М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 7
Текст из файла (страница 7)
На технический контроль качества предъявляется партияиз 1000 деталей, в которой 200 деталей изготовлено на заводе A , 300деталей – на заводе B , остальные – на заводе C . Доля брака зависитот завода-изготовителя и оставляет для завода A и B 15 %, а длязавода C – 30 %.
Найти вероятность того, что наудачу извлеченнаядеталь окажется отличного качества.4.40. Вероятность того, что некоторое устройство перестанет функционировать на протяжении времени (t,t + ∆t ) равнаλ∆t + ο( ∆t ), ∆ → 0. Какова вероятность того, что оно проработаетдо момента t , если отказ его после момента не зависит от функционирования до момента s ?4.41.
Среди женщин-избирателей 70 % поддерживают кандидата от партии , а среди мужчин-избирателей – 60 %. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин среди избирателейсоставляет 55 %, оценить вероятность победы на выборах кандидатаот партии A .4.42. Исследуется динамика курсов валют A и B (по отношению к некоторой валюте C ) с целью прогнозирования. Статистикавалютных торгов показывает, что курс валюты B возрастает: в 80 %случаев, если вырос курс A ; в 30 % случаев, если снизился курс A ; в50 % случаев, если курс A не изменился.
Предполагая, что все триисходные гипотезы об изменении курса A равновозможны, оценитьвероятности этих гипотез, если известно, что на последних торгахкурс валюты вырос.3 6§5. Схема независимых испытаний БернуллиОпределение. Испытанием (экспериментом, опытом) называется последовательность из двух актов: 1) создание комплекса условий,2) наблюдение появившегося события. Испытания называются независимыми, если наблюдаемые события являются независимыми.Определение. Независимыми испытаниями Бернулли называются такие испытания, для которых вероятности появления событийв каждом испытании одинаковы и не меняются от испытания к испытанию.Нас будет интересовать следующая задача. Пусть производятсяn испытаний Бернулли. В каждом испытании возможно появления.события с вероятностью p и невозможно с вероятностьюНужно определить Pn (m) – вероятность того, что в n испытанияхсобытиепоявляется ровно m раз.испытаний удобно описать набором букв длинойРезультати B : ω = ( A A B...
A B A), где буква An , который состоит из буквозначает, что в испытании появилось событие A , а B – что в испыта-p=m 1− pqnBACnнии появилось противоположное событие A . Каждый набор интереи n − m букв , поэтомусующих нас исходов содержит m букввсе такие исходы имеют одинаковую вероятность p m q n − m . Разныенаборы отличаются только размещением букв A и B , поскольку числослучаев, в которых появляется событие A , фиксировано. Размещение букв A и B однозначно определяется выбором m элементов из, что можно сделатьспособами.
ПоэтомуPn (m ) = C mn p m q n − m = C mn p m (1 − p ) , m = 0, n.Эта формула называется формулой Бернулли. Очевидно, чтоn−mn¦ Pn (m) = 1 .m =0Пример 5.1. В течение смены, которая длится время t , эксплуатируетсяПЭВМ. Каждая ПЭВМ имеет надежность (вероятностьбезотказной работы)и выходит из строя независимо от других.3 7Найти вероятностьтого, что инженер-электроник, вызванныйпо окончанию времени t для ремонта неисправных ПЭВМ, справится со своей задачей за время , если на ремонт каждой неисправнойПЭВМ ему требуется время.Решение. Событие A равносильно тому, что число вышедшихиз строя ПЭВМ меньше, чем l = [τ / τ 0 ] , где [τ / τ 0 ] – наибольшеецелое число, которое меньше либо равно τ / τ 0 .
