Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Величины 1'« — — е «имеют равномерное распределение «/(О, е-'). Воспользоваться результатом задачи 4.4. 4.8. Применить лемму Неймана — Пирсона при фиксированной альтернативе (еп, ею). 4.9. Совместная плотность величин Х««1<ха« Хоо имеет вид Г '(20) '(и!/(и — г)!] ехр ( — («) Х«п+(и — г) Х«и)/(20)), !=« l (~ Ха, +(и — г) Х«л)/Е -Х' «=« (см. указание к задаче 2.24). Критическая область критерия имеет вид (Д' Ха, ) (, )Хи<62„„), «4 мощность критерия равна ()(0,)=рц,<е,х „/0,). 4.10.
ео2~ /0,~ 7(о . Используя таблицу 2.2,а из [5], получим гв23. 4.11. Критическая область имеет вид ((1)' Х«(ро) () ( гпах ]Х«]),.в 05). 127 Пусть Уо — объем гиперсферы радиуса р в Ло, 1', =(Зло/15) р' 5.26 р', величина р является решением уравнения 0.1=5.20ро. Наблюдав. мое значение ~' Х! равно 0.399>р'. Гипотеза Но принимает. с4 ! ! ся.
4.13. 1 — Ф(голо — )~ и))0.99, го.оо — Уи(~го.о!. Так как го.оо= = — го,о!=2.326, то и)22. 4.15. Р(у~~)1(~о „/2))0.9. Отсюда уо „(2ф! „. Используя таблицу 2.2,а из [5), получим п )29. 4.16. Ь(х, М)=СмСй "и/С!о, Ь(х, М+ц <М+ц(М вЂ” М вЂ” и+х) Ь(, М) (!У вЂ” М) (М+ ! — х) Семейство распределений Ь(х, М) имеет монотонное отношение правдоподобия с Т(х)=х, 1, если х)с„, !р(х)= у„, если х=с„, О, если х(с, величины с и у„определяются из условия Еи,!р(Х) а. 4.17. ро(х)=С*~., !(1 — 6)'6 =С„'.ь„!О" ехр[х 1п(1 — 8)). Семейство р,(х) является семейством с монотонным отношением правдоподобия, 1, если х(с, <р (х)= у, если х = с„, О, если х)с„, постоянные с, и у, определяются из условия Ео,!р(Х)=со.
4:18.'Заметим, что РЯ(1)~с)=Р(3'„(201). Ц Для первой схемы Р $(з)=е) =е-'о (з6)'/й1, р.н.м. критерий имеет вид 1, й о:с+1,. <р (А)= у, й = с, О, й(с — 1, где с и у находим из условий Х„,(26, 11,',,<,+!>, у=[сс — Р(у1, (29оз)![е — ~ов (з8о)ЧсЦ, мощность равна [)т(0) ='Р(у,'! +!! (28з) -(-уе о(з9) /с1. !28 Л Р й схемы 282 Хй р критическая область — (т«Х2 1(28 )) мощность равна 122(8)=р(Х~~ (ОХа /89) 2) Для первоййсхем находим из соотношений ! Х0.92,2с ' 42=Х9.99,2с Используя табл. 2.2,а нз [51, получим с=23, в=15.7. Для второй схемы т находим из уравнения 2Х' Х999 т=23 При этих з и т р1(0) =р2(0).
Для 0<1.46 предпочтительнее первая схема, для О)1.46 предпочтительнее вторая схема. 4.19. 1, если '~" х1(с! или ~~ х1 >с„ тсз если '~' х;=си 1=1, 2, !р (х) = О, если с,< у х1<с2, 1=! постоянные с1, с2, т! и т2 определяются из уравнений сс — ! 2 ',~'„С„'О,'(1 — 8,)" '.+ ~; (1 — уи) С„' 0„' (1 — О,) ' =1 — а, 1=-с,+1 1=! с,-1 2 С„:109 '(1 — 09)" +~'(1 — у1)С'1 18«1 1(1 — 09)" '1=1 — а. 1 с,+! 9 Дг Х,— 8)1У'иО (1-0) Так как при больших и величина 1=! имеет приближенно стандартное нормальное распределение, то при 09, не слишком близких к О или 1, в условиях Н9 величина ~' Х1 приближенно симметрична относительно и09. Прибли1=! женно несмещенным критерием с равными «хвостами» распределения является более простой критерий, для которого постоянные сь с2, т1, у2 определяются из уравнений !29 При достаточно больших з приближенный критерий отвергает )19 при А~с, где с удовлетворяет соотношению 20,9 Х2 мощность равна Р1(8) р(Х22,(202).
