М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Панорамный приемник периодически с постоянной скоро-стью проходит полный диапазон частот ( f 1 , f 2 ) , где возможно появление сигнала, за которым установлено наблюдение. Полоса пропускания приемника определяется допустимой расстройкой относительно сигнала ± ∆f . Считая сигнал импульсным (выявленной точкой какна оси времени, так и на оси частот), появление его равновозможнымв любой момент и в любой точке интервала, найтивероятность обнаружения сигнала.2.23. Используя условие предыдущей задачи, найти вероятностьпеленга передатчика, если известна частота сигнала и то, что антеннапеленгатора вращается равномерно с углом раскрытия диафрагмыантенны α = 20 .2.24.
Поезда метро идут в данном направлении с интервалом 2мин. Какова вероятность того, что пассажиру доведется ждать поездане больше, чем 30 с?2.25. Концентрация доходов различных социальных групп изображается кривой Лоренца. Пусть наудачу выбираются социальные слои,суммарная доля x которых от всего населения изменяется в интервалеа суммарный относительный доход y изменяется соответственно в интервалеНайти вероятность события, состояще-го в том, что наудачу выбранная часть населения будет иметь относительный доход, удовлетворяющий соотношению2.26.
Состояние работы банка за сутки характеризуется суммарной величиной d 1 вкладов от индивидуальных вкладчиков и не зависящей от нее величиной d 2 вкладов от фирм. Работа банка оценивается его правлением как успешная, если d 1 + d 2 > 0 и выполняется пропорция вкладов: d 1 + d 2 > d , где d > 0 – заданный[]коэффициент. Предполагая равновероятность значений d i ∈ d i , d i ,i = 1,2, вычислить вероятность того, что итоги работы банка в течение суток успешны.1 8§3. Условная вероятность и независимость событийОпределение.
Предположим, что P (Β ) > 0 . Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B , называетсяотношение вероятностей P ( Α Β ) и P(B ) и обозначается P ( A / B ) , т.е.P( A B ).P (B )Она обладает следующими свойствами:P( A / B ) =а) если Β ⊆ Α , то, т.к. в этом случае Α Β = Β ;б) если Α Β = ∅ , то P (( Α Β ) / C ) = P ( Α/C ) + P (B / C ) , т.к.(( Α C ) (B C ) = ∅, P(( Α Β ) C ) = P( A C ) + P(B C ) ;в) P (Α /Β ) = 1 − P( Α/Β ) , т.к. 1 = P (Ω/Β ) = P ((Α Α )/Β ) = P( Α/Β ) +)+ P Α /Β .Пример 3.1. Бросается игральный кубик.
Какова вероятностьтого, что выпало число очков большее трех (событие A ), если извесP ( Α/Β ) = 1 тно, что выпала четная грань (событие B )?Решение. Событию B соответствует выпадение чисел 2, 4, 6; со-бытию A – выпадение чисел 4, 5, 6; событию Α Β – 4, 6. ПоэтомуP( A / B ) =P( A B ) 2 3 2= : = .P (B )6 6 3Определение. Два события A и B называются независимыми,если P ( Α Β ) = P ( Α)P(B ) .Определение. События A1 , A2 , ..., An называются независимы-{ми в совокупности, если для любых наборов индексов i1, i 2 , ..., i m}таких, что 1 ≤ i1 < i 2 < ...
< i m ≤ n , 2 ≤ m ≤ n , имеет место равенство()m( )P Αi Αi ... Αim = ∏ P Ai .12k1 9k =1Если это равенство справедливо только для случая, когда m = 2 ,то события называются попарно независимыми.Пример 3.2. Бросаются две монеты. Пусть событие A состоит ввыпадении герба на первой монете, событие B состоит в выпадениицифры на второй монете; событие C – монеты выпадут разными сторонами. В этом случае:Ω = {ГЦ, ГГ, ЦГ, ЦЦ} , A = {ГЦ, ГГ}, B = {ГЦ, ЦЦ} , C = {ГЦ, ЦГ},AB = {ГЦ} ; P ( ΑΒ ) =11= P( Α)P(Β ) ; P ( ΑC ) = = P ( A)P (C ) ;44111= P (B )P(C ) ; P ( ΑΒC ) = ≠ P( Α)P(Β )P (C ) = ,484т.е.
A, B, C – попарно независимы (но независимости в совокупности здесь нет).Следует отметить, что на практике независимость событий проверяется не из определения, а исходя из условий эксперимента: можно показать, что если события связаны с независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.Справедливо следующее утверждение, известное как теорема умноP (BC ) =§mжения вероятностей. Пусть для событий Ak , k = 1, 2, ..., n; P¨ Αk© k =1·¸>0¹для всех 1 ≤ m ≤ n , тогдаn −1m§ n·P¨ Αk ¸ = P ( Α1 )∏ P§¨ Αm +1 / Αk ·¸ .k =1¹m =1 ©© k =1 ¹Пример 3.3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефонаи поэтому набирает ее наугад.
