Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть У! с,(Х, Л)=((Х вЂ” АР ((Х хЪ 'пр! „л,„!)„х(А А) 'Ц(п — й), ),~й", $ — м,н.к.-оценка для (1. Показать, что Р()Р(~К вЂ” Д)(~У! (Х, /!) для всех /!~/!ь)=1- — а, т. е. (/!т(1+-(/! (Х, 1!) для всех /!~)сь) представляют с о. вместные (1 — а)-доверительные интервалы для всех линейный функций /,тр. 539. Пусть Х!=а(д,— у)+6+э!, !=1,...,п, Х=~!" Х!/и ! ! у!,...,у„— заданные числа, среди которых имеется хотя би х два различных, у = ~~' у!/п, (е!) независимы и имеют общ $=! нормальное распределение Л'(О, о~), параметры о>0, а и л неизвестны, Пусть с и // — заданные числа, о,=(у! — у) ~ (у! $=! — у)', !=1, ..., п.
Используя результат задачи 4.35, пока зать, что р.н.т. несмещенный (1 — а)-доверительный интервал для р=ас+Ьу( имеет вид л /у~ и / л 1 л ,т„х,-уухлй .„,„,!У тух,— х! — т х!л ' т1~ х 1=1 1 1 1=1 1 1 л х ~/у сх ~ о!2-(-сР/и (п — 2). у=1 540. Пусть Хуь а(уз — У)+Ь+еь 1=1,...,п, уь...,у„— заданные числа, среди которых имеется хотя бы два различных, л у=~~ УУп, (еу) независимы и имеют общее нормальное рас- ! 1 пределение Л (О, о2), параметры о>0, а и Ь неизвестны. Обозначим 0 и Ь"м.н.к.-оценки для а и Ь соответственно, у-)/т!х,—,<у,— „! — Б!и,— уу.
1=1 Используя результат задачи 5.38 и полагая Ух — У А!их2! ., (1 ( 1 Ь)Т и (У У 1)Т Ул — У показать, что у[!2ь=у„.у .Л-уу-у!~ху/[!у-;у(2!у у/~-уи)х 1 1-1 Х ~2Р1 лл,л 2 Для всех У~Я =1 — ух. 1 Область в плоскости ХОУ, ограниченная графиками функций / л 2!у:уу.у у и Я )/ [!у — у! ~ т !у, — уу'у 1у ~ уу 1 1 служит для линейной функции х=а(у — У) +Ь (! — а)-доверя тельным множеством. 5.41. По данным независимых равноточных измерений (Х„; ту), 1=1,...,п, значений некоторой линейной функции х= =5!+52т построить 0.95-доверительный интервал для 'интеграла от этой функции на отрезке — 2(т<2.
Погрешности измерений подчиняются нормальному распределению Л'(О, а'), а> 1О1 >О неизвестно. Вычисления производить на основе следующих данных: (2.96,— 2), (3.2,— 1), (3.41,0), (3.63, 1), (3.79,2), 5.42. Значения координат а(1) движущейся равномерно и прямолинейно точки в моменты 1=1, 2, 3, 4, 5 оказались соответственно равны 12.98, 13.05, 13.32, 14.22, 13.97. Погрешности измерений подчиняются нормальному распределению Л'(О, оз), о>0 неизвестно. Построить 0.95-доверительный эллипс для точки (а(0), и), где о †скорос точки.
Интервал предсказания 5.43. Пусть Х1,...,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'()1, о'), оба параметра )! и а' неизвест- .р р ны. Обозначим Х = ~ Х;(и, У=~!~ (Х; — Х)з((п — 1), Показать, ! ! 1=! что с вероятностью 1 — а результат следующего (п+1)-го наблюдения лежит в интервале (Х вЂ” т! и р !Б)((в+1)(п, Х+(! „(1,р 153/(я+1)/п). 5.44. В результате пяти независимых взвешиваний одного и того же тела получены следующие результаты (в граммах): 4.12, 3.92, 4.55, 4.04, 4.35. Предполагая, что эти результаты равноточны и представляют собой реализации независимых одинаково нормально распределенных величин, указать границы, содержащие с вероятностью 0.95 результат предстоящего шестого взвешивания, которое будет осуществлено в тех же условиях.
