Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть Х,, ..., Х„, У„..., У независимы, Х,— Фз(р„ — оо< р„р,< со, о) О. Показать, что о. м. п. для 0 равна с И\ 0=(Х, У, о'), оз=Д,'(Х! — Х)'+~~~ (У! — У)'~/(и+!и). 1=! у=! 3.37. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее равно- мерное распределение (/(8, 20), 6>0. Для параметра О найти о.м.п. и н.о.р.м.д. в классе несмещенных оценок вида Т(Х)= =а ппп Х!+Ь !пах Х!. Сравнить их с.к.о. !<[<л !<!Ф~ 3.38.
Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее показа- тельное распределение Р(0, 8), 8>0. Используя результат за- дачи 1.18, показать, что если рог/(и+1) и прн Й, и-э-со р- рм 0<р,<1, то х,„, 1 т ер, х,„, 1 т ер, Показать, что: 1) минимум асимптотической дисперсии Озрс/[(1 — рс)1пз(1 — рс)1 достигается !при ус=0,796В 2) асимптотическая эффективность оценки 0=0 627Х114,и1! равна 0.648. 3.39. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общую плотность распределения /(у; 0)=ехр( — (у — О) — ехр [ — (у — 0)[)1 — оо < у < со, — со < 0 ( со.
Найти о.м.п. для 8. 3.40. Продолжение. Используя результат задачи 1.18, пока-' зать, что если р=й/(и+1) и при й, и- со р!-ро, 0<рс<1, то 'р'и [Хй!+1п 1п — — О) ~-!- У'(1 — р,)/р,!п — У, У вЂ” Ф(0, 1). р / Ро Показать, что: 1) минимум асимптотической дисперсии ;[(1 — Рс)/Р,]1п' — достигается при рс=0.2033; 2) асимптотиче- 1 рю ская эффективность оценки О=Хи„м1!+0.466 равна 0.648. 3.41. Пусть Х!,..., Х„независимы и имеют общую плотность распределения /(у, О) 0-' ехр ( — у/6 — ехр ( — у/8)), 1у~ <со, 6>0.
Используя результат задачи 1.18, показать, что если р=й/(и+ + 1) и при й, и-эоо р-з.рс, 0<ро<1, то .50 1а !з / ! Ро !а~Ро !п~ (!и (!/Ро)1 Р Показать, что: 1) минимум асимптотической дисперсии О'(1— — рэ) /1ро!п' ро1пэ(1п(1/ро) ) ] достигается при ро=0 8879; 2) аснмптотическая эффективность оценки 8=0.47Х<!о.вэ в равна 0.508. 3.42. Пусть вектор 2=(У!,..., Уд) имеет полиномнальное распределение Ь(п, О,, Оь), 6=(О„...,Оь), 0<8!<1, !=1,... ,й, ~7~8!=1.
Найти о.м.п. О для О и вычислить ковариацион$сы ную матрицу Ю. 3.43. Генеральная совокупность состоит из неизвестного числа элементов, занумерованных индексами от 1 до У. В результате случайного выбора с возвращением и элементов наблюдаемыми индексами оказались Х!,,Х„. Найти о.м.п. и о.м.м для У. 3.44.
Пусть Х!,...,Х„независимы и одинаково распределены, Р(Хт=/!)=О '(1 — О), /!=1, ..., г, Р(Хт=г+1)=1 — Р(Х <г)=О', 0<8<1, М вЂ” число индексов !, для которых Х!=г+ 1. Показать, что о.м.п. для О равна 8=(Х вЂ” 1)/(Х вЂ” М/п). 3.46. Пусть Х имеет биномиальное распределение Ь(п, р), 0<р<1, р известно. Показать, что о.мль для неизвестного числа наблюдений и равна ] 1Х/р], если Х/р не является целым числом, ] Х/р — 1 или в Х/р противном случае. Здесь 1а] — целая часть числа а. 3.46. Пусть Х имеет гипергеометрическое распределение- Н!/(Р, У, п). Доказать, что о.м.п. для .0 при заданных У и и равна 11Х(У+1)/и], если Х(У+1)/и не является целым числом, /7= ~ ~ Х(У+1)/и или Х(У+1)/а — 1 в противном случае.
