М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найдем t из соотношения, то есть Φ (t ) =0,99= 0,495 . По таблице приложения 2 на2ходим t = 2,57 . Тогда10,5 − 2,57325< a < 10,5 + 2,57325,окончательно имеем8,958 < a < 12,042 .Найдем доверительный интервал для среднего квадратическогоотклонения161s(1 − q) < σ < s (1 + q ) при q < 1,0 < σ < s (1 + q ) при q > 1,Сначала определим параметр q по таблице приложения 4. При, λ = 0,99 , параметр. Находим «исправленное» сред-нее квадратическое отклонение по формулеnn25D =σ=3= 3,06 .n −1n −124Тогда получаем доверительный интервал3,06(1 − 0,49) < σ < 3,06(1 − 0,49) ,После вычислений.s=Пример 15.3.
Найти минимальный объем выборки, при которомс надежностью 0,95 точность оценки математического ожиданиягенеральной совокупности по выборочной средней равна, еслиизвестно среднее квадратическое отклонениенормально распределенной генеральной совокупности.Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точностьоценки математического ожидния генеральной совокупности по выборочной средней:. Отсюдаn=t 2σ2.δ2Определим величину t из условияΦ (t ) =, то есть0,95= 0,475 . По таблице приложения 2 найдем t = 1,96 . Тогда2n=1,96 21,2 2= 61 .0,3 2162Задачи15.1.
При паспортизации партии из 100 арматурных стержней производилось выборочное исследование на разрыв опытных образцов.По результатам выборки составлен следующий вариационный рядГраницыпрочности(МПа)Числостержнейσ = 1,5300 –370370 –440440 –510510 –580580 –650650 –720720 –7901258432Определить несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.15.2.
В итоге десяти измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующий результаты: 10, 11, 10, 12,11, 9, 9, 10, 11, 10. Найти выборочную среднюю результатов измерений и выборочную «исправленную» дисперсию ошибок прибора.15.3. При обследовании средней зарплаты рабочих предприятиявыборочным путем отобраны 100 человек. Средняя выборочная зарплата оказалась 150 у.е., а дисперсия 100 у.е. Определить с надежностью 0,99 доверительные интервалы для генеральной средней и среднего квадратического отклонения.15.4. По данным 25 измерений прочности асфальтобетона установлено, что x = 40 кг/см, s = 1,5 .
Полагая, что данные выборки имеют нормальное распределение, определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для генеральной средней.15.5. Выборка из большой партии электроламп содержит 100ламп. Средняя продолжительность горения лампы по выборке оказалась 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал длясредней продолжительности a горения лампы по всей партии, еслисреднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.15.6. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение ге.неральной совокупности16315.7.
По данным шестнадцати независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметии «исправленное» среднееческое результатов измеренийквадратическое отклонение s = 5 . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99.
Предполагается, что результаты измерений распределенынормально. Указание: истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию.15.8. Произведено 14 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.
Указание: точность прибора характеризуется среднимквадратическим отклонением случайных ошибок измерений.15.9. С целью определения средней суммы a вкладов в банке,была исследована величина 100 случайно отобранных вкладов. Найти с вероятностью 0,96 доверительные границы для a .15.10. Определить численность выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов банка, чтобы с вероятностью0,683 предельная ошибка равнялась 5 у.е., если σ = 120 у.е.§16.
Некоторые статистические распределенияРассмотрим три основных закона распределения, составляющихнеобходимый аппарат для построения в дальнейшем статистическихкритериев. Плотности этих распределений можно найти в любом справочнике по теории вероятностей, здесь из-за громоздкости они неприводятся.164Пусть– независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону:ξ1 , ξ 2 , ..., ξ k ~ N (0; 1) .Говорят, что сумма квадратов этих случайных величин распределенапо закону χ 2 (Хи-квадрат) с k степенями свободы.
Эту случайнуювеличину обозначают χ 2 (k ) :222χ 2 (k ) = ξ1 + ξ 2 + ... + ξ k .Графики плотности распределения χ 2 (k ) при различных k изображены на рис. 13.pχ 2 ( x)k =30,2k =5ξ , ξ , ..., ξ j0,1k = 10051015xРис. 1321. Случайная величина χ (k ) принимает неотрицательные значения, то есть нулевую плотность распределения при x ≤ 0 . Это следует из опредления.2. При большом числе степеней свободы k распредление χ 2 (k )близко к нормальному. Этот факт иллюстрируется графиком на рис. 13.3.
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону χ 2 (k ) , равно k .165Пусть случайная величина ξ распределена по стандартному нормальному закону: ξ ~. Распределением Стьюдента (или t -распределением) сстепенями свободы называется распределениеслучайной величиныξt (k ) =χ 2 (k )k.Стьюдент – псевдоним английского статистика В.Госсета.Графики плотности распределения Стьюдента при различномчисле степеней свободы приведены на рис. 14. Из вида графиков иопределения можно сделать некоторые наблюдения о свойствах распределения Стьюдента.p t (x)0,4k = 100,30,2k =30,1-4-2024xРис. 141. Распределение Стьюдента симметрично, причем.2.
При больших k распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N (0; 1) .На основе распределения χ 2 вводится еще одна случайная величина. Распределением Фишера (Фишера – Снедекора или F -распределением) с k1 и k 2 степенями свободы называется распределение случайной величины1661 2χ (k1 )k1F (k1 , k 2 ) =.1 2χ (k 2 )k21. Из определения видно, что данная случайная величина не может принимать орицательные значения, то есть имеет нулевую плотность распределения вероятностей при x ≤ 0 .2.