5.45. Показать, что для линейной модели Х,=а(у! — У) + +Ь+е1, 1=1,...,п, где у1,...,у„ — заданные числа, среди которых имеется хотя бы два различных, у = 2 у1/а, (е1) неза- 1=1 висимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, о'), параметры о>0, а и Ь неизвестны, интервал, с вероятностью 1 — а содержащий (и+1)-е наблюдение Х„+1, которое должно быть произведено в точке у ы, имеет вид (у+ — у)' + ( +1) и + Ь (ур+1 У) ~ 11-а11.р-зЗ р (у -у)' ! =.! Здесь й и б означают м.н.к.-оценки для а и Ь соответственно, построенные по наблюдениям Х1,...,Х„, р 5' = ~ [Х! — а(у! — У) — Ь)'/(и — 2), 1 1 102 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ ГЛАВА ! 1.1. Использовать представление $У2Х„' — У2п =2(Х„' — и)/[)/2п (~ )(„'/и + 1)], х!ентральную предельную теорему для величины (1( — и)/)/2и, 2 2 соотношение уп/п-«1 при п-«оо и следствие теоремы 1.1.
1.3. Используя формулы (1.3) и (1.4), вычислить и сравнить коэффициенты асимметрии У, и о' . 1.4. Л„=д((Х вЂ” и)/)'2и, и ы ). Воспользоваться представлением (1.8) и показать, что д(х, п — оа)л х — — (хз — 1)+0(и '). 3 ~у'л 1.5. („=Х/~ уз/п, Х-,Аи(О, 1). При п-«оо 72/п-«1. Используя следствие теоремы 1.1, получим 1,-«Х. 1.6. Пусть У„=1„(1 — — /! (1 — 1„/(2п)). Так как при каждом 4л приксированном 1 и достаточно больших п 2л 1 + Р/(2п) 2п 4п' то при п- оо ЕУ'„— ЕУ'„=0(и — '), ЕУ„' — ЕЕ„=О(п — '). Так как коэффициент эксцесса у (Лп)=0(и — э), то у,(У„)= 0(и-з), в то время как у,(1„)=0(п — ').
и и ~ (х,— х)' ~ (х,— и)* 1.7. Х вЂ” р О. л — ! л — ! л — ! Применить закон больших чисел к последовательности ((Х, — р)'). 2 2 1.8. Использовать тот факт„что при п;-«со 5; — о;, 1=1, ... ..., Й. Применить центральную предельную теорему и теорему 1.1. 1.9. Использовать представление Х=р+аУ/ ~и, У Ап(О, 1), и соотношения 3-«а, .в" !)l2 (и†1) (о/5 в 1)) -« .4о(О, 1) при п- оо. !03 1,10. п(Хо> — а)/Ь вЂ” Г(1, !), У„=п(Х вЂ” Хп>)/Ь-Г(1, п — 1) г (см.
задачу 2.24, гл. 2), Т- у при п- оо. Применить центральную предельную теорему к величине 11'„— (и — 1)1/ ~ п — 1 и теорему 1.1. ' 'Р 1.11. у /п- 1 при и-~- оо. Использовать следствие теоремы 1.1. 1.12. Р(р(х)=Р(>(з/п(х>(з/т)=Р(~ 2уз/и — )/х ~ 2>1з/т(0~. Так как прн п, т-э сои 2>1з — М (у' 2п, 1), Р' 2>(з — Вз ()/2т, 1).
' то ~/2Хз/п — 3/х $' 2>(з/т —.4>з (У2 (1 — )/х ), 1/и + х/т). Поэтому при п, т- оо РО'(*> Ф>> з >у* — 1>> т>зхж >. 1 ° 13. Р (р (х)=Р ((>(з/и)>/з — х>зз (>1з/т)>/з (9) При п т >. оо (>1зз/и)>гз — Ф (1 — 2/(9п), 2/(9и)), (Хз„/т)»з — Гз (1 — 2/(9т), 2/(9т)).
