Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 14
Текст из файла (страница 14)
несмещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Нз: Р~=рз пРотив альтеРнативы Н~. 1) Р~<Рз, 2) Р~>Рз; 3) Р~»ьРъ 454. Рассматривается случайная выборка объема з из совокупности элементов, каждый из которых обладает или не обладает одним нз двух признаков А и В. Результаты наблюдений представлены в таблице сопряженности признаков 2Х2, в клетках которой указано количество элементов выборки всех четырех категорий.
против альтернативы Н,: 5~1 построить р.н.м, несмешенный критерий уровня а. 4.55. Согласуются лн следующие данные, представленные в таблице сопряженности признаков 2Х2, относительно числа общительных (В) и необщительных (В) солдат, призванных из городов А и сельской местности (Х), с предположением о том, что горожане более общительны, чем сельские жители? Уровень значимости а=0.01. 4.55. В таблице приведена классификация данных о приеме на один из факультетов университета по двум признакам: полу абитуриента и «зачислен — не зачислен». принято пе пропета 31 5 19 6 12 О мужчины жеманны 36 24 12 тз С уровнем значимости 0.05 проверить гипотезу независимости признаков.
4.57. В последовательности независимых испытаний результатом каждого испытания является один из трех взаимно исключающих друг друга исходов А, В и С с вероятностями р,ь рн, рс соответственно наступления данных исходов в каждом испытании, рп+рн+рс=1. В результате п независимых испытаний исход А наблюдался Х раз, исход  — У раз, исход С— Х раз, Х+У+Я=п. Для проверки гипотезы Но:рн=рн против альтернативы Н1 ..р„~рз построить р.н.м.
несмещенный критерий уровня а. 4.58. Чтобы определить, какой из двух товаров предпочитает потребитель, были опрошены 29 покупателей. В результате опроса выяснилось, что 13 покупателей предпочитают товар А, 7 покупателей предпочитают товар В, остальные 9 п окупателей воздержалясь от ответа. Проверить гипотезу об отсутствии разницы в спросе товаров А и В. Уровень значимостии а 0.05.
4,59. Показать, что любой р.н.м. иесмещенный критерий сро является допустимым, т. е. не существует другого критерия ср, который был бы не менее мощен, чем сро, при всех альтернативах и более мощен хотя бы при одной нз альтернатив, ф 3. КРИТЕРИИ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ 4.60. При чтении шкалы некоторого прибора, где последняя цифра оценивается на глаз, наблюдатель часто предпочитает одни цифры другим.
В следующей таблице даны частоты появления каждой цифры в последнем разряде для 200 выбранных случайным образом чтений шкалы, сделанных некоторым наблюдателем. Цифра Частота 35 16 15 17 19 16 Таблица показывает, что цифры 0 и 8 появляются несколько чаще, чем другие цифры. Не делает лн наблюдатель систематической ошибки? 4.61. Электронный генератор случайных чисел выдает независимые значения величины Х, принимающей целочисленные значения от 0 до 99. Наблюдаемые частоты попадания в отрезки [О, 191, [20, 391, [40, 59], [60, 791, [80, 991 оказались соответственно равнымя 9, 6, 12, 13 и 6.
Применить критерий Ка Пирсона для проверки гипотезы Н;. Р(Х=Й1=0.01, А=О, 1,...,99. Уровень значимости а=0.01. 4.62. Для проверки подлинности рукописей писем К. К. Снодграоса, приписываемых М. Твену, Ч. С. Гринегар произвел подсчет числа слов длиной в 5=1, 2,..., 12 букв в произведениях М. Твена и в письмах К. К. Снодграсса. Выяснилось, что слова из 2, 3 и 4 букв встречаются в произведениях М. Твена с частотами (вероятностями), приведенными в следующей таблице: остальные 0.232 0.400 0,191 О.!77 В 13175 словах рукописей писем К. К. Снодграсса слова той же длины встречаются со следующими частотамн: остальные 2752 2302 79 С помощью критерия 71' Пирсона проверить гипотезу о том„ что письма К.
К. Снодграсса представляют собой случайную выборку из произведений М. Твена. 4.63. Результаты подсчета частот появления цифр О, 1,...,9 в 10 002 знаках десятичной записи числа и — 3 приведены в таблице: з ~ !о !! !2 45 27 ) 10 4 2 273 130 408 532 383 525 57 203 Вторая строка таблицы указывает число ч! периодов,с ! а-частицами. Согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о пуассоновском распределении числа а-частиц? С помощью критерия 71! Пирсона проверить гипотезу о равно- вероятности появления в данной записи каждой из цифр О, 1, ..., 9.
4,64. При скрещивании двух типов кукурузы во втором поколении обнаружено четыре различных типа растений. Простая менделевская модель предсказывает появление четырех типов с вероятностями 9/16, 3/16, 3/16, и 1/16. В результате наблюдений над 1301 растением получены частоты т!=773, тз=231, та=238, т4=59. При каком уровне значимости а критерий 3з Пирсона подтверждает менделевскую модель? 4.65.