Здесь (а] — целая часть числа а. 3.47. Рассматривается гауссовский процесс авторегрессиж первого порядка Х!ь!=рХ!+еьь!, 1=0, 1,...,а — 1, (р] <1, е!,... ,з„независимы н имеют нормальное распределение Л'(О. о'), о>0, Хз — постоянная. Найти о.м.п. 8 для 8=(р, о') и доказать ее состоятельность. $1 ЗАО. Пусть Т(Х) — достаточная статистика для О, 0(Х)— единственная о.м.п. для О. Показать, что 0(Х) зависит от Х только через Т(Х).
3.49. Пусть Хь..., Х„независимы и имеют общую плотность распределения ! (х; О) =ехр(ОТ(х) +а(0) + 3 (х)», хенА, Оенб!~о! л Показать, что,) Т(Х!)/и является о.м.п. для ЕТ(Х!)= — а'(О), 1=! 3.50. Пусть Х!,...,Х„, У,, У независимы, Х!-Л'(Л, 1), У,— Л (р,'1), 1=1,..., т, 0=(Л, р), — <Л, р< Используя результат задачи 3.7 и принцип инвариантности, найти о.м.п. т для т(О) =Ф((Л вЂ” р)/12). Используя результат задачи 2.53, показать, что при и, и-~ос 1 1 — !!2 ( — + — ) (т — т') -э О. Здесь т* — н.о.р.м.д. для т(0).
3.51. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее гамма- распределение Г(0, 1), 0>О. Обозначим Т!(Х) и Тз(Х) н.о.р.м.д. и о.м.п. соответственно для т(О, 1)=е — '!, 1)О фиксировано. Показать, что 1lп(Т!(Х) — Т,(Х))-!-О при п-~со. Глава 4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Пусть на измеримом пространстве (М, М) задано семейство вероятностных распределений У=(Р», Оябс1те) и выделены два подмножества 6р, 61с6, 6рП61=Я. Задача проверки гипотезы Нр.
Оенбр против альтернативы Н| . Осб, заключается в том, чтобы по наблюдению случайного элемента ХенЖ, подчиняющегося распределению Р„0~6р()6ь высказать утверждение, что Овдбр (принять Нр), либо утверждение, что Оен61 (отвергнуть Н,), Гипотеза Н, (соответственно альтернатива Н,) называется простой, если 6р (соответственно 61) состоит из одного элемента; в противном случае Н, (Н1) называется сложной.
Статистический критерий, т. е. правило принятия одного из двух вышеуказанных решений, определяется критической функцией ф(х), хенМ, О~ф(х) ~1, задающей вероятность, с которой при наблюдении Х=х отвергается гипотеза Нр, с дополнительной вероятностью 1 — ф(х) гипотеза Н, принимается. Такой критерий часто сокращенно называют критерием ф(х).
Если»р(х) принимает только значения 0 и 1, то множество 5=(х:ф(х)=1) называется критической областью. В этом случае Нр отвергается, если Хен5, и принимается; если ХенУ~5. Критерии такого вида называются нерандомизированными в отличие от рандомизированных критериев, в которых ф(х) принимает также промежуточные значения между 0 и 1. В прак. тических приложениях обычно используют нерандомизированные критерии.
Используя критерий »р(х), можно прийти либо к правильлому решению, либо совершить одну из двух ошибок: отвергнуть нулевую гипотезу Н„ когда она верна (ошибка первого рода); принять нулевую гипотезу, когда она неверна (ошибка второго рода). Введем функцию мощности р,(О) =Ерф(Х), Оен ен6. Тогда вероятность ошибки первого рода равна 0,(0) при Оен6р, вероятность ошибки второго рода равна 1 — 0»(0) при '0ен61, величину ьир Ц(0) называют размером критерия, 0,(0) ее» .при Оен6~ называется мощностью критерия.
