Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 6
Текст из файла (страница 6)
о, если (у — 0,)16,) 1, 1 — — — [! — — ) (у — 8,)/О„если 0((у — 8,)/О,( 1, л п если у — 0,<0. Здесь О,= и!1п Хь О,= !пах Х,— пнп Х;. !<в<» !<с~» !~!«» 2.39. Пусть случайные величины Х„..., Х„независимы и имеют общее показательное распределение Р(8„0в), 0=(0„0,)„ » оо(6,( оо,О,)0; Т,(Х)= ппп Хв, Т,(Х) =TХ; — п пйп Хо ! ~(! <» !<с~(» в=! Х= (Х!,..., Х„).
Предположим, что: 1) существуют функции у(Т!(Х), Т,(Х)) и т(8!, Оз), для которых Ея(Т!(Х), Тз(Х))= » г(Оь Оз) для всех О; 2) т(8!„8в) дифференцируема по О!, 3) д(и, о) непрерывна по и и имеет преобразование Лапласа .У по о. Показать, что Я(д(и, о)о" ' з)=~с — '"у(и, о)о" — 'все= ! пзт (и, 1/в)— (» — 2) ! ~ дс (и, 1/в) ! ! ' а и н.о.р.м.д. у(Т!(Х), Т,(Х)) для т(Оь Оз) определяется как оригинал изображения Ы'(д'(и, о)о" в; з), взятый в точке и= =Т, (Х), о=Тв(Х), поделенный на Тз" '(Х).
2.40. Пусть величины Хс,...,Х„независимы и каждая имеет распределение Парето с функцией плотности — ( — ) при у)а, 0 при у с а, с!=(а, о), а, о>0. Найти н.о.р.м.д. для т!(О)=а"', ив<0, тз(О) =о, тз(О) =Р(Х,>у). 2.41. Продолжение.
Пусть величина о известна. Найти .н.о.р.м.д. для т(а) — а™, ив<по. 2.42. Пусть Х!,..., Х„независимы и имеют общую плотность распределения ) (у; 0)=ехр ( — (у — О) — ехр [ — (у — О)[), — оо < у ( оо, — оо < 0 < оо. Найти н.о.р.м.д.
для 1(у: 8). 2.43. Генеральная совокупность состоит из неизвестного числа элементов, занумерованных индексами от 1 до У. В результате случайного выбора с возвращением и элементов на- л звк. звз 33 блюдаемыми индексами оказались Хь...,Х„. Показать, что достаточной статистикой для У является гпах Х;. ь-=1~;« 2.44. В партии, состоящей из Ф изделий, число 0 дефектных изделий неизвестно.
Производится случайный выбор без возвращения и изделий. Пусть Х;=1, если 1-е изделие в выборке оказалось дефектным„ и Х,=О, если 1-е изделие оказалось годным, 1=1,..., и. Доказать, что ~ Х, является достаточ-- 3=1 ной статистикой для доли О=Р~И дефектных изделий в партии.: 2.45. Распределение дискретной случайной величины Х зависит от неизвестного параметра О, 0<0<1, Р(Х= — 1)=0,. Р(Х=Ь)=(1 — 0)зО", Й=О, 1,....
Показать, что: 1) Х вЂ” достаточная, но неполная статистика„2) Т (Х) =ЦХ=О) является н.о.р.м.д. для (1 — О)', 3) Т(Х)=1(Х= — 1)+сХ, с — произ.вольная постоянная, является несмещенной оценкой для О, но н.о.р.м.д. не существует. 2.40. Случайная величина Х имеет усеченное распределение. Пуассона Р(Х=й)=е-'ОьД(1 — е-')111, 1=1, 2,...,0)0.
Пока- . зать, что н.о.р.м.д. для т(О) =1 — е — ' является ) О, если Х нечетно, ~ 2, если Х четно. 2.47. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общую функцию плотности 1 й (0) Ь (д) при а < О < у < Ь, Т(р; 0)=1 [О в противном случае, а(«~о, чо)=Ц~Од~д~ '. — ~ <~ . ппп Х, является полной достаточной статистикой для О.
