М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(n − k + 1) – число размещений из nэлементов по , а Pk = k! – число перестановок из k элементов.Рассмотрим перестановки с повторениями. Пусть из элементовω1 , ω 2 , ..., ω i образуются конечные последовательности, содержащиеn членов, в которыхповторяется k1 раз, ω 2 − k 2 раза, …,ω i − k i раз, k1 + k 2 + ... + k i = n . Такие последовательности называются перестановками с повторениями. Две перестановки считаются одинаковыми, если они совпадают порядком расположенияэлементов и считаются различными, если у них различный порядокрасположения элементов. Число различных перестановок с повторениями равноPn (k1 , k 2 , ..., k i ) =7n!.k1! k 2 !...k i !Пример 1.2. Какова вероятность того, что из шести отмеченныхчисел в карточке «спортлото» (игра 6 из 49) k чисел будут выигрышными, k = 0, 6 .Решение. В данном примере эксперимент состоит в том, что случайным образом отмечаются 6 чисел из 49 в карточке «спортлото».Поэтому равновозможными элементарными событиями будут наборы из шести отмеченных чисел.
Т.к. для определения того, произойдет или не произойдет событие A – среди отмеченных чисел k чисел выигрышные, – порядок чисел не существен, то в качестве равновозможных элементарных событий достаточно рассматриватьнеупорядоченные наборы 6 чисел из 49. Следовательно, число равновозможных элементарных событий равно C 646 . Событие A состоитиз наборов 6 чисел, k из которых выигрышные, а 6- k проигрышные. Набор из k выигрышных чисел можно выбрать C 6k способами,а набор 6- k проигрышных чисел можно выбрать C 643− k способами.Тогда по основному принципу комбинаторики набор из k выигрышных и 6- k проигрышных чисел можно выбрать C 6k C 643− k способами,следовательно,P ( Α) =C 6k C 643− k.C 649(Например, для k = 6 имеем P ( A) ≈ 14 ⋅ 10 6)−1.Задачи1.1.
Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность того,что сумма выпавших очков не превосходит 4.1.2. Среди n лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.1.3. В партии, состоящей из N изделий, имеется k дефектных.В процессе приемного контроля из партии выбирается n изделий.8mKA=Найти вероятность того, что из них ровноизделий будут дефектными.1.4. Рабочий у конвейера при сборе механизма устанавливает внего две одинаковые детали.
Берет он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся 2 уменьшенногоразмера. Механизм не будет работать, если обе установленные детали окажутся уменьшенного размера. Определить вероятность того,что механизм будет работать.человек случайным образом рассаживаются за круглым1.5.столом (K > 2 ) . Найти вероятность того, что два фиксированных лицаA и B окажутся рядом.1.6. Определить вероятность того, что серия наудачу выбраннойоблигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии можетбыть любым пятизначным числом, начиная с 00001.1.7.
На десяти карточках написаны буквы A, A, A, M, M, T, T,Е, И, K . После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найтивероятность того, что на карточках будет написано слово «МАТЕМАТИКА».1.8. Из разрезной азбуки составляют слово «ЭКОНОМИКА».Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова вкладываютсяв случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получитсяслово «ЭКОНОМИКА».1.9. Телефонный номер в г. Гродно – из шести цифр.
Найти вероятность того, что все цифры различны.1.10. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в г. Гродно имеет все цифры различные?1.11. К четырехстороннему перекрестку подъехало с каждой стороны по автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, направо или налево. Черезнекоторое время все автомобили покинули перекресток. Найти веро{все автомобили поедут по однойятность следующих событий:и той же улице}, B = {3 автомобиля поедут по одной и той же улице},C = {по каждой из четырех улиц поедет один автомобиль}.91.12. Некоторые жители г. Гродно и других городов шестизначный номер троллейбусного или автобусного билета считают «счастливым», если сумма первых его трех цифр совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить «счастливый» билет.1.13.
В лифт двенадцатиэтажного дома на первом этаже вошлипять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит налюбом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что всепассажиры выйдут: а) на одном и том же этаже; б) на восьмом этаже.1.14. На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, средикоторых находится трехтомник Янки Купалы.