Тогда (>1з/и)»з х>~з(уз/т)»з —.,Гз(1 2/(9п) — х>гз(1 — 2/(9т)) 2/(9п) + 2хз/з/(9т)). Поэтому при п, т- оо 1.14. Использовать формулу (1.8) и свойство симметрив распределения (/( — УЗ, Ф 3 ). 1.15. Использовать представление ут у +уз Р соотношения у /и-~О, у„/п- 1 при и-~оо н следствие к теоре- ме 1.1. 1.16. Использовать представления Р(Х,')т)=1~(т, и — т+1), Р(У>п)=1> е(и, т), 1> з(п, т)=1 — 1з(т, и), 1„(т, и) — функция бета-распределения р(т, п). 1.17.
Возможны несколько способов решения. 1) Воспользо- ваться соотношениемр (')1п (Хв> — р)(х)=Р(Х„)й), где Л„- — Ь(п, р+х/ п ), и применить к Л„центральную предельную теорему, 2) Так как Хм>-~(/з, и — й+1), то Хы>=у,/(у,+уз), где у> и уз независимы, у>-Г(1, й), уз-Г(1, п — /з+1). Введем 104 р(=Р Ре=« — Р, п(=Й, /тз=л — /т+1. По центральной предельной' теореме у;=/т(+~й( У„,(, У„( -+.
У; —.Ф(0, 1), /=1, 2, Тогда ((-';(;., т( в(( (. (( Хно а .( ( (. (' , м~, ( ( (- ( ( .( у, г~, ( ( -(- ( ) Воспользуемся теоремой 1.3. Здесь й(и„и,)=и,/(и,+и,), Ь =(р„ Р)г, и=')/и+1, д'(Ь)=(р„— р,)т, Е„,( = у„яр(/(и+!) -1- р„ Я,="«/рт У„(=1, 2. Тогда Я «/л-«-1 (Хпо — рт)~-Р.Ъ рт У.— Р. Ур. Уе -Ур,ре У, У-./п(0, 1). 3). Выписать плотность распределения /Р(х) величины )/ л (Х<м— — р)/У р(1 — р) и доказать непосредственно предельным переходом,. что при л-(-оо /о ~ (х) -(- (2п)-н' ехр ( — х'/2) (см. [16)).
1.18. Возможны несколько способов решения. 1) Воспользоваться соотношением Р [У и (Хпо — ь)(х) =Р(Л„)/т), где ˄— -Ь(л Р(ь+х/Ул )), и применить к Х, центральную предельную теорему. 2) Величина Р(Х<ю) имеет распределение /т-й порядковой статистики в вариационном ряду, построенном по п независимым величинам, имеющим общее равномерное распределение (/(О, 1). Используя результат задачи 1.17, получим Х(м=~ (Р+ [тгре(1 — Ро)/лУп)( .~(Уи)-+'аэ(0 1) Далее применить теорему 1.2 и соотношение И' — '(х)/Нх= =1//(г=((х) ). 3) Выписать плотность распределения д~ '(х) величины г'л, (Хыи — ь)1(ь)/Ур(! — Р) и доказать непосредственно предельным переходом, что при п-(-оо й~~'(х) — «(2п) на ехр( — х'/2).
1.19. 1) Применить теорему ! 1. 2) Коэффициенты асимметрии у, (У„) =0(п-ап), у((5,) =0(п-(и) при л-э оо. См. задачу 1.3. 1.21. /4(Х) — /т(р)=Ь («4)(Х вЂ” р)+/т (р )(Х вЂ” Р) /2, [«4 — «4[< г ~(1Х вЂ” р [-» О. Отсюда р" -(. «4, .У !):и (Х вЂ” «4)) -+ .Ф' (О, и ). 1.22. Найти предел характеристической функции величины [Х вЂ” (й+«()]/У2(/т+2!() при Х-(-оо. 1.24. Используя тот факт, что прн п-~ оо 1т/ — Г ~ — )~ 12~2) /и+! т Г~ — ~ — 1+ —, получим, что прн и- оо коэффициент асим- 2,( 4п ' метрии у((Х()=0(п-'), но у((Хе)=0(л-е). 'См. задачи 1.6 и 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