л = ~»4! С»ЕО»(1 — Ео) +узС28о*(1 — Еа) »=иь! При больших а можно положить с! = пЕО+)» пЕ, (1 — 8,) г„м, с, = пЕ, +)Гпй, (1 — 8,) г~ „»!. 4.21. Показать, что распределение (Х„ ..., Х„) образует од. нопараметрическое экспоненцнальное семейство, и применить теорему 4.2. Использовать симметрию распределения величинн л ~ (х,— е,). »=! 4.22. Показать, что распределение (Х, , Х„) образует од. нопараметрическое экспоненциальное семейство, и применить теорему 4.2. 4.23. 1) Плотность распределения вектора Х= (Хь ..., Х„) имеет вид и г ! 1 ч-1, пе, — »»Е! ! Р, (х) ехр ~ — — ~х'+ — 'х — — ! в"в = (З„)л»»8 ~ зо»,У~ » Ез звз ~ г 2 2 и принадлежит к двухпараметрическому экспоненциальному се. л мейству, Е= — "', У(х)=х, »1= — 1/(28~), Т(х)=ах!!. Примеез »=! нить теорему 4.3.
Без нарушения общности считаем Е!»»=О. Прз гипотезе Н»» распределение Т,(Х)=ТАТ(Х) не зависит от 8в а по теореме Басу Т! (Х) и Т(Х) независимы. Неравенст ва Х) тТ(Х) ) с„* эквивалентно неравенству г „ ') и Х/ ~/ ~) (Х,— Х)з~(п — 1) ) с »=! 2) Критическая область имеет вид г л »х — 8»»'!»у. т»х,— х»*»» — 1»(~.„), »=! 130 мощность 1а,л — 1 4.24. Воспользоваться указаниями к задаче 4.23. Применить теорему 4.4 и использовать свойство симметрии 1-распределения Стьюдента.
4.25. 1) Плотность распределения вектора Х=(Х1, ..., Х„) имеет вид л 2 1 к-л, л0, — 0 р, (х) ехр ~~ — — ~~ х2+ — 'х — — ( алев (2а)л!20л ~ 202 4,1 1 02 202 1 и принадлежит к двухпараметрическому экспоненциальному семейству, л 8= — 1/(2822), (/ (х) = ~~ х21, 2) а вО,/02~, Т (х) = х. 1=1 Воспользоваться теоремой 4.3. Неравенство (/(х) ъ.сал(х) эквил л валентио неравенству ) (х,— х)2~)са.(х), ~~ (Х! — Х)' не зави-- сит от Х. 2). а) критическая область имеет внд Д' (Х! — Х)2Я 1=! 2 2 2 2 2 2 ~<822Х, !1 мощность ()(Ом)=Р(Х„~ <02ИХ „~/О~!); б) критическая область имеет вид л л (Д" (Х1 — Х) ~( 02ос!) () ®(Х1 — Х)~~) 02ес2)), 1=! 1=1 с! и с2 определяются условиями ~ д„1(и) 1/и=~ ц (и)1(и=! — се, о с, мощность ЦОм)=1 — Р(023,с,/82~(Х~ !(83~есе/82Д.
Здесь д„(и)— плотность распределения Хеь Если и не слишком мало и 62 не. слишком близко к нулю или со, то критерий с равными «хво- стамнл, длЯ КОТОРОГО ст — — Х 12 1, се — — Х~ а!2 1, ЯвлЯетсЯ ХО- Рошим приближением к указанному критерию. 4.28. См. задачу 4.25. Гипотеза Ое принимается, мощность.
Равна 0.983. 4.27. Совместная плотность величин Х1, ..., Х», У1, ..., У имеет внд 101 л ГЮ с(р, $, о)ехр ~ — — (~~~х',.+~~~у/Л)+ — ", + —,~, !=-! !'=1 х= ~х!/п, у=у"' у//т. Так как прх+ таей=(у — х) Д вЂ” р) пт/(Ьп+ т)+ -(- (Дпх+ ту) (т$+ Лпр)/[А (Лп+ т)1, то совместную плотность можно представить в виде с,(О, т(!, !),)ехр(6(/+т)!Т!+/),Т!), где 6=(; — р)пт/[(Лп+т)ол],!(/=(/(х, у)=у — х, т( =(т~+Ьпр)/[ЬР(/хп+т)1 Т,=Т,(х, у)=йпх+ту, т( = — 1/(2о!), Т =Т,(х, у)=1 хт!+~~' уз/Л, Т=(Т!, '(Т~. у=-! "Плотность принадлежит трехпараметрическому экспоненциаль.