Критерий ф(х) называется несмещенным, если ре(0)) знр ре(0) для всех 0 е 6,. еее» желательным свойством критерия, определяющим выбор критической функции ф, является малость вероятностей, с котоРым совершаются ошибки первого н второго рода. Так как нельзя одновременно минимизировать вероятности обеих ошибок, то обычно рассматривается постановка задачи, прн которой размер критерия ограничивается заданным уровнем значимости а>0. При этом ограничении отыскивается критерий с наибольшей мощностью. Для проверки гипотезы Нзлйенйэ против альтернативы Н,:Оый, критерий ф(х) называется равномерно наиболее мощным (р. н.
м,), если для всякого критерия ф(х) выполняются соотношения Ц(0)(ре(0) при О я!О„ (1 (0))Ц(0) при Оя 6,. Лемма Неймана — Пирсона. Пусть нулевая гипотеза Нэ н альтернатива Н, — простые гипотезы. Будем считать, что при заданных значениях Оа и 01 гипотезе Но.О=Оэ соответствует распределение Р,, а альтернативе Н1.'0=0, — распределение Р„ распределения Р, и Р, имеют плотности ро(х) и р,(х) соответственно по отношению к некоторой мере р. В терминах функции правдоподобия ро(х) =Т-(х, 0,), р,(х) =Т.(х, О,). Лемма.
1. Для любого а~(0, 1) существуют постоянные с„>0 и О~у„~! такие, что критерий 1 при р,(х);)с р,(х), ф,(х)= у„при р, (х)=с„ра (х), 0 при р,(х)(с,р,(х) имеет уровень значимости а=Еофо(Х). 2. Достаточность. Для проверки гипотезы Нд против альтернативы Н, критерий фэ(х) является наиболее мощным в классе критериев ф(х), для которых Еоф(Х) <а. 3, Необходимость. Если для проверки гипотезы Нэ против альтернативы Н, ф(х) является наиболее мощным критерие и уровня а и мощности, меньшей единицы, то ф(х)=фо(х) п. в. по мере р на множестве (х:р~ (х)Фс„рэ(х)). Семейства с монотонным отношением правдоподобия. Пусть на измеримом пространстве (Ф, .Ф) задано семейство вероятностных распределений У=(рм Оенйс:И'), Р, имеет.
плотность рв(х) относительно некоторой меры и, Т(х) — измеримая функция со значениями в )с'. Семейство У имеет монотонное отношение правдоподобия относительно Т(х), если для люб ык 0~(Оь 00 О~енй, существует функция дм а,(!), имеющая сл едующие свойства: 1) ае„а,(1) является монотонной функцией от 1; 2) р (хй (х)=а, а (Т(х)) Теорема 4.1. Пусть э.=(Р„О~6) является семейством с монотонным отношением правдоподобия. Если Ы„,аь(1) — возрастающая функция от Г, то для проверки гипотезы НзлО=Оэ против альтернативы Н,:0>Оэ для любого Оэ~б критерий 1, Т(х):- с„, — у„, Т(х)=с„, О, Т(х) с с„, (4.1) для которого постоянные с, и у„выбираются из условия Еэр„(Х)=а. является р.
н. м. критерием уровня а. Если лэ э (1) является убывающей функцией от 1, то в определений (4.1) р. н. м. критерия знаки неравенств меняются на противоположные. Замечание. Для проверки гипотезы Н,:0 ~0, против альтернативы Н,:0)Оэ критерий ~р0(х) является р. н. м. критерием в классе критериев В, для которых эзар Ц (0)=а, гэ,=(0: 0(00).
еее, Однопараметрические экспоненциальные семейства. Пусть распределение Р,, 0~6~Й', образует однопараметрическое экспоненциальное семейство, т. е. Р, имеет плотность 1.(х; О) ви- да С(х, О) =К(О) ехр (ОТ(х) )Ь(х) по отношению к некоторой мере а. Теорема 4.2. Для проверки гипотезы Нсл О=Оэ тернативы Н~. ОФОэ критерий против аль- 1, если Т(х)с.с, или Т(х)= с„ уо если Т(х)=со ю'=1, 2, О, если с,(Т(х)(с„ Фо (х) = для которого постоянные сь сь уь уэ находятся из уравнения Емрэ(х)=а, Еэ (Т(Х) р,(Х))=иЕэ,Т(Х), является р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
