2 ) . Найти cov.9.29. Дана ковариационная матрица совокупности СВ (ξ1, ξ 2 , ξ3 )§1 4 - 2 ·¨¸Κ = ¨4 4 3 ¸¨ − 2 3 9¸©¹Найти σ ξ i , i = 1, 3 , r (ξ1, ξ 2 ) , r (ξ1, ξ3 ) , r (ξ 2 , ξ 3 ) .1079.30. Производят четыре независимых измерения одной и той жевеличины. Результаты измерений следующие: ξ1 , ξ 2 , ξ3 , ξ 4 , причемΜξi = a , Dξi = σ 2 , i = 1, 4 . Рассмотрим разности между соседнимиизмерениями η1 = ξ 2 − ξ1 , η2 = ξ3 − ξ 2 , η3 = ξ 4 − ξ 3 . Найти Dηi ,i = 1, 3 , и корреляционную матрицу.9.31.
Найти энтропию одномерной и многомерной СВ, распределенных по нормальному закону.9.32. Вычислить количество информации Шеннона, которая содержится в скалярной нормально распределенной СВ ξ о другой скалярной , также имеющей нормальное распределение.9.33. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пунктеравно 10 км/ч. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра при данном наблюдениине превысит 80 км/ч.9.34. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета.
Среднее значение ошибки измерения равно нулю.Оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курсасамолета превзойдет 4 .9.35. Среднее потребление электроэнергии за июнь месяц населением одного из микрорайонов города равно 36 ⋅ 10 4 кВт ⋅ ч . Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в июне текущего года превзойдет 10 6 кВт ⋅ ч .9.36.
Среднее число отказов ПЭВМ после года эксплуатацииравно 5. Оценить вероятность того, что после окончания года числоотказов в учебной лаборатории, в которой находятся 12 ПЭВМ, будетменьше 20.9.37. Светофор на перекрестке работает в трех режимах: 1 мингорит зеленый свет, 0,2 мин – красный, 0,1 – желтый и т.д. Водительподъезжает к перекрестку в случайный момент времени. Найти: а)вероятность того, что он проедет перекресток без остановки, б) ф.р.времени ожидания у перекрестка, в) числовые характеристики времени ожидания.1089.38.
Бизнесмен решает задачу выбора одного из двух поставщиков, анализируя вариабельность цены на сырье. Для первого поставщика цена на сырье описывается СВ ξ1 , равномерно распреде-ленной на отрезке [10,14] , а для второго – СВ ξ 2 , имеющей нормаль-4.
Бизнесмен3намеревается выбрать того поставщика, который вносит меньшую неопределенность (энтропию) при одинаковой средней цене. Какое решение примет бизнесмен?ное распределение с параметрами a = 12 , σ 2 =§10. Закон больших чисел.Центральная предельная теоремаС законом больших чисел в форме Бернулли мы познакомилисьв § 5. Из приведенного там утверждения следует, что доля успешныхприиспытаний из n независимых испытаний Бернулли приближается к вероятности одного успешного испытания (частота поn→∞к вероятности данного события).{ξk (ω), k =11,явления2n , ...} события стремится½(ω) − ak ) ≥ ε ¾ = 0Говорят, что для последовательности CBlim Ρ ®ω : ¦ (ξ kОпределение.n →∞¿¯ n k =1выполняется закон больших чисел, если для любого ε > 0,где ak = M ξ k , k = 1,2,... ,или, что то же самое,½ 1 nlim Ρ ®ω : ¦ (ξ k (ω) − ak ) < ε ¾ = 1 .n→∞¿¯ n k =1Пример 10.1.
(закон больших чисел в форме Чебышева). ПустьCB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,..., независимы и имеют одинаковые математические ожидания Μξ k (ω) = a и дисперсии Dξ k (ω) = σ 2 . Тогда для нихимеет место закон больших чисел, т.е.109½ 1 nlim Ρ ®ω : ¦ ξ k (ω) − a < ε ¾ = 1 .n →∞¿¯ n k =1Это вытекает из неравенства Чебышева для дисперсий, из которогоследует, что·§1 nD¨ ¦ ξ k (ω)¸22 1½n¹ = 1 ⋅ nσ = σ .Ρ ®ω : ¦ ξ k (ω) − a ≥ ε ¾ ≤ © k =12εn2 ε2nε 2¯ n k =1¿nОтметим, что аналогичный результат имеет место и в случае, когдаCB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... независимы, одинаково распределены и имеютконечное математическое ожидание (теорема Хинчина).Смысл закона больших чисел состоит в том, что среднее ариф-метическое CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,..., ξ n (ω) при достаточно большом nбудет с большой вероятностью почти не отличаться от,или, в частности, от a .В экспериментальных науках среднее арифметиче скоерезультатов x1 , x2 ,..., xn измерений некоторой величины a рассматривают как более точное приближение к истинномузначениюэтой величины по сравнению с отдельным измерением.Вероятностная модель измерений дается последовательностью CB, ξ 2 (ω) ,..., ξ n (ω) .
Если измерения не содержат систематической ошибки, т.е. отклонение xi − a объясняется чисто случайнымипогрешностями, то следует предположить, что Μ (ξ k (ω) − a ) = 0 , т.е.Μξ k (ω) = a , k = 1, n . Если к тому же измерения независимы и одина-ково точны, т.е. Dξ k (ω) = σ 2 , k = 1, n , то закон больших чисел позволяет объяснить экспериментально наблюдаемую закономерностьо стабилизации с ростом n средних арифметических110вблизи a .Качество приближения к a оценкиn можно характеризовать неравенством Чебышевапри конечных,оценивающим степень конкретизации распределения вероятностей CBS (ξ1 (ω), ξ 2 (ω), ..., ξ n (ω)) вокруг точки a .
