М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность работы100 отобранных приборов отличается от средней продолжительности работы приборов всей партии по абсолютной величине меньше,чем на месяц, если известно, что среднее квадратичное отклонениепродолжительности работы прибора не превышает двух месяцев.10.27.
В университет поступило 10 одинаковых ящиков с приборами. Среднее число приборов в каждом ящике, которые пришли внегодность за время транспортировки, равно трем, а среднее квадратичное отклонение – двум. Определить границы, в которых с вероятностью не менее 0,9 будет заключено общее число приборов, пришедших в негодность за время транспортировки.12110.28. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5 ; в девятку – 0,3 ; в восьмерку – 0,2 ; в семерку – 0,1 .Сделано 100 выстрелов. Какова вероятность того, что выбито более980 очков?10.29.
Напряжение на входе приемного устройства является случайной величиной, которую можно рассматривать как сумму достаточно большого числа независимых синусоидальных величин, амплитуды которых распределены по нормальному закону с параметрами 0 , σ 2 , а фазы равномерно распределены в промежутке (− π, π) .Можно ли считать распределение этого напряжения почти нормальным?10.30. В кольце, ограниченном концентрическими окружностями радиусов 1 и R > 1 , расположено n излучателей равной мощности. Каждый из них может рассматриваться как случайная точка,равномерно распределенная в этом кольце независимо от всех остальных. Мощность сигнала, наводимая каждым излучателем в приемниaке, находящемся в центре кольца, равна Μ вх = 4 , где ρi – расстояρние излучателя до центра.
Какова ф.р. мощности iсигнала, наведенного суммарным воздействием всех n излучателей, если они работаютна одной и той же частоте и их число достаточно велико?10.31. В предыдущей задаче оценить нижнюю границу мощностина входе приемника (как функцию от n ), если число излучателей неограниченно возрастает.10.32. При производстве деталей для автомагнитол рабочий выполняет с каждой деталью однотипные операции. На это уходит случайное время, распределенное по показательному закону. Найти вероятность того, что на выполнение 100 операций рабочему понадобится время от 6 до 7 часов, если среднее время, необходимое длявыполнения одной операции равно 3 минуты.10.33.
В кассе в день зарплаты получают деньгичеловек. Размер выплаты каждому – CB со средним значением $100 и средним квадратичным отклонением $50. Если выплаты отдельным клиентам независимы, то:()122а) сколько должно быть денег в кассе, чтобы их с вероятностью0,95 хватило на выплату всем клиентам?б) каков будет гарантированный с вероятностью 0,95 остатокденег в кассе после выплаты всем клиентам, если в начале в кассебыло $11000?10.34. Среднее суточное потребление электроэнергии в населенном пункте 12000 кВт • ч.
Оцените вероятность того, что потреблениев этом населенном пункте в течении данных суток превзойдет 50000кВт • ч. Какого потребления энергии в том населенном пункте можноожидать в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96 , еслисреднее квадратичное отклонение равно 200 кВт • ч. Сколько потребителей следует проверить, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение среднего потребления отобранной группыот среднегородского потребления по модулю не превосходит 1 %?10.35. Статистические данные свидетельствуют о вероятности10 % краж из квартир граждан.
Застрахована группа из 100 человек,сумма страхового взноса составила $1000 в год. В случае ограбленияклиента страховая фирма выплачивает потерпевшему $ Α .1) какова должна быть страховая выплата Α , чтобы с вероятноP{ξ = 1} = 0,3,стью 0,95 фирма не оказалась в убытке?2) какова вероятность фирмы получить доход, превосходящий$10000?10.36. Коммивояжер для выполнения своего задания должен посетить n = 60 городов, затрачивая в каждом из них случайное времяξ (измеряемое в сутках) со следующим законом распределения:P{ξ = 2} = 0,4, P{ξ = 3} = 0,3 .Оценить вероятность того, что коммивояжер затратит на работуот 110 до 130 суток.10.37. Наудачу выбранный посетитель банка делает вклад, величина которого является CB ξ k (ω) с равномерным распределением наинтервале [− 80,100] .
