М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко - Теория вероятностей и математическая статистика (1115300), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш в $50, 3выигрыша по $25, 6 выигрышей по $10 и 15 – по $3. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша при покупке трех лотерейных билетов. Что вероятнее: выиграть не менее $25 или не более $25 при покупке одного лотерейного билета?1.37. В лотерее K билетов, из них m выигрышных. Найти вероятность одного выигрыша для лица, имеющегобилетов.1 21.38. Пусть эксперимент состоит в проведении голосования постратегии развития компании собранием из K членов. Каждый сотрудник может голосовать «за», «против» или воздержаться от голосования. Найти число элементарных событий в Ω , если голосованиеявляется а) открытым, б) тайным. Если в процессе обсуждения сотрудники могут менять свое мнение, то сколько элементов содержитΩ , если голосование проводится дважды (двумя способами)?§2.
Геометрическое определение вероятностиlΩ≤ aГеометрическая вероятность является расширением понятия классической вероятности на случай несчетного множества элементарных– несчетное множество, вероятность опсобытий. В случае, когдаределяется не на элементарных событиях, а на их множествах.Определение.
Пусть из области G выбирается точка таким образом, что выбор точки из некоторой области A , содержащейся в G ,объективно не имеет преимуществ перед выбором точки из любойдругой области, содержащейся в G , с мерой, равной мере областиA , какой бы формы она не была. Такой выбор называется выбором сравновозможными исходами. Пусть событие A состоит в том, чтоточка будет выбрана из области A . Тогда вероятностью события Aназывается числоP ( A) =mesA,mesGгде mesA – мера (на прямой – длина, на плоскости – площадь, в пространстве – объем) области A .Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности. Первые три свойства следуют из определения,остальные из первых трех.Пример 2.1 (Задача Бюффона).
На пол, построенный из досок. Найти вероятность того,шириной a , бросается игла длинойчто игла пересечет линию пола.Решение. Положение иглы относительно линий пола зададимдвумя координатами: – расстояние от нижнего конца иглы до бли-1 3жайшей верхней линии,ний пола, рис. 1.– угол между иглой и направлением ли-xalx = l sin απ α0Рис. 1Рис.
2Независимо друг от друга они могут принять одно из значений впределах: 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ α ≤ π , причем каждое из этих значений равновозможно. Этим значениям соответствует точка прямоугольника состоронами a и, рис. 2. Тогда все элементарные события можнопоставить в соответствие с точками этого прямоугольника; из сказанного выше следует, что любая точка прямоугольника будет равновозможна,.Пусть A = {игла пересечет линию пола}, тогда A = {( x, α ) :x ≤ l sin α} , такие точки заполняют заштрихованную область, рис. 2.Мера в данном случае является площадью.
Из геометрическогоπопределения вероятности имеем P ( A) =mesA=mesΩ³ l sin α dα0aπ=2l. Изlπэтого соотношения, пользуясь тем, что частота появления события Aблизка к вероятности этого события, можно найти приближенное значение числа π :, где N – число бросаний иглы, n( A) –число тех из них, в которых игла пересекла линию пола.
УченикомБюффона около 400 лет назад было проделано ≈ 6000 таких опытови получено правильное приближенное значение числас точностью до четырех знаков после запятой.1 4Задачи2.1. Два студента имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени . Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t .2.2. По маршруту независимо друг от друга ходят два автобуса:№– через 10 минут, № 15 – через 7 минут. Студент приходит наостановку в случайный момент времени.
Какова вероятность, что емупридется ждать автобуса менее трех минут.2.3. Дано уравнение x 2 + ax + b = 0 . Известно, что 0 ≤ a ≤ 1,0 ≤ b ≤ 1 , причем вероятность попадания каждого из чисел a и вкакой-либо интервал отрезка [0, 1] пропорциональна длине интервалаи не зависит от его положения относительно отрезка [0, 1]. Найти вероятность того, что данное уравнение имеет действительные корни.2.4. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 1 , а их произведение неT[bd20.
"< ]a < b#3.162.5. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 19 и 20 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 5 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в промежуткеот 19 до 20 часов.2.6. На паркетный пол случайным образом падает монета диаметром d размеры паркетных плиток a × b , причемКакова вероятность того, что упавшая монета не пересечет границ паркетной плитки?больше2.7.