ному семейству. 1) Критическая область имеет вид (1/ — Х> .'ъс,(Т(Х, У))). Так как л', л! Я (х! — х)л+ ) (у/' — у)!/6 =Т, — Т!/~Ь (Ьп+ т) — и/и(/л/(Ьп+ т)1 !-! / 1 .и при $=/! статистика (У вЂ” Х) у лл!/(/!л+ т) [~ (Х! — Х)!+ ~) (У/ — 7)!/Л ~ /' (л+ т — 2) ! ! /=! не зависит от Т(Х, У) и имеет /-распределение Стьюдента /л.!- -ь то критическую область можно представить в виде (/~ з). Мощность равна Э йл,(и, 6)//и, /! — л', !л+л-2 -где дл(и, 6) — плотность нецентрального /-распределения Стьюдента /л(6) с параметром нецентральности ' 6=(Ь вЂ” р) [Гти/[(Лп+ т) о'[.
.132 2) См. указания к 1). Критическая область имеет вид ((/) ~ 2! )2, „+ 2). мощность равна ! ! — а!2, л+т-г 1 — ~ д „,,(и, б)2(и. га!2, л+а — 2 4.28. 1)' Использовать тот факт, что В! -2 о! при п, пг-~.аа, 2 Р ° 2 2=1, 2, (Х вЂ” У)/У о1~/и+огд/пг да(0, 1). 4.29.
Применить критерий из задачи 4.28,1). Для данной задачи величина У равна 4.15. Так как 4.15)2.576, то критерий уровня значимости 0.01 подтверждает гипотезу о систематическом расхождении результатов применения весового и фотоколориметрического методов. 4.30. Совместная плотность Х!, ..., Х,, У!, ..., У„имеет вид л а ю(р, $, о, т)ехр ~ — — ~х' — — ~уз+ — + — ! = чг, 1 ч") ~)2~ ~Ь ) 2аг ' 222 2.~ ' аг тг ) =с(р, $, о, т)ехр ~( — — + — ) ~~уг— !'=1 — — (~х,'+~уз/л)+ — '2, -)- ~ ~ ~, ! 1 где х=~Г х!/и, у =~ у)/т, плотность принадлежит экспонен- 2=! )=! Пиальному семейству с четырьмя параметрами, О= — 1/(2тг) + 1/(2бог), (/ =',), У/. 2)2= — 1/(2ог), 2)2=прог, 2)2=птах/тг, 2=1 Т,='~~ Х,'+Я У1//й, т, = Х, Т,=У, т=(т„т„7',), 2=1 )=! 1) Критическая область имеет вид ( У) ~с!(7)~, или (.— 1)~ (У! — 1) /и ! ~~ г!-а. л (л! — !) ~ (Х! — Х)2 1ЗЗ так как распределение левой части последнего неравенства пр» тг/о!=а не зависит от Т и имеет Р-распределенне Фишера е (пг — 1, п — 1) степенями свободы.
Мощность равна д,, „,(и)т(и, лг! а е ! л !(лю Д„! „, (и) — плотность Р-распределения Фишера с (лг — ', и — 1) степенями свободы. 2) Область принятия Н, имеет вид (л — 1) ~ (У/ — У)г/Л / ! сг( (см и (т — !) тР (Х! Х)' 1=! постоянные с! и сг определяются из условий , „!(и)т(и=1 — а, ч ий',, (и) ди =(1 — а) (а — 1)/(и+ пг — 4). в лсл!л, Мощность равна 1 — ~ д, „!(и)т(и.
л;(л, 4.31. См. указания к задаче 2.68, где дана совместная плот- ность величин (уп, ..., уи), полученных в результате ортого. нального преобразования величин (Хн, Хи), /=1, ..., 1. Ес- ли о!г=ог+/тг, огг=ог, то гипотеза Йл эквивалентна гипотезе о!г/огг(И+1 и задача сводится к варианту задачи 4.30 сразив.
ния дисперсий двух нормальных распределений Л'()гг'!', о!г) в Л'(О, ог') на основе выборок объемов Т и Т(/ — 1) соответствен- но. Критическая область имеет вид (Т(/ — 1)Щ(Ы+ 1) (/ — 1) се] ~~Р! а, ! !, 1!г т!Ь ! 1 где Я,=), (У!! — 'т',!)г=./~ (Хь — Х..)г, г-" ! 1=! 1 г ог ~~У Уг Уг~ 1~~ У(Х Х )г 1=1 т=! г=! / †-! Мощность равна !) й! — т, т!г — ц(и)т(и~ с Н/л + 1)/(/Лг+ 1)) Р! а, ! т, иг — !)> 134 вгг(и) — плотность г"-распределения с (й, 1) степенями свободы, о! — фиксированная альтернатива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