Таким образам, точностьприближенияможно оценивать одним числом –дисперсией DS.С помощью закона больших чисел в форме Чебышева можнолегко доказать утверждение для схемы Бернулли, приведенное в начале параграфа. Именно, пусть1, если k − e испытание успешно,ξ k (ω) = ®¯0, если k − e испытание неудачно,p – вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда( )¦({¦ ( () )( ) ))ξ==2 x(xω≈),a..., ξ n (ω)) − a ≥ ε}≤ DS2 = σ 2ΜS1n ξxξn1k,ξωx2 ,ω=...,pxnP ωk: Sωk ξ1 ω ,nk =1k =1εаnεчисло успехов в n испытаниях,пытаниях. Поскольку–2– доля успехов в n ис-и ξ 2k (ω) = ξ k (ω) , то Μξ 2k (ω) = p , ипоэтому Dξ k (ω) = p − p 2 .
Легко проверить, что p − p 2 ≤1, таким4образом, 1 n½P ®ω : ¦ ξ k (ω) − p ≥ ε ¾ n→ 0 .→∞¯ n k =1¿Приведем результат, связанный с выполнением закона большихчисел в более общих ситуациях.Теорема. Для того, чтобы для последовательности CB{ξk (ω), k = 1, 2, ...} (они могут быть и зависимыми) выполнялся законбольших чисел, необходимо и достаточно, чтобы1112½ ªnº° « ¦ (ξ k (ω) − ak )»°° ¬ k =1°¼lim Μ ®¾=0.2n→∞° n 2 + ª n (ξ (ω) − a )º °kk » °« k¦°¬ =1¼ ¿¯Рассмотрим следствия из этой теоремы.Теорема Маркова. Если§ n·D¨ ¦ ξ k (ω)¸¹ =0,lim © k =1 2n →∞nто имеет место закон больших чисел.Это вытекает из соотношения§ η2n (ω) ·1 § n·2¨¸()()ξω=ηω≥DΜΜ¨¸¦kn¨ 1 + η2 (ω) ¸ .n 2 © k =1¹n©¹Теорема Чебышева. Если последовательность независимых CB{ξ k (ω), k = 1, 2, ...} (не обязательно одинаково распределенных) такова, что Dξ k (ω) ≤ c , k = 1, 2, ...
, где – некоторая константа, то имеетместо закон больших чисел.Это следует из теоремы Маркова и независимости CB, поскольку.Пример 10.2. Пусть {ξ k (ω), k = 1, 2 , ...} – последовательность независимых CB и{}P ω : ξ k (ω) = ±2 k = 2 − (2 k +1) , P{ω : ξ k (ω) = 0} = 1 − 2 −2 k .В данном случае Μξ k (ω) =2k2 2 k +1−2k2 2 k +1=22k11 1− = 0 , Μξ 2k (ω) = 2 k +1 = ,2 2221, и из теоремы Чебышева следует, что эта после2довательность удовлетворяет закону больших чисел.поэтому Dξ k (ω) =112Далее рассмотрим другую группу предельных теорем теориивероятностей, устанавливающих сходимость законов распределениядля последовательностей сумм случайных величин. Эта группа теорем ввиду ее особой важности как для теории, так и для приложенийносит название центральной предельной теоремы.
Две из таких теорем, а именно, теоремы Муавра – Лапласа, мы рассматривали в § 5.Они являются частными случаями более общих теорем, которые мыниже рассмотрим.Теорема (Линдеберга). Если последовательность независимых CBξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... при любых τ > 0 удовлетворяет условию Линдеберга,§ n·где Fξ k ( x ) – ф.р. CB ξ k (ω) , ak = Μξ k (ω) , Βn2 = D¨ ¦ ξ k (ω)¸ , то при© k =1¹n → ∞ равномерно относительно.2x 1 1n n22+ δx −tn ¦1¦½1(())()limΜξωx−adFx=→00→ ∞(ξk ³ (ω) − ak k ) < xξ kЛиндеберга→ используютnP¾n³ e 2 dt в основном в теоретическихΒ→®n2∞+ωδΒ:kn2Β=1k =¦n→∞1 x − a kk > τΒnТеорему2π − ∞n k =1¯¿работах, требующих большой общности рассмотрения. В приложе-ниях чаще применяют теорему Ляпунова, условия которой проверяются более эффективно.Теорема Ляпунова. Если для последовательности независимыхCB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,...
можно подобрать такое δ > 0 , что,то справедлива центральная предельная теорема.Для ее доказательства достаточно показать, что из условия Ляпунова вытекает условие Линдеберга. Если x − ak > τΒn , тоx − akδτδ Βnδ113>1,поэтомуn1 n(x − ak )2 dFξ k (x ) ≤ δ 12 + δ ¦ ³ x − ak³2 ¦Βn k =1 x − a k > τΒnτ Βn k =1 x − a k > τΒn≤n ∞1¦³ x − akτδ Βn2 + δ k =1− ∞2+δdFξ k (x ) =n1Μ ξ k (ω) − ak¦τδ Βn2 + δ k =12+δdFξ k ( x ) ≤2+ δn→ 0,→∞т.е. действительно из условия Ляпунова следует условие Линдеберга.Пример 10.3. Пусть CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,... независимы иΜξ k (ω) = 0 , Μξ 2k = σ 2k , 0 < σ 2k < ∞ , Μ ξ k (ω) < ∞ , k = 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