ПоэтомуlP ( A) = ¦ C mn (1 − p ) p n −m .mm =0Когда число испытаний велико, для вычисления Pn (m ) можно пользоваться приближенными формулами, которые вытекают из предельной теоремы Пуассона и локальной предельной теоремы Муавра – Лапласа.В частности, имеет место предельная теорема Пуассона: еслиn → ∞, p → 0 , так, что np → λ, 0 < λ < ∞ , тоPn (m) →n→∞λ m −λe .m!Она выполняется потому, что если положить np = λn , тоPn (m ) ==n!p m (1 − p ) n −m =m! (n − m)!n(n − 1)...(n − m + 1) § λn¨¨m!© n·¸¸¹m§ λn ·¨¨1 − ¸¸n ¹©nn −m=−mλnm § λn · § 1 ·§ 2 · § m − 1 ·§ λn ·¸¨ 1 − ¸ .¨1 − ¸ ¨1 − ¸¨1 − ¸...¨1 −m! ©n ¹ © n ¹© n ¹ ©n ¹©n¹Далее путем предельного перехода при n → ∞ получим утверждение теоремы.Приближенная формула, которая следует из этой теоремы, имеет вид (при больших и малых )=.Она применяется при решении задач, в основном, когдаλn = np ≤ 10.3 8Пример 5.2.
Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,001. Проведено 5000 испытаний. Найти вероятность, чтособытие в них произойдет не менее двух раз.Решение. λn = np = 5000 ⋅ 0 ,001 = 5 < 10. Искомая вероятностьравнаnP{m ≥ 2} = ¦ Pn (m ) = 1 − Pn (0 ) − Pn (1) = 1 − P5000 (0) − P5000 (1) =m=2= 1 − e −5 − 5e −5 = 1 − 6e −5 ≈ 0,9596.Заметим, что в данном примере p ≈ 0 , а найденная вероятностьP{m ≥ 2} ≈ 1.При n → ∞ имеет место также локальная предельная теоремаМуавра – Лапласа:,x2Pn (m) 1− m2→ 1Pn (m ) ≈ne→∞xm21 2πnp−(12 − p)e2πnp (1 − p )где x m =m − npnp(1 − p), − ∞ < a ≤ x m ≤ b < +∞.
Из нее при больших nвытекает следующая приближенная формула.На практике ею обычно пользуются, когда λn = np > 10 . Она даётхорошие приближения при p ≈1и часто используется, когда2n > 100 , np (1 − p ) > 20 .3 9Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа имеет вид:2t·1 b −2≤ b ¸ →edt.³¸ n→∞πnp(1 − p )2a¹§P¨ a ≤¨©m − npДля того чтобы показать, что она имеет место, можно воспользоваться предыдущей теоремой, из которой следует: ∀ ε > 0 ∃ n ε ,такое что ∀ n ≥ n εPn (m)2x− me 212πnp (1 − p )< ε,т.е.21(1 − ε)2πx− me 21np(1 − p )< Pn (m) < (1 + ε)*Пусть − ∞ < a ≤ b < +∞, ¦=§©можно записать(1 − ε)12π2*¦x− me 2Если n → ∞ ,то2π¦m:a ≤*¦ Pn ( m) = P¨¨ a ≤1m − npnp (1− p )2x− me 2np(1 − p )., тогда, учитывая, что≤b·≤ b ¸, ∆x m = x m +1 − x m =¸np (1 − p )¹m − np§∆x m < P¨ a ≤¨©11np(1 − p)2,xm·1* − 2¸≤ b < (1 + ε)¦ e ∆x m .¸2πnp(1 − p )¹m − np, поэтому при n → ∞ :4 0.Из данной теоремы вытекает приближенная формула§P¨ a ≤¨©где Φ( x ) =12πx³e−t22·≤ b ¸ ≈ Φ (b ) − Φ (a ) ,¸np(1 − p )¹m − npdt – интеграл Лапласа; Φ(0 ) = 0 ; Φ(− x ) = −Φ(x ) ;0Φ (x ) ≈ 0,5, x ≥ 5.Таблица значений функции Φ(x ) приведена в Приложении 2.Пример 5.3.