~~~~« 2.48. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общую функцию плотности / й (0) й (у) при а < у < 0 < Ь, '(о в противном случае, Ь(у)~0, й(0)=(~й(д)йу) ', — со<а<Ь<со. Показать, что « гпах Х~ является полной достаточной статистикой для О. ~ ~~(« 2.49. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общую плотность распределения 34 ~ Й(0))<(у) прн 01<у<0„ (О в противном случае, 6=(0„0,), — 8,<8,<, )<(у)) О, И8)=(~)»(у)»(у) в, показать, что двумерной достаточной статистикой для 8 яв- ляется ( ппп Х», щах Х»). ! <1<л 1<1<л 2.50.
Пусть Хь..., Х„независимы и имеют общую плот- ность распределения 1 )»(8)Ь(у) при а(0)(у(Ь(8), 1(у, 8)= [ 0 в противном случае, мв! В(у)) О, А(0)=( ~' )<(у)<(у) ', Х<п= ппп Хь Х<л<= »пах Х;. л<Е! 1<1<л 1<!<л Показать, что: 1) если а(6) монотонно возрастает по О, а .Ь(6) монотонно убывает по О, то достаточной статистикой для 0 является 0=пни (а — ' (Х<п), Ь вЂ” '(Х<„!) ), а-'(х) и Ь-' (х)— функции, обратные к а(6) и Ь(8) соответственно; 2) если а(6) монотонно убывает по 6, а Ь(0) монотонно возрастает по О, то достаточной статистикой для 0 является 8=я<ах (а-' (Х<п), Ь- (Х<„!) ).
2.51. Пусть Хь...,Х„, Уь...,у независимы, Х» имеет нормальное распределение Л'(р<, о!1), 1=1,..., и, У, имеет нор- мальное распределение Л'(р<ь о!в), 1=1,...,»п, — со<рь рв< <со, оь ов)0. Показать, что: 1) Т(Х, У)=(~' Хь ~) Уп ~Г' Х;, »==1 'Я У,') является полной достаточной статистикой для 8= 35 = (р<, р<ь о!', ое'); 2) если известно, что р<=р„ то Т(Х, У) является достаточной, но неполной статистикой для 0= (р, о<1, аее); 3) если известно, что о!в=нее, то Т(Х, У) является достаточной, но неполной статистикой для 8= (р<, рм ае), а статил л л <тика Т" (Х, У)=Д, Хь ') У, ' Х;+~ У;) — является до<=! 1=! 1=1 <=! статочной и полной. Здесь Х=(Х<,...,Х„), У=(У<,..., У ).
2.52. Пусть (Х„У,),...,(Хл, Ул) — независимые двумерные векторы, имеющие общее двумерное распределение .Фе(р„р„а< ое, р), — со <р„р,< ео, о„а,) О, — 1<р(1, 0=(р„р„ае л л л л л ам р). Показать, что (~~' Хо ~~ Уо ) Х», ~) У~», Я Х»У») являет!=1 1=1 1=! 1=! 1=! ся полной достаточной статистикой для О.
2.53. Пусть Хь...,Х„, У!,..., У независимы, Х, имеет нормальное распределение Л'()., 1), !=1,...,и, У; имеет нормаль ное распределение Л'(!!, 1), /=1,...,и, 6= (1, Р), — со </!, !!< л юп <оо, Х=~~ Х!/и, У=Я У//и. Показать, что н.о.р.м.д. для !=! !=! т(0)=Р(У!<Х!)=Ф(()! — !!)/)/2) является =Ф[(х — У)!У 2 — ( —, — )]. 2.54. Пусть Х!,...,Х„, У!,...,У независимы, Х! имеет гамма-распределение Г(Х, 1), !=1,...,п, У; имеет гамма-распределение Г(1!, 1), /=1,..., и, 0=()!, 1!), Л, !!>О.
Обозначим Т,= а Пй Хь Т,=~~ У;. Показать, что н.о.р.м.д. для т(8) = !=1 /=.! =Р(У!<Х!)=р/(1!+)!) является 1 — (и — 1) ~(1 — и) (1 — иХ) ди при Л(1, О ! ~ (и — 1) ) (1 — и) — '(1 — и/Х)" ' с(и при Л ) 1, о Здесь 2=Т,/Т,. 2 55. Пусть Х и У вЂ” независимые случайные векторы с функциями распределения г,(х) и 6,(у) соответственно, 0— общий неизвестный параметр, Т, (Х) и Тз(У) — соответствующие полные достаточные статистики.