На отрезкеслучайным образом выбираются две точки,Какова вероятность того, что из отрезков, полученных разбиениемотрезка [0, 1] этими точками, можно построить треугольник?2.8. На бесконечную шахматную доску, сторона каждой клеткиравна 2a , бросают монету радиуса r < a . Найти вероятность того,что монета попадает внутрь одной клетки целиком.1 52.9. Два танкера должны подойти к одному и тому же причалу.Время прихода обоих танкеров равновозможно в течение одних суток.
Найти вероятность, что одному из танкеров придется ждать освобождения причала, если время разгрузки первого танкера – три часа,а второго – четыре часа.2.10. Два судна плывут в тумане: одно идет вдоль пролива шириной , а другое курсирует без остановок поперек этого пролива. Скорости движения судов соответственно равны v1 и v 2 . Второе судноподает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии l < L . Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, еслипересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.2.11. Катер перевозит груз с одного берега на другой, пересекаяпролив за один час. Какова вероятность того, что судно, которое движется вдоль пролива, будет замечено, если с катера замечают судно в случаепересечения его курса не раньше, чем за 20 мин до пересечения с курсомкатера, и не позже, чем через 20 мин после пересечения судном курсакатера? Любой момент и любое место пересечения судном курса катераравновозможны.
Курс судна перпендикулярен курсу лодки.2.12. В круге радиусанаудачу выбирают точку. Вероятностьпопадания точки в некоторую область круга пропорциональна площади этой области. Определить вероятность того, что: а) точка находится от центра на расстоянии меньшем, чем r , r < R ; б) меньшийугол между заданным направлением и прямой, которая соединяет точку с началом координат, будет не больше, чем α .2.13. На окружности с радиусом 1 и центром в начале координатнаудачу выбирают точку. Вероятность выбора точки на некоторой дугеокружности зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей.Найти вероятность того, что: а) проекция точки на диаметр находитсяот центра на расстоянии не большем, чем; б) расстояние отвыбранной точки до точки с координатами (1,0) не больше, чем r .2.14.
Спутник Земли двигается по орбите, которая заключенамеждусеверной и 60 южной широты. Найти вероятность того,что спутник упадет выше 30 северной широты, если считать равновозможным падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями.1 62.15. Слой воздуха толщиной H задерживает пылинки радиуштук в одной кубической единице. Найти весом r в количествероятность того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечетни одной пылинки.2.16. Электрон вылетает из случайной точки нити накаливанияи движется перпендикулярно ей. С какой вероятностью он свободнопройдет через сетку, которая окружает нить и имеет вид винтовой?линии с радиусом , толщиной σ и шагомmv 22.17.
Рассмотрим частицу с энергией E =, которая движет2ся в случайном направлении. Пусть (v1 , v 2 , v 3 ) – вектор скоростичастицы в некоторой системы координат. Какова вероятность того,что α ≤ v1 ≤ β ?2.18. На круглом экране радиолокатора радиусом r имеется точечное отображение объекта, которое занимает случайное положениев границах экрана, причем ни одна зона в границах не имеет преимущества перед другой. Найти вероятность того, что расстояние от точки объекта до центра экрана будет меньше, чем.2.19. По радиолокатору в течение промежутка времени (0, T )ltvλR(aHr0,, Td −<τa) < l 2 + d 2передаются два сигнала длительностью τ < T и каждый с одинако2вой возможностью начинается в любой момент интервала.Когда сигналы перекрывают друг друга хотя бы частично, они обаискажаются и приняты быть не могут.
Найти вероятность того, чтосигналы будут приняты.2.20. Самолет с радиолокационной станцией, дальность действиякоторой L , в районе площадью s осуществляет поиск подводнойлодки со скоростью . Лодка может всплыть в любой точке районана время . Найти вероятность обнаружения подводной лодки радиолокатором, если время t невелико.2.21. Имеются две параллельные линии связи длиной , расстояниямежду которыми d < l . Известно, что на каждой линии где-то есть разрыв, но неизвестно, в каком месте. Найти вероятность того, что расстояниемежду точками разрыва не больше, чем1 7.2.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