Театр, вмещающий 1000 зрителей, имеет два входа.У каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть вкаждом из гардеробов, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошA2t2b − t и каждая пара не§· приходят1парами− Предполагается,m −чтоnp зрители1 bли?22¨¸(1 − ε)≤≤ bс вероятностьюe dt < Pe любойdt< (1 + ε )³зависимо³0,5от¨ aдругихвыбираетиз входов.¸2π anp(1 − p )2π a©¹Решение.
Пусть число мест в каждом гардеробе равно N , дляего нахождения составим уравнение. Занумеруем гардеробы номерами 1 и 2. Выбор зрителями того или иного гардероба можно рассматривать как испытание Бернулли, в каждом из которых определеннаяпара с вероятностью 0,5 выбирает гардероб, например, №1. По условию задачи, n = 500, p = 0,5 . Пусть событие A состоит в том, чтозрители разденутся в гардеробе того входа, куда они зашли, m – число пар зрителей, выбравших гардероб №1. Событиебудет происходить, если 500 −NN≤ m ≤ .
По условию, P ( A) = 0,99 . Поэтому22NN·§0,99 = P ( A) = P¨ 500 − ≤ m ≤ ¸ =22¹©4 1N§¨ 500 − − np2= P¨≤¨ np (1 − p)¨©·− np ¸2¸≈np (1 − p) ¸¸¹Nm − npnp(1 − p )N§·§N¨ 250 −¨ − 250 ¸2¸ − Φ¨≈ Φ¨ 2¨ 125¨ 125 ¸¨¸¨©¹©≤·§N·¨ − 250 ¸¸¸,¸ = 2Φ ¨ 2¨ 125 ¸¸¸¨¸¹©¹·§N¨ − 250 ¸2¸ ≈ 0,495.т.е. Φ¨¨ 125 ¸¸¨¹©С помощью таблицы для функции Φ ( x ) находим Φ (2,56 ) ≈ 0,495,Nтаким образом, 2− 250125≈ 2,56, откуда следует, что N ≈ 556.Из интеграла предельной теоремы Муавра – Лапласа получаем§m·m − np§·P¨¨ − p ≤ ε ¸¸ = P¨ − ε ≤≤ ε¸ =n©¹© n¹§ −ε n= P¨≤¨ p(1 − p )©m − npnp (1 − p )≤t2·1 ∞ −2¸ →³ e dt = 1,p(1 − p ) ¸¹ n→∞2π − ∞ε n§m·т.е. P¨¨ − p ≤ ε ¸¸ → 1 ∀ε > 0. Последнее соотношение ноn→∞© n¹сит название закона больших чисел в форме Бернулли.
Из него следует, что при большом числе испытаний частота появления событияпочти не отличается от вероятности этого события.4 2Задачи5.1. При проведении зачета с помощью ЭВМ студенту предлагается 5 вопросов. Вероятность, что студент правильно ответит на одинвопрос, равна 0,5. Для получения зачета студенту необходимо правильно ответить не менее чем на 3 вопроса. Найти вероятность получения зачета.5.2.
Какова вероятность, что в группе, состоящей из 30 студентов, никто не родился в сентябре?5.3. На лекции по теории вероятностей присутствуют 50 человек. Найти вероятность того, что k человек из присутствующих родились 14 июня и l человек родились 23 ноября. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день одна и та же для всех днейгода. Решить задачу при k = 1, l = 2 . Найти вероятность того, чточисло родившихся 14 июня и 23 ноября не больше двух.5.4. Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того,что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний.5.5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будетпоражена 75 раз.5.6. Визуальное наблюдение искусственного спутника Земливозможно в данном пункте с вероятностью 0,1 каждый раз, когда онпролетает над этим пунктом.
Сколько раз должен пролететь спутникнад пунктом наблюдения, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9975удалось сделать над ним не менее пяти наблюдений?5.7. Попытки наблюдать спутник (см. предыдущую задачу) проводятся 100 раз. Найти практически достоверный диапазон числа успешных наблюдений.5.8. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз вмесяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайныммотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чащеодного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?5.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