Показать, что для класса функций распределения Н, (х, у) =Р, (х) О, (у) составная статистика Т(Х, У)=(Т!(Х), Тз(У)) достаточна, но необязательно полна. 2.56. Доказать, что статистика Т(Х) является достаточной " для параметра 0 тогда и только тогда, когда независимо от априорного распределения 0 апостериорное распределение зависит от наблюдения Х через Т(Х). 2.57. Пусть Т, (Х) и Т,(Х) — две н.о.р.м.д. для т(8). 0Т!(Х) <сю, 0Тз(Х) <<х. Показать, что Т! (Х).=Тз(Х), Рв-и.
в. 2.58. Рассматривается класс Л несмещенных оценок Т(Х) параметрической функции т(6), Г!,Т(Х) <со, и класс Лз статистик 5(Х), Р,5(Х) <со, для которых Е,5(Х) =О для всех Ое= ен6. Показать, что оценка Т(Х) яЛ является н.о.р.м.д. тогда и только тогда, когда соч(Т(Х), 5(Х))=О для всех 5(Х)~Аз и всех Оя8!. 2.59. Пусть Х(!) — пуассоновскнй процесс с интенсивностью 0)О (однородный процесс с независимыми приращениями, для которого Х(О) =О, Х(1) имеет распределение Пуассона П(0/) ), Х!=Х(Г!), !=1,, и,.— наблюдения Х(!) в заданных. 36 точках 1(</с«... 1„. Показать, что полной достаточной статистикой для О является Х„, н.о.р.м.д.
является Х„//„. 2.60. Пусть Х(1) — винеровский процесс с коэффициентом сноса а и коэффициентом диффузии о (однородный процесс с независимыми приращениями, для которого Х(0) =О, Х(1) имеет нормальное распределение Л'(а/, оз()), Х(=Х(1(), (=1, ,и,— наблюдения Х(1) в заданных точках 1(<1,«... 1„. л Показать, что: !) статистика (Х„, ~ (съХ!)'/гл/!) является пол! —.1 иой достаточной статистикой для 9=(а, оз).; 2) величины й. л Х //„и ил=~7 гл/((У! — а)з/(и — 1) являются н.о.р.м.д.
для (=-1 а и о' соответственно. Здесь А/(=1! — 1( (, ЛХ(=Х! — Х! (, У! л =АХ(/Аг(, (=1,..., и, /с=Хс=О. 2.61. В интервале времени (О, т) наблюдается последовательность событий в соответствии с неоднородным пуассоновским процессом с интенсивностью Х(1) =ре'(„0=(р, а), р>0, — со<а<со. События происходят в моменты времени /(<(з< «... 1„. Показать, что полной достаточной статистикой для 6 является (и,~ 1!). Если а=О, то полной достаточной стати(=! стикой является и.
$2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 2.62. Рассматривается линейная модель Х(лх(! А(лхл((1(ьх(! + Их(! А("х"! — известная матрица ранга й, р(лх(! —.вектор неизвестных коэффициентов, компоненты вектора ошибок е("х'! независимы н имеют общее нормальное распределение Л'(О, о'), 0= =(Р, ог), Р~/с", о>0. Показать, что: 1) вектор Т(Х)=(А"Х, ХтХ) является полной достаточной статистикой для О; 2) н.о.р.м.д, для 0 является О=(6, ог), р — м.н.к.-оценка 6, р= =(А'А)-'АТХ, о'=(Х вЂ” АВ)т(Х вЂ” А6)/(п — /(), р и оз независимы, и — Л л(р, оз(АтА) '), (и — й)ог/оз Х! д. 2.63. Пусть Х(,..., Х независимы, Х( имеет нормальное распределение Л (а(г; — г) + Ь, о'), ! = 1, ..., и, 6=(а, ((, о'), — со<а, б<сс, о>0, величины г„...,г„известны л и среди них имеются хотя бы две различные, г=~' г,/и.
Обо(=! значим 37 л о у Х,(г,— г)/~ (го — г)', Ь=~; Х1/п, 1 ! 1=1 1=-1 и а' = )Г' (Х1 — а (г1 — г) — Ь12/(п — 2). 1=1 Показать, что: 1) (7 Х1(г,— г), ~ Хо, ~~" Х1) является полной 1=1 1=-.! 1=! достаточной статистикой для 6; 2) 8=(а, 6, а') является н.о.р.м.д, для 6; 3) а -Ло(а, ао/) (г,— г)'), 6-Л'(Ь, а2/и), (ив 1=-1 — 2)о2/а2-112 2, а, 6 и а2 независимы, 2.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