При 8000 испытаний события А, В и С, составляющие полную группу, осуществились 2014, 5012 и 974 раз соответственно. С помощью критерия 71з Пирсона уровня а=0.05 проверить гипотезу Н,: р„=0.5 — 2а, рэ=0.5+а, рс=а, 0<а<0.25. 4.66. Среди 2020 семей, имеющих двух детей, было зарегистрировано 527 семей, в которых оба ребенка — мальчики, и 476 семей, где оба ребенка девочки, в остальных 1017 семьях дети разного пола. Можно ли с уровнем значимости 0,05 считать, что количество мальчиков в семье с двумя детьми — бииомиальная случайная величина? 4.67.
Пять независимых одинаково распределенных случайных величин приняли значения 47, 46, 49, 53 и 50. Можно ли с уровнем значимости О.! считать распределение вероятностей пуассоновским? 4.68. Согласно наблюдениям Резерфорда и Гейгера, следующая таблица дает число излучаемых а-частиц в течение 2608 периодов по 7.5 с каждый: Меньше простудных забзлеваний Больше простудных заболеваний Без изменений Сумма Контрольная группа Группа, прнннмавшая витамин 21 39 40 100 51 20 29 Сумма 90 41 69 С помощью критерия 11й Пирсона уровня значимости а=0.05 проверить гипотезу о независимости простудных заболеваний от приема витамина.
4.71. Следующая таблица дает классификацию 6805 эбонитовых изделий по двум признакам (порнстость и размеры): Непористые Сумиа Пористые 473 6332 С дефектами в размерах Без дефектов в размерах 142 1233 33! 5099 6805 1375 Сумма 5430 Проверить, согласуются ли данные таблицы с гипотезой о независимости обоих признаков. Использовать критерий Пирсона уровня а=0.05. 4.72. В первом потоке из 300 экзаменующихся оценку «2» получили 33 человека, «3» — 43 человека, «4» — 80 человек, «5» — 144 человека. Во втором потоке другие 300 экзаменующихся имели следующие результаты: «2» — 39, «3» — 35, «4»вЂ” 72, «5» — 154. Можно ли с уровнем значимости 0,05 считать оба потока однородными? 81 4.69. Среди 300 человек, поступивших в институт, 97 имели оценку «5» в школе и 48 получили «5» на вступительных экзаменах по тому же предмету, причем лишь 18 человек имели«5» и в школе, и на экзаменах.
С уровнем значимости 0.1 проверить гипотезу о независимости оценок «5» в школе и на экзаменах. 4.70. Для анализа влияния витамина на профилактику простудных заболеваний 200 человек случайным образом были разделены на две равные группы. Одной группе дали витамин, другой — «пустышку», но всем пациентам было сказано, что им дали витамин. Результаты обследования приведены в следующей таблице: 4.73. Десяти выборкам мышей, по пять мышей в каждой выборке, из одной и той же лаборатории произведена инъекция одинаковых доз тифозных бактерий.
Число погибших мышей Ф; в каждой выборке приведено в таблице. ы 4 2 1 5 'С помощью критерия Хз Пирсона проверить гипотезу однород:ности подопытных животных по отклику на болезнь. 4.74. Для проверки гипотезы нормальности в случае неизвестных значений параметров распределения применить: 1) критерий Х' Пирсона, используя табл, 6 приложения; 2) кри.терий ыз, используя табл. 7 приложения; 3) критерии; основанные на выборочных коэффициентах асимметрии и эксцесса, используя табл. 8 приложения.
Данные приведены ниже 1 3.227 1.263 2.678 2.123 2.575 2.639 2.633 1.544 2.208 1.737 1.716 1.308 1.436 2.303 1.191 1.399 2.358 2.388 1.971 2.391 2.557 1.683 2.105 2.006 1.?85 2.192 2.618 2.296 1.843 1.919 1.539 2.365 1.988 2.460 1.183 1.734 1.574 1.541 1.144 1.030 2.023 1.713 1.458 2.003 1.873 1.520 1.929 2.060 2.189 1.856 П '25.216 3.537 14.556 8.360 13.137 14.006 13.915 4.685 9.097 5.683 5.562 3.698 4.205 10.004 3.290 4.051 10.575 10.897 7.181 10.924 12.897 5.381 8.207 7.433 5.959 8.957 13.715 9.939 6.318 6.814 4.662 10.649 7.304 11,710 3.265 5.666 4.828 4.669 3.140 2.802 7.561 5.545 4.299 7.415 6.507 4.574 6.882 7.849 8.926 6.398 1П 2.118 2.004 1.372 2.573 1.272 1.620 2.090 1.551 3.324 1.702 2.130 2.149 3.379 0.242 2,204 1.602 2.075 2.079 1.738 1.981 0.527 1.759 1.700 0.908 2.175 1.528 2.154 2.074 2.254 2.313 2.133 2.660 2.154 2.531 1.294 2.777 2.417 1.970 1.671 1.935 2.165 0.865 0.884 1.624 1.774 1.704 0.910 1.961 2.040 2.230 $4.
КРИТЕРИИ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ. СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И ЛОКАЛЬНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ 4.75. Пусть задана полиномиальная схема с й исходами Аь..., А„и наблюдаемым вектором частот ч= (чь..., ть) т, т,=п. Обозначим Р)АД=рь 0<р;<1, 1=1,...,й,,)~ р;=1, 4 ! 2) в условиях Но 2'( — 21п Х„, (Х, У, Оо))-«Х!о при и, и — «оо. 4.81. Обобщить результат задачи 4.80 на случай й бинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