Графики плотности распределения при различном числе степеней свободы изображены на рис. 15. При некоторых значениях числастепеней свободы k1 и k 2 F -распределение приближается к нормальному.p F (x)k1 = 1, k 2 = 41k1 = 10, k 2 = 500,5k1 = 4, k 2 = 100x0123Рис. 15§17. Проверка статистических гипотезНаряду с задачами оценивания параметров большую группу задач математической статистики составляют так называемые задачипроверки статистических гипотез. Статистической гипотезой называется предположение относительно параметров или вида распределения изучаемой случайной величины. Например, после анализавыборки, то есть после того, как мы построили статистический ряд,определили выборочные характеристики, построили полигон, гистограмму, функцию распределения, мы делаем предположение, что данная случайная величина распределена по нормальному закону с определенными параметрами.
Выдвинутое предположение является статистической гипотезой. После этого нужно принять решение:167противоречат экспериментальные данные высказанной гипотезе илинет. Процесс принятия решения называется проверкой статистической гипотезы, а алгоритм проверки – решающим правилом. Поскольку мы выдвигали гипотезу, опираясь только на случайные выборочные значения, наши выводы будут носить вероятностный характер. Мы не дадим точного ответа: да или нет. Можно будет лишь снекоторой долей уверенности (с некоторой вероятностью) утверждать,что данные не противоречат или противоречат предположению.Статистические гипотезы можно разделить на следующие основные группы:1) гипотезы о параметрах распределения,2) гипотезы о виде распределения.Выдвинутую гипотезу называют нулевой и обозначают ее черезH 0 . Наряду с H 0 рассматривают конкурирующую (или альтернативную) гипотезу H 1 .
Например:а) если H 0 : «генеральная совокупность распределена нормально», то H 1 : «генеральная совокупность не распределена нормально»;б) если H 0 : «математическое ожидание ξ равно 5», то: «математическое ожидание ξ не равно 5».Таким образом, ставится задача проверки гипотезыотносительно конкурирующей гипотезы H 1 на основе выборки X объемаn .
Правило, по которому принимается или отвергается гипотеза, называется статистическим критерием. Принципы проверки статистических гипотез впервые были сформулированы в работах известных математиков Е.Неймана и Э.Пирсона. Они исходили из того что,принимая или отвергая гипотезу, можно допустить ошибки двухвидов.Ошибка первого рода: H 0 отвергается (принимается H 1 ) в товремя, как в действительности верна гипотеза H 0 .
Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают α :.168Величину 1 − α , то есть вероятность принять верную гипотезу, называют уровнем доверия (доверительным уровнем):P( H 0 / H 0 ) = 1 − α .Ошибка второго рода: H 0 принимается, в то время как вернагипотеза H 1 . Вероятность ошибки второго рода обозначается β :.Вероятность принять гипотезу H 1 , если она верна, называют мощностью критерия:P( H1 / H 1 ) = 1 − β .Возможные ситуации наглядно иллюстрируются следующей таблицей.Гипотеза H 0ПринимаетсяОтвергаетсяВернаНевернаПравильное решениеОшибка 2-го родаОшибка 1-го родаПравильное решениеПрименяя юридическую терминологию, α – вероятность вынесения судом обвинительного приговора, когда на самом деле обвиня-βKP(=HKx11, )...,=емыйxβn ) невиновен, – вероятность вынесения судом оправдательного0 /(Hприговора, когда на самом деле обвиняемый виновен в совершенномпреступлении.Нам хотелось бы, конечно, сделать вероятности ошибок первогои второго рода нулевыми.
Однако это оказывается невозможным. Более того, как правило, уменьшая вероятность ошибки первого рода,мы увеличиваем вероятность ошибки второго рода и наоборот.Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, чтоиспользуется специально составленная выборочная характеристика, полученная по выборке X , так,(статистика)чтобы в случае, если гипотеза H 0 верна, точное или приближенноераспределение K было бы известным, например χ 2 -распределением. Построение критерия, в зависимости от вида гипотезы H 0 , зак1212и K кр, что если K кр,лючатся в выборе таких значений K кр< K < K кр1691то гипотеза H 0 принимается. При этом возможно K кр= −∞ или212K кр= +∞ . Значения K кри K крназываются критическими, а область{12K Д = K : K кр< K < K кр}называется областью допустимых значений.Таким образом, множество возможных значений статистики Kразбивается на два непересекающихся подмножества: критическуюобласть – множество значений K , при которых H 0 отвергается –K Д , и область допустимых значений (область принятия решений) –множество значений K , при которых H 0 принимается – K Д .
При12и K кр, отделяющие эти два множества, называютэтом точки K кркритическими точками. Если фактически наблюдаемое (полученное по выборке) значение статистики критерия K попадает в критическую область, то гипотезу H 0 отвергают, в противном случае принимают.В зависимости от вида конкурирующей гипотезы H 1 выбираютправостороннюю, левостороннюю или двухстороннюю критическую область. При конкурирующей гипотезе H 1 : θ > θ 0 следует ис1= −∞ ), в слупользовать правостороннюю критическую область ( K кр2H:θ<θчае10 – левостороннюю ( K кр = +∞ ), а при гипотезеH 1 : θ ≠ θ 0 – двухстороннюю критическую область.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
