М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Король подозревает чеканщика иподвергает проверке монеты, взяв наудачу по одной в каждом ящике.Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?2 33.21. Прибор состоит из блоков, которые выходят из строя независимо один от другого. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна . Найти надежностьприбора для случаев, которые изображены на рис. 3.Рис. 33.22. Система управления состоит из четырех узлов, рис.4. Вероят-ностиих безотказной работы соответственно равны: 0,7; 0,6; 0,8; 0,9.Вычислить вероятность безотказной работы всей системы управления.Рис. 43.23. Электрическая цепь составлена из пяти элементов, рис.
5.При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения2 4разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента под номером , равна p k , k = 1,5 . Предполагается, что элементывыходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того,что на рассматриваемом периоде по цепи будет проходить ток.Рис. 53.24. Прибор состоит изузлов. Вероятность безотказной ра-боты -го узла равна. Для работы прибора требуетсябезотказная работа всех его узлов. При вычислении вероятности Rотказа прибора вероятности p i , i = 1, 2, ..., n , приближенно заменяютих средней арифметической:inkp i , i = 1, 2, ..., np=1 n¦ pi .n i =1Будет ли при этом вычисленное приближенное значение R вероятности R больше или меньше истинного R ?3.25. Упрощенная схема контроля качества изделий состоит издвух независимых проверок.
В результате k -й проверки изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью β k , а бракованное изделие принимается с вероятностью α k , k = 1, 2 . Изделиепринимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности следующих событий: а) будет принято бракованное изделие, б) изделие,удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.3.26. Уникальный прибор, от которого требуется очень большаянадежность, состоит из k деталей D1 , D 2 , ..., D k . Перед сборкой каждую деталь всесторонне проверяют и, если она окажется высококаче-2 5ственной, включают в прибор, а если нет – заменяют запасным экземпляром, который также проверяют. Сборщик имеет в наличии запасkдеталей каждого типа: ni экземпляров детали Di , i = 1, k , ¦ n i = n .i =1Если запасных деталей не хватает, сборка откладывается. Вероятностьтого, что отдельный экземпляр детали Di окажется высококачественным, равна Pi и не зависит от качества других экземпляров. Найтивероятности следующих событий: A ={имеющегося запаса деталейдостаточно для сборки прибора}, B ={при данном запасе деталейсборщик может собрать прибор, и хотя бы одна деталь любого типаостанется в запасе}.3.27.
Рабочий обязан поддерживать функционирование автоматической линии, состоящей из трех станков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первой станок не потребует наладки, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего –0,85. Какова вероятность того, что в течении смены: а) линия непотребует наладки; б) все три станка потребуют наладки; в) какойнибудь один станок потребует наладки; г) хотя бы один станок потребует наладки.3.28.
Баллотируются два кандидата, причем за первого в урнуопущено n бюллетеней, за второгобюллетеней,. Каковавероятность того, что на протяжении всего времени подсчета бюллетеней количество подсчитанных голосов, которые отданы за первогокандидата, будет больше числа голосов, отданных за второго?§4. Формула полной вероятности и формула БайесаОпределение.
Совокупность событийназывается полной группой событий, если выполнены следующие условия:а)n Ak = Ω ; б) Ai Ak = ∅ ,k =1i ≠ k ; в) P ( Ak ) > 0 , k = 1,n .Если A1 , A2 , ..., An образуют полную группу событий, то длялюбого события2 6§ n· nB = B Ω = B ¨ Ak ¸ = (B Ak ) ,© k =1 ¹ k =1и поэтомуn§ n· nP(B ) = P¨ (B Ak )¸ = ¦ P(B Ak ) = ¦ P( Ak )P (B/Ak ) .k =1© k =1¹ k =1ФормулаnP (B ) = ¦ P( Ak )P (B/Ak )k =1называется формулой полной вероятности для случайных событий.Если P (B ) > 0 , тоP( Ak B ) = P(B )P( Ak /B ) = P( Ak )P(B/Ak ) .Отсюда следует, чтоP ( Ak /B ) =P( Ak )P (B/Ak )n¦ P( Ai )P(B/Ai ), k = 1,n ,i =1A1 , A2 , ..., Aт.е.имеет место формула Байеса для случайных событий:nP ( Ak /B ) =P ( Ak )P (B/Ak )n¦ P( Ai )P(B/Ai ), k = 1,n .i =1При решении задач удобно применять следующую формулировку: если событие B может происходить только с одним из событийA1 , A2 , ..., An , образующих полную группу событий, то при P (B ) > 0справедливы формула полной вероятности и формула Байеса.Формула Байеса используется также в следующем случае.
Пустьсобытие B может происходить в различных условиях, относительнокоторых выдвигается n гипотез. Предположим, чтоизвестны вероятности P ( Ai ) и P ( B / Ai ) , i = 1, n . Далее проводиться эксперимент, в результате которого происходит событие B . Это2 7должно вызывать переоценку вероятностей гипотез. Появляются вероятности P ( Ai / B ) . i = 1, n , которые вычисляются по формуле БайесаПример 4.1.
