М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 6
Текст из файла (страница 6)
По статистике, их вероятности равны соответственно 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. Выявлено,что в ходе катастрофы произошло возгорание горючего. Условныевероятности этого события при гипотезах H 1 , H 2 , H 3 , H 4 , согласно той же статистике, составляют 0,9;0;0,2; 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.4.15. Для поиска пропавшей подводной лодки выбрано 10 самолетов, и каждый из них можно использовать для поиска в одном издвух возможных районов, где лодка может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Как нужно распределить самолеты порайонам поиска, чтобы вероятность обнаружения лодки была наибольшей, если каждый самолет выявляет ее в районе поиска с вероятностью 0,2 и осуществляет поиски независимо от других? Найти вероятность обнаружения лодки при оптимальной процедуре поисков.4.16. Объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из состояний A1 или A2 , априорные вероятности которыхравны p1 и p 2 соответственно.
Есть два источника информации о3 1состоянии объекта: из первого известно, что объект находится в состоянии A1 , из другого – что в состоянии A2 . Из первого источникаправильные сведения о состоянии объекта поступают в 90 %, а извторого – в 60 % случаев. На основе анализа донесений найти апостериорные вероятности состояний A1 и A2 .4.17. Перед опытом о его условиях можно сделать n независимых гипотез, которые образуют полную группу с априорными вероятностями p1 , p 2 , ..., p n . В результате опыта известно, что имела место некоторая гипотеза из группы H 1 , H 2 , ..., H k ,k < n , а остальные гипотезы невозможны:,H k +1 H k + 2 ... H n = ∅ . Найти апостериорные вероятности гипотез.4.18.
Прибор может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p1 , p 2 , p 3 , где p1 = p 3 = 0,25, p 2 = 0,5. Вероятноститого, что прибор будет работать заданное число часов, равны для этихпартий соответственно 0,1, 0,2 и 0,4. Определить вероятность того,что этот прибор проработает заданное число часов.4.19. Апробируется прибор, состоящий из двух блоков, которыевыходят из строя независимо один от другого; работа каждого блокабезусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность исправной работы на протяжении времени t ) равна дляних соответственнои p 2 . По истечении времени t выяснилось,что прибор вышел из строя.
Найти с учетом этого вероятности наступления следующих событий:= {вышел из строя только первый блок}, A2 = {вышел из строя только второй блок}, A3 = {вышли из строя оба блока}.4.20. Во время испытаний было установлено, что вероятностьбезотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99,при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работыв жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборато-3 2рии (вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.4.21.
В условиях задачи 4.20 найти границы, в которых могутлежать вероятности P1 и P2 , если отказаться от предложения о независимости перегрева и вибрации.4.22. По каналу связи передается одна из последовательностейбукв (команда) AAAA , BBBB , CCCC с вероятностями p1 , p 2 , p 3( p1 + p 2 + p 3 = 1) . Каждая независимая буква принимается правиль1(1 − α) при2нимается за каждую из двух других букв. Предполагается, что буквыискажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, чтобыло передано AAAA , если принято ABCA .4.23.
По каналу связи передают символы A , B , C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения символаравна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежноn1p1i , i = 1,5 сти каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли(1 − α )последовательность BACB . Какова вероятность того, что передали2AAAA , BBBB , CCCC ?4.24. Сообщение может передаваться по каждому из n каналовканалов – в отличномсвязи, находящихся в разных состояниях:состоянии, n 2 – в хорошем, n 3 – в посредственном и n 4 – в плохом,n1 + n 2 + n 3 + n 4 = n . Вероятности правильной передачи сообщениядля различных типов каналов равны соответственно p1 , p 2 , p 3 , p 4 .Для увеличения точности сообщения его передают два раза по двумразным каналам, которые выбирают наугад.
Найти вероятность того,что хотя бы по одному из каналов оно будет передано правильно.4.25. Есть пять каналов связи, передача сообщений по которымраспределяется случайным образом с равной вероятностью. Вероятность искажения сообщения при его передаче по i -му каналу равна. Выбран некоторый канал и по нему переданы n − 1 сообно с вероятностью α и с вероятностями3 3ищений; ни одно из них не исказилось.
