М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для случайной величины ξ , распределенной позакону Пуассона, по результатам выборкиоценить неиз-вестный параметр λ .Решение. Для распределения Пуассона, i = 1, n .Построим функцию правдоподобия:nL=x1x2¦ xixnλ −λ λλλee −λ ...e −λ =e − nλ .x1 !x2 !xn !x1! x 2 !...x n !i =1Перейдем к логарифмической функции правдоподобия:λxi −λnnp( xi ; λ) = P (ξ = xi ) =eln L = −nλ + ln λ ⋅ ¦ xi − ¦ ln( xi !) .xi !(xθ11, ,xθ22, ,...,x..., θn k )i =1i =1Дифференцируя это равенство, имеем1 nd ln L= −n + ¦ xi .λ i =1dλПриравнивая нулю, имеем1 n1 n¦ xi = 0 , λ = ¦ xi = x .λ i =1n i =1Находя вторую производную, получим−n+1 nd 2 ln L1 n=−x<0,приλ=¦¦ xi = x , для распределения Пуin i =1dλ2λ2 i =1ассона xi ≥ 0 .Следовательно λ̂ = x .153Пример 14.4.
Пусть случайная величина ξ имеет показательное, x ≥ 0.распределение с плотностью вероятностейТребуется по результатам выборки x1 , x 2 , ...,x n найти оценку неизвестного параметра λ .Решение. Для показательного распределения функция правдоподобия имеет вид:.Логарифмируя эту функцию, получим:nln L = n ln λ − λ ¦ xi .i =1Тогдаd ln L n n= − ¦ xi = 0 .dλλ i =1Отсюда λ =nn¦ xi=1x.i =1d 2 ln L1= − 2 < 0.2dλλ1Значит, оценка неизвестного параметра имеет вид λˆ = .xПример 14.5. Для нормально распределенной случайной величины ξ по результатам выборкинайти оценку неизвестных параметров a и .Решение. Плотность распределения вероятностей нормальногозакона имеет вид:.154В этом случае функция правдоподобия имеет вид:L=(σ12π)ne−n12σ2¦ ( xi − a ) 2i =1.Прологарифмировав L , получим:1 nn2ln L = − ln(2π) − n ln σ −¦ ( xi − a ) .22σ 2 i =1Дифференцируя по a и , будем иметь:Отсюда находим оценки неизвестных параметров a и:1 n¦ ( xi − x) 2 = σ 2 .n i =1Важность метода максимального правдоподобия связана с опσ∂ ln1 Ln 1 naˆ =его оценок.
Основной недостаток методаx¦ ( xi − a) = 0свойствами,=xi =2 тимальными° ∂na ¦°i =1 σ максимальногоi =1правдоподобия– трудность вычисления оценок, свя® ∂ ln Lnзанных1 nс решением2уравненийправдоподобия, чаще всего нелиней°= − + 3 ¦ ( x i − a ) = 0.°∂σσi=1¯ных.σ Существенно и то, что для построения оценок максимальногоправдоподобия и обеспечения их «хороших» свойств необходимо знание типа анализируемого закона распределения p( x, θ) , что во многих случаях оказывается практически нереальным.Широкое распространение в практике статистических исследований получил метод наименьших квадратов, так как он, во-первых, не требует знания закона распределения выборочных данных,во-вторых, достаточно хорошо разработан в плане вычислительнойреализации.
Суть его заключается в том, что оценка определяется изусловия минимизации суммы квадратов отклонений выборочныхданных от определяемой оценки.Применение метода наименьших квадратов будет рассмотренопри решении задач корреляционного и регрессионного анализа., σˆ =155Задачи14.1. Случайная величина ξ – число семян сорняков в пробе зерна, распределена по закону Пуассона, ниже приведено распределение семян сорняков в 1000 пробах зерна:Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметрараспределения Пуассона.14.2. По данным задачи 14.1 найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра распределенияПуассона.14.3. Найти методом моментов по выборке:Точечную оценку параметрабиномиального распределения,число появления события в i -м опыте,–, n – количество испы-таний в одном опыте,.14.4.
Найти методом моментов точечную оценку параметра p, где xi – чис-геометрического распределенияло испытаний, проведенных до появления события A , p – вероятность появления события в одном испытании.14.5. Случайная величина (уровень воды в реке по сравнениюс номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которогоопределяется параметрамии ():, x ≥ 0.Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным 45 паводков:156xi37,562,587,5112,5137,5162,5187,5250350ni136775484Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметровα и рассматриваемого гамма-распределения.14.6. Случайная величина (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрамии .
Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала 200 изделий:Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметровa и .14.7. Найти методом моментов по результатам выборкиточечные оценки параметров a иравномерного расределения, плот-1axx≤, x ≤, 0,3αxβbξσ0,5 − p0,71,31,52,3p1,1ность, b >1,7a , 1,9 2,2.−P1(iξ =2 x...,x) xi −1α 0,9ξ ( x) =i ) =n p (11 которогоβb−ap ξ ( x) = α +1x e1) Найтиni6β Γ9(α +26253026 максимального212420правдоподобия8514.8.методомпо выборкераметрточечную оценку параметра β гамма-распределения (паизвестен), плотность которого, x ≥ 0 , α > −1, β > 0 .14.9. Найти методом максимально правдоподобия по выборкеточечную оценку параметра p геометрического распределения, где xi – число испытаний, проведен-ных до появления события A , p – вероятность появления события водном испытании.14.10.
Найти методом максимального правдоподобия по выборкеточечную оценку параметра a (параметр157известен)распределения Кэптейна, плотность которого,где g (x) – дифференцируемая функция.14.11. По методу наибольшего правдоподобия найти оценку неизвестного параметра α случайной величины, распределенной позакону Максвелла с плотностью вероятностей.14.12. Из генеральной совокупности, распределенной по закону2χ с неизвестным параметром α , сделана выборка.
Найти методом максимального правдоподобия оценку параметра α , еслиплотность вероятности, x>0.14.13. Продолжительность безотказной работы датчика является случайной величиной с плотностью распределения вероятностейt1 −αe , t ≥0, α ≥0.αПо фиксированным значениямметодом максимальногоправдоподобия оценить неизвестный параметр α .14.14. Случайная величинапредставляет собой количествосрывов поставок потребителям фирмами, производящими однородную продукцию. За определенный период обследовано 8 фирм, у которых количество срывов поставок соответственно равно: 6, 3, 1, 1,3, 4, 0, 2. Полагая, что случайная величина распределена по законуПуассона, методом максимального правдоподобия найти оценку параметра .p ξ (t ) =158§15.
Интервальные оценкиИнтервальной называют оценку, которая определяется двумячислами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.Доверительным называют интервал, который по-крывает (содержит) неизвестный параметр θ с заданной надежностью (доверительной вероятностью), то есть.При этом δ называют точностью оценки.Следует обратить внимание на то, что границы интервала и еговеличина находятся по выборочным данным и поэтому являются случайными величинами в отличие от оцениваемого параметра – величины неслучайной, поэтому говорят, что интервал«по-крывает» («накрывает»), а не «содержит» истинное значение θ .Величина доверительного интервала существенно зависит отобъема выборки (уменьшается с ростом n ) и значения доверительной вероятности (увеличивается с приближением γ к единице).Интервальной оценкой с надежностью γ математического ожиanγˆ (t ) σˆsγtΦξθσsxθ−δ,+δPθ̂−θ<δ=γx −(tt)γ= <<aaдания<<xx++t t γ нормально распределенного количественного признакапоΦ2nnnnвыборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал(()),где δ = tσn– точность оценки, n – объем выборки,аргумента функции Лапласа, при котором– значение.При неизвестном среднем квадратическом отклонении σ используют интервал:,159где s = s 2 – «исправленное» выборочное среднее квадратическоеотклонение, t γ находят по таблице приложения 4 по заданным n и.Интервальной оценкой с надежностью γ среднего квадрати-ческого отклоненияпризнаканормально распределенного количественногопо «исправленному» выборочному среднему квадрати-ческому отклонениюслужит доверительный интервалгде q находят по таблице приложения 5 по заданными.Первый из рассмотренных интервалов строится на основе следствия из теоремы Ляпунова (центральная предельная теорема):.Для определения необходимого объема выборки, при котором свероятностью γ можно утверждать, что для нормально распределеннойвеличины выборочное среднееотличается от генеральной средней M ξпо абсолютной величине меньше чем на δ , пользуются формулой:.Пример 15.1.
Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема n = 25 :xi467891011ni1633732Найти: 1) несмещенную оценку генеральной средней;2) несмещенную оценку генеральной дисперсии.Решение.1) Как было рассмотрено выше, несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:1601(4 ⋅ 1 + 6 ⋅ 6 + 7 ⋅ 3 + 8 ⋅ 3 + 9 ⋅ 7 + 10 ⋅ 3 + 11 ⋅ 2) = 8 .252) Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная» выборочная дисперсия:x=ss2 ==nD=n −1¦ ( xi − x) 2 nii =1n −1=1((4 − 8) 2 ⋅ 1 + (6 − 8) 2 ⋅ 6 + (7 − 8) 2 ⋅ 3 + (8 − 8) 2 ⋅ 3 +24+ (9 − 8) 2 ⋅ 7 + (10 − 8) 2 ⋅ 3 + (11 − 8) 2 ⋅ 2) = 3,33 .Пример 15.2. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a и среднего квадратического отклонениянормально распределенного признака с надежностью λ = 0,99 , зная, объем выборки n = 25 и среднеевыборочную среднююквадратическое отклонение σ = 3 .Решение.Доверительный интервал для математического ожидаσσγσx ξ−=(t ) =."> < < +Φния имеет вид2.Все величины, кроме t , известны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