Найти вероятность того,что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).1.15. Для беспрепятственного полета над некоторой территорией самолет, приближаясь к ней, посылает по радио парольную кодовую группу, состоящую из нескольких точек и тире. Найти вероятность того, что радист, не знающий парольной группы, угадает ее,передав какую-нибудь группу наугад, если известно, что число кодовых элементов в группе (точек и тире) равно пяти.1.16. В ящике имеется K типовых элементов замены (ТЭЗ), изних K 1 элементов 1-го типа, …, K i элементов i -го типа, …,элементов n -го типа;.
Из ящика выбирают наугад k ТЭЗ.Найти вероятность того, что среди них будет k1 ТЭЗ 1-го типа, …, k iТЭЗ i -го типа, …,ТЭЗ n -го типа.1.17. Заперенумерованными ПЭВМ будут работать n студентов (один студент – за одной ПЭВМ). Каждый студент выбираетлюбую ПЭВМ случайно и с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что для работы будут выбраны ПЭВМ с номерами.1.18. Для работы на N ПЭВМ случайным образом распределяются K студентов. Под состоянием совокупности из N ПЭВМ бу-дем понимать вектор k = (k1 , k 2 , ..., k N ) , где k i – число студентов,которые выполняют свое задание на i -й ПЭВМ,1 0.
Состоя-ния считаются различными, если им соответствуют векторы с различными компонентами. Найти: а) число состояний сети, б) вероятности состояний, предполагая, что все состояния равновозможные.1.19. Из 30 экзаменационных вопросов студент знает 20. Каковавероятность того, что он правильно ответит на два вопроса из двух?1.20. Найти вероятность того, что в группе из 25 студентов найдутся, по меньшей мере, два, которые имеют общий день рождения.1.21. Пакет из десяти различных сообщений должен быть передан по электронной почте. Сообщения передаются одно за другимпроизвольным образом. Определить вероятность того, что сообщение A будет передано раньше, чем сообщение B .1.22. По линии связи в случайном порядке передают 30 букв русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которые образуют слово «МИНСК».1.23.
По N каналам связи случайным образом передают K сообщений, N > K . Определить вероятность того, что на каждый канал припадет не более одного сообщения.1.24. Используя условие предыдущей задачи, найти вероятностьтого, что средиканалов n 0 таких, по которым не будет передано ниодного сообщения, n1 таких, по которых будет передано только односообщение, …, n K таких, по которым будет передано K сообщений;KKi =0i =1¦ ni = N, ¦ ini = K .1.25. По N каналам связи, которые пронумерованы, случайнымобразом передаются K сообщений. Какова вероятность того, что по1-му каналу будет передано k1 сообщений, 2-му – k 2 , ...
, N -му каналу – k N сообщений, причемN¦ ki = K .i =11.26. Принимаются кодовые комбинации, в которые входят десять цифр от 0 до 9, при этом цифры не повторяются. Какова вероятность того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 9876…210?1 11.27. В N ячейках случайно размещены n частиц. Чему равнавероятность того, что в -ю ячейку попалочастиц?1.28. Газ, состоящий из K молекул, находится в замкнутом сосуде. Мысленно разделим сосуд на K равных клеток и будем считать, что вероятность для каждой молекулы попасть в любую из клеток одна и та же. Какова вероятность того, что молекулы распределятся так, что в 1-й клетке будет n1 молекул, во 2-й – n 2 молекул, …,в K -й – n K молекул?1.29.
Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.1.30. Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 6 карт. Определить вероятность того, что среди этих карт: а) будет дама пик; б) будут карты всех мастей.1.31. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что: а) число черных и красных карт в обеих пачкахбудет одинаковым (по 13), б) в каждой половине будет по два туза.1.32. Из колоды в 36 карт наугад выбираются 4.
Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.1.33. Из колоды в 36 карт берется наугад 10 карт. Найти вероятность того, что среди них будут 8 одномастных.1.34. В очереди, где продаются билеты по $5, стоят n человек.Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придетсяждать сдачи, если перед началом продажи денег у кассира не было, аполучение платы за каждый билет равновозможно как 5-и, так и 10долларовыми купюрами?1.35. Решить предыдущую задачу при условии, что перед продажей билетов у кассира было5-долларовых купюр.1.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