Найти вероятность того, что n - есообщение, переданное по тому же самому каналу, не будет искажено.4.26. Передача сигналов происходит с вероятностями,в одном из трех режимов. В каждом из них сигнал доходит до адресата неискаженным помехами с вероятностями соответственноp1 , p 2 , p 3 . Передача трех сигналов происходила в одном из трехрежимов, в каком – неизвестно. Найти апостериорные вероятноститого, что передача происходила в первом, втором и третьем режимах.4.27. На вход радиолокационного устройства с вероятностью pпоступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью– только одна помеха. Когда поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-либо сигнала свероятностью p1 , если поступает только помеха – с вероятностью p 2 .Известно, что устройство зарегистрировало присутствие какого-тосигнала.
Найти вероятность того, что в его составе присутствует полезный сигнал.4.28. Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом,который может применять либо не применять помехи. Если объектне применяет помех, то за один цикл наблюдения станция обнаруживает его с вероятностью p 0 , если применяет – с вероятностьюp1 < p 0 . Вероятность того, что на протяжении цикла будут применяться помехи, равна p и не зависит от того, как и когда применялись помехи во время остальных циклов. Определить вероятностьтого, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за циклов наблюдения.4.29. На наблюдательной станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций.
Вероятность обнаружения целей спомощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,9, третьего – 0,92,четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов.Какова вероятность обнаружения цели?4.30. Самолет, вылетающий на задание, производит радиопомехи, которые с вероятностью 0,5 «забивают» радиосредства системыпротивовоздушной обороны (ПВО). Если радиосредства «забиты»,самолет подлетает к объекту необстрелянным, производит стрельбуракетами и поражает объект с вероятностью 0,9. Если радиосредствасистемы ПВО «не забиты», то самолет подвергается обстрелу и сбивается с вероятность 0,8.
Найти вероятность того, что объект будетразрушен.3 4nrPpa,bt[qA= 1− p1 ]4.31. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностьюнаходится в пункте , а с вероятностью (1 − p ) – в пункте B . В распоряжении стреляющего есть N ракет, каждая из которых поражаетцель с вероятностью P независимо от других. Какое количество ракет нужно выпустить по пункту A для того, чтобы поразить цель смаксимальной вероятностью?4.32. Противник может применять ракеты трех типов A, B, C свероятностями: P ( A) = 0,3; P(B ) = 0 ,6; P(C ) = 0 ,1 . Вероятности сбитьракету этих типов, равны соответственно, 0,6; 0,8; 0,9. Известно, чтопротивник применил две ракеты одного типа.
Определить вероятностьтого, что обе ракеты будут сбиты.4.33. Вероятность размножения бактерии в течение времени(t,t + ∆t ) равна β∆t + ο( ∆t ) , ∆t → 0 . Процесс размножения каждойбактерии протекает независимо от других бактерий и ее поведениядо момента t . В начальный момент в банке было бактерий.
Найтивероятность того, что в момент в банке будет бактерий., причем4.34. Частица блуждает по целым точкам отрезкадвижется направо с вероятностью p и налево с вероятностью. Определить вероятность того, что она достигнет правогоконца, если в начальный момент находится в точке n ∈ [a,b ] .4.35. Некоторая деталь производится на двух заводах.
Известно,что объем продукции первого завода в n раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе , на второмP2 . Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятностьтого, что эта деталь выпущена первым заводом?4.36. Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30 %, 50 %и 20 % всей продукции изделий, производимых фирмой. У первогобрак составляет 2 %, у второго – 5 %, у третьего – 1 %.
Какова вероятность, что случайно выбранное изделие фирмы дефектно?4.37. В условиях предыдущей задачи известно, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным. Найти вероятность, что оно былосделано соответственно первым, вторым и третьим сотрудником фирмы.3 54.38. Отдел входного технического контроля (ОТК) проверяет взятые наугад изделия из партии, содержащей, по данным поставщика, aизделий первого сорта и изделий второго сорта. ОТК считает возможным количество изделий первого сорта в размере a − 2, a − 1, a, a + 1 свероятностями соответственно p i , i = 1,4 . Проверка первых mизделий обнаружила, что все они второго сорта. С какой вероятностьюОТК может утверждать, что партия содержит изделий второго сорта больше, чем b ?4.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