Для контроля продукции из трех партий деталейвзята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей – бракованные, ав двух других все доброкачественные.Решение. Пусть B ={взятая деталь – бракованная}, Ak ={детальберется из k -й партии}, k = 1, 3 . ТогдаP ( Ak ) =13,k = 1, 3; P(B/A1 ) =и поэтому P (B ) =2, P(B/A2 ) = P (B/A3 ) = 0332k =19¦ P( Ak )P(B/Ak ) = .Пример 4.2. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узланеобходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятностьбезотказной работы в течение времени t первого узла равна, вто-рого p 2 .
Прибор испытывался в течение времени t , в результате чегообнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того,что отказал только первый узел, а второй исправен.Решение. Пусть={оба узла исправны}, A2 ={первый узел от-казал, а второй исправен}, A3 ={первый узел исправен, а второй отказал}, A4 ={оба узла отказали}. Эти события образуют полную группусобытий. Найдем их вероятности.P( A1 ) = p1 p 2 ,,,.Поскольку наблюдалось событие{прибор отказал}, тоP (B/A1 ) = 0, P (B/A2 ) = P(B/A3 ) = P(B/A4 ) = 1 .По формуле Байеса находим:P( A2 /B ) =(1 − p1 ) p 2(1 − p1 ) p 2=(1 − p1 ) p 2 + p1 (1 − p 2 ) + (1 − p1 )(1 − p 2 ) 1 − p1 p 22 8.Задачи4.1. Среди N экзаменационных билетов n «счастливых».
Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того,кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билету последнего студента?4.2. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, еслидля этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета илина один вопрос из первого билета и на указанный дополнительныйвопрос из другого билета.студентов, из которыхчело4.3. В техникумевек учатся k -й год.
Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того,что этот студент учится третий год?4.4. Из чисел 1, 2, ..., n одно за другим выбирают наугад двачисла. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m ?p , k = 1, 2, 3nnAk4.5. Водитель автомобиля, оказавшись в неизвестной местносв пункт B . Оценить шанти, пытается наудачу попасть из пунктасы водителя (вероятность) попасть в пункт B , если возвращения запрещены, а схема дорог приведена на рис. 6.AA1A2A3A4BРис. 64.6.
Вероятность того, что письмо находится в столе, равна ,причем оно с равной вероятностью может находиться в любом из восьми ящиков стола. Проверили семь ящиков – письма не нашли. Каковавероятность того, что письмо в восьмом ящике?2 94.7. В группе 10 студентов. Трое подготовились к экзамену наоценку «отлично», четверо на «хорошо», двое на «удовлетворительно», один на «неудовлетворительно». В экзаменационных билетах 20вопросов. Отличник знает ответ на все вопросы, хороший студент –на 16 вопросов, посредственный – на 10, плохой – на 5.
Вызванныйстудент ответил на все три вопроса. Найти вероятность, что она) отличник,б) плохой студент.4.8. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбойв процессоре, в памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5.Вероятности обнаружения сбоя в процессоре, в памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.4.9. Студент приходит в лабораторию, в которой находятсяПЭВМ, для выполнения лабораторной работы. Вероятности того, чтоПЭВМ заражены вирусом, равны соответственно. Дляработы студент выбирает наугад одну из ПЭВМ. При выполненииработы на исправной ПЭВМ (без вирусов) студент ошибается в среднем в k % случаев. Найти вероятность того, что студент правильновыполнит лабораторную работу.4.10.
К серверу подключены N ПЭВМ. Вероятность того, чтозапросы, поступающие на сервер из одной ПЭВМ в момент времениt , прекратятся до момента, равна. Если в моментвремени t из ПЭВМ на сервер не поступают запросы, то вероятностьтого, что они начнут поступать до момента, равнанезависимо от работы других ПЭВМ. Составить дифференциальныеуравнения, которым будут удовлетворять Pn (t ) – вероятности того, чтов момент t на сервер поступают запросы из ПЭВМ. Найти стационарное решение (при) этих уравнений.4.11. Вероятность поступления на телефонную станциювы.
Будем считать количезовов за промежуток времени t равнаство вызовов за любые два соседних промежутка времени независимыми. Определить вероятность P2t (k ) поступления s вызовов запромежуток времени.3 04.12. Производится посадка самолета не аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна p1 .Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолетвслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна P . Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той жевероятностью p1 , что и при визуальной посадке.
Если же приборыслепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет с вероятностью p 2 < p1 . Найти полную вероятностьблагополучной посадки самолета, если известно, что в k % всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью.4.13. В условии предыдущей задачи известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепой посадки.4.14. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы H 1 , H 2 , H 3 , H 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