Определить вероятность того, что емупридется звонить не более чем три раза.Решение. Обозначим через Ai событие, заключающееся в том,что абонент звонит i -й раз и ему соответствует неудача,да имеем:P ( Α1 ) = 1 −8719= , P ( Α2 /Α1 ) = , P ( Α3 /Α1 Α2 ) = .10 10982 0. Тог-Искомая вероятность равна:1 − P ( Α1 Α2 Α3 ) = 1 − P ( Α1 )P ( Α2 /Α1 )P( Α3 /Α1 Α2 ) = 0,3 .Задачи3.1. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросовпрограммы.
Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Используя понятие условной вероятности, найти вероятность того, что студент знаетвсе эти вопросы.3.2. Вероятность попадания в первую мишень для стрелка равнаm2. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок3получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятностьпоражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определите вероятность поражения второй мишени.3.3.
Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных целыхчисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что срединих хотя бы одно число четное?3.4. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июлеравно 25. Найти вероятность того, что первые два дня в июле будутясными.3.5. В обществе из 2n человек одинаковое число мужчин и женщин.
Места за столом занимают наудачу. Определить вероятность того,что два лица одного пола не займут места рядом.3.6. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p . За группой объектов ведут наблюдение нерадиолокационных станций. Найти верозависимо друг от другаятность того, что не все объекты, входящие в группу, будутобнаружены.3.7. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5 % всей продукцииявляется браком, а 75 % не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.3.8. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю.
Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы2 1одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5 %неисправных деталей?3.9. Производится испытание прибора. При каждом испытанииприбор выходит из строя с вероятностью .
После первого выходаиз строя прибор ремонтируется; после второго – признается негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет изстроя в точности при -м испытании.3.10. Вероятность выхода из строя k -го блока ЭВМ за время Tравна p k , k = 1, 2, .., n . Определить вероятность выхода из n блоковЭВМ, если работа всех блоков взаимно независима.3.11.
ЭВМ, в которой подозревается дефект, подвергается тестированию с целью локализации дефекта. Для этого применяется последовательно тестов. При обнаружении дефекта тестирование прекращается. Вероятность локализации дефекта при первом тесте равна; условная вероятность локализации дефекта при втором тесте(если при первом он не был локализован) равна p 2 ; условная вероятон неность локализации дефекта на i -м тесте (если при первыхбыл локализован) равна p i , i = 1, 2, .., n . Найти вероятности следующих событий: а) проведено не менее трех тестов; б) проведено неболее трех тестов; в) дефект локализован в точности при четвертомтесте; г) дефект не локализован после тестов; д) проведены все nтестов.3.12. Каждая буква слова «ЭЛЕКТРОНИКА» написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последовательно вынимают четыре карточки.
Какова вероятность получить слово«КИНО»?3.13. Вероятность того, что некоторое устройство космическогокорабля испортится, равна . Сколько запасных устройств нужноиметь на корабле, чтобы обеспечить вероятность правильной работыне меньшую, чем ?3.14. Измерительное устройство состоит из двух приборов. Вероятность исправной работы k -го прибора за рассматриваемый промежуток времени равна 1 − α k , k = 1, 2 . Найти вероятность того, что2 2kpp1оба прибора будут работать: а) если известно, что поломки в них возникают независимо, б) если ничего не известно о зависимости междуполомками этих приборов.3.15.
Проведены три независимых измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при одном измерении ошибка превысит заданную точность, равна p . Определить вероятностьтого, что только в одном из измерений ошибка превысит заданнуюточность.3.16.
Во время стрельбы ракетами по цели попадания отдельных ракет независимы и вероятность попадания каждой ракеты рав. Стрельбана . Каждая ракета поражает цель с вероятностьюведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса;количество ракет n > 2 . Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.3.17. Сообщение, которое передают по каналу связи, состоит изn знаков. При передаче каждый знак искажается независимо от других с вероятностью . Для надежности сообщение дублируют, т.е.повторяют раз. Какова вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено полностью.3.18. Для того чтобы найти специальную книгу, студент решилобойти три библиотеки.
Наличие книги в фонде библиотеки одинаково равновероятно, и если книга есть, то одинаково вероятно, занятаона другим читателем или нет. Что более вероятно – возьмет студенткнигу или нет, если библиотеки комплектуются независимо одна отдругой.3.19. На железнодорожном вокзале пассажир воспользовалсяавтоматической камерой хранения багажа, шифр который состоит изодной буквы русского алфавита и трехзначного цифрового кода. Пассажир набрал шифр, запер сейф, но, возвратившись, забыл свой шифровой набор. Найти вероятность событий: A = {сейф открывается припервой попытке}, B = {сейф открывается после k попыток}.3.20. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместительностью n монет одну фальшивую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