Если банк принимает в течении суток n = 200посетителей, то какова вероятность отрицательного суточного сальдо P(s n < 0 ) , где sn =n¦ ξ k (ω) .k =1123ЭЛЕМЕНТЫГлава 2МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИМатематическая статистика занимается изучением методов сбора и обработки опытных данных для получения научных и практических выводов и является разделом математики, очень близким ктеории вероятностей. Лучше сказать, математическая статистика врешении своих специфических задач пользуется результатами теории вероятностей. Однако следует иметь в виду, что это другая, отдельная наука, решающая в каком-то смысле обратные задачи по сравнению с задачами теории вероятностей.Типичная задача теории вероятностей. Задана вероятность pнаступления случайного событияв одном опыте.
Какова вероятность того, что в 200 опытах событие A наступит 3 раза?Типичная задача математической статистики. Произвели 200опытов, случайное событие A при этом наступило 3 раза. Какова вероятность наступления события A в одном опыте?В математической статистике объектом исследования являютсяданные эксперимента.§11. Вариационные рядыи их графическое изображениеУстановление статистических закономерностей, присущих случайным явлениям, основано на изучении статистических данных –сведений о том, какие значения принял в результате наблюдения интересующий нас признак (случайная величина ξ ).
Например, исследуется спрос на определенные размеры мужской обуви по имеющимся статистическим данным о размерах 350 пар обуви, проданных магазином за неделю; исследуется точность измерительного прибора порезультатам 50 независимых измерений.Генеральной совокупностью называется совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению пристатистическом анализе. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной.124На практике изучение всего набора элементов генеральной совокупности в большинстве случаев оказывается невозможным. Частьобъектов генеральной совокупности, используемая для исследования,называется выборочной совокупностью или выборкой ( ).
Числообъектов в генеральной совокупности ( N ) или выборке ( n ) называют их объемами. В примере об исследовании спроса на размеры мужской обуви используется выборка объема, в примере об исследовании точности измерительного прибора n = 50 . Сущностьвыборочного метода состоит в том, что выводы, сделанные на основеизучения части совокупности (выборки), статистика позволяет распространять на всю генеральную совокупность.Полученные в результате выборки значения xi признака ξ называются вариантами или элементами выборки,.Упорядоченная по возрастанию значений совокупность вариант носит название вариационного ряда.Дискретным вариационным (статистическим) рядом илистатистическим распределением выборки называют таблицу, котораяnX ==350{x1 , x2 , ...,xn } строке содержит значения x , x , ..., x ( x < x < ...
< x ),в первой12n12nа во второй числа их повторений n1 , n2 , ..., ns , n1 + n2 + ... + ns = n :Xx1x2...xsnn1n2...nsniотносиnтельной частотой элемента xi , i = 1, s . Дискретный вариационныйряд, как правило, представляет собой выборку значений дискретнойслучайной величины.При изучении непрерывных признаков, для которых xi могутпринимать как угодно близкие значения, пользуются интервальнымвариационным (статистическим) рядом. Также использованиеинтервальных рядов целесообразно при изучении выборок большогообъема.
Интервал J = [x1 , x n ] разбивают на s промежутков одинакоЧисло ni называют частотой, а отношение wi =125вой длины . При этом считают, что каждый промежуток содержит свой левый конец, но лишь последний промежуток содержит исвой правый конец. Далее для каждого промежуткаподсчитываютчисло элементов выборки, попавших в него – ni , i = 1, s , в результате данные наблюдений представляют в виде таблицы:[x1 , x2 ) [x2 , x3 )Xn1nn2...[x s , xs +1 ]...nsЧисло промежутков s следует брать не очень большим, чтобыпосле группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобыне потерять особенности распределения признака. Согласно формуле Стерджеса, рекомендуемое число интервалов,авеличина частичного интервала.Для графического изображения вариационных рядов наиболеечасто используются полигон и гистограмма.Полигон, как правило, служит для изображения дискретноговариационного ряда и представляет собой ломаную, отрезки которойпоследовательно соединяют точки с координатами ( xi , ni ) , i = 1, s .При построении полигона для интервального вариационного ряда вкачестве xi используют середины интервалов.Гистограмма (частот, относительных частот) служит только дляизображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями равными интервалам значений признака J i = [xi , xi +1 ) и высотами, равны-nin(частоте ni , относительной частоте i ).n∆nЕсли соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.Суммарная площадь всех прямоугольников гистограммы равна 1:ми плотности частотыs nnin1 s∆ = ¦ i = ¦ ni = = 1 .n i =1ni =1 n∆i =1 ns¦126niесть относиnтельная частота попадания элементов выборки в соответствующийинтервал J i статистического ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
