Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 2
Текст из файла (страница 2)
5. Нецентральное распределение хн-квадрат. Пусть Хь ...,Хг независимы, Х!-Л'(/г!,1), г=1,...,/г. Тогда Х=Я Х! имеет $=! нецентральное распределение хи-квадрат тгг(Л) с /г степенями свободы и параметром нецентральности Л = ~' рг Л ) О, Х вЂ” тг (Л). $=! Характеристическая функция Лгг(Л) имеет вид ъР(/)=Е ехр(ПХ) =(1 — 2гт) 'г ехр [гТЛ/(1 — 2г2)1. Заметим, что ~Я(0)=)(гг, 6. Показательное распределение. Случайная величина Х имеет показательное распределение Р(а, Ь), Х-Р (а, Ь), если Х имеет плотность распределения — ехр( — (х — а)/Ь), х) а, 1 /(х; а, Ь)= ь, О, х(а, — оо(а(оо, Ь- О.
Заметим, что Р(0, Ь)=Г(Ь ', 1). Если Х вЂ” Р(а, Ь), то У=(Х вЂ” а)/Ь вЂ” Р(0, 1). Если Х„..., Хь независимы, Х,— Р(0, 1), !'=1,..., /и то ~' Х,-Г(1, й). !=! 7. Р-распределение. Пусть тг и тг, независимы. Тогда распределение отношения Р пдг /(ттг) называется Р-распределением Фишера с (т, л) степенями сво- боды, Р-Р„, При этом ЕР=а/(л — 2), л)2, 11Р=2а'(т+и — 2)/(т(л — 2)'(л — 4)), а)4. 8. НецентРальное г-РаспРеделение. ПУсть )(з (Л) и 1('и независимы. Тогда отношение а)(' (Х)/(т1('и) имеет центральное Р-распределенне Фишера Р„,и(Х) с (т, п) степенями свободы и параметром нецентральности Х>0. Заметим, что Р,,(0) = =Р 9. 1-распределение Стьюдента. Пусть Х и 1(з, независимы, Х-Л'(О, 1). Тогда отношение Т=Х/)/фа имеет 1-распределение Стьюдента с л степенями свободы, Т-/,.
Прн этом ЕТ=О, ОТ=а/(и — 2), а) 2, Тзи 1 3... (2и — 1) и )22 (и — 2) (и — 4) ... (и — 22) ЕТ'~ '=О, Й=1, 2, .... 1О. Нецентральное 1-распределение Стьюдента. Пусть Х и 1(з, независимы, Х-Л'((4, 1). Тогда отношение Т=Х / )I )(„'/а имеет нецентральное 1-распределение Стьюдента с и степенями свободы и параметром нецентральности р, Т-1 (р).
Заметим, что ~1„(0) 1,. 11. Бета-распределение. Случайная величина Х имеет бета- распределение ()(г, з), Х-р(г, з), если Х имеет плотность распределения /(х; г, з)= х'-'(1 — х) -', 0(х(1, г, з)0. Г (г) Г (з) Пусть /,(г, з)=) /(х; г, з)4(х, 0(г(1. Тогда 1,(г, з)=1— б — /,,(з, г'). Пусть У и Я независимы, У-Г(1,г), Я-Г(1,з). Тогда у+2 -()(' з)' Если У вЂ” 1„, то У'/(Уз + и) — ~ (1/2, а/2). Если У вЂ” Р иь то У/(У + и/т) — () (т/2, и/2). Пусть Х вЂ” р(г, з). Тогда ЕХ=г/(г-(-з), РХ=гз/1(г+з)з(г+и+1)1, ЕХ = Г (г+ й) Г (г+ и)/(Г (г) Г (г+ з+ и) 1, /4 ) — г.
10 12. Равномерное распределение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение У(а, Ь), Х-У(а, Ь), если Х имеет плотность распределения 1 при а(х(Ь, /(х; а, Ь)= (ь — а) 0 при х)Ь или х(а, со<а<Ь<со. Если Х-(/(а, Ь), то (Х вЂ” а)/(Ь вЂ” а)-(/(0,1). Заметим, что 1/(О, 1) =р(1, 1). Пусть Х-1/(а, Ь), тогда ЕХ=(а+Ъ)/2, РХ=(Ь вЂ” а)»/12, Пусть Хь ..., Х„независимы и имеют общее равномерное распределение 1/(О, 1), Х!О~Х!»1~ ... ~Х!ю означает соответствующий вариационный ряд, тогда Й-я порядковая статистика Х!м имеет бета-распределение р (й, п — й+ 1).
13. Логнормальное распределение. Случайная величина Х имеет логнормальное распределение .У.Ф'(р, о'), Х вЂ”.У 4 (1», а'), если 1п Х вЂ” 4 (1», а»). Пусть Х вЂ” Я.!п(Р, а'). Тогда ЕХ= ехр (р+ о'/2), РХ = Р» (ехр (а') — 1). 14. Биномиальное распределение. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение Ь(п, р), Х-Ь(п, р), если Р(Х=И)=С„р»(1 — р)" ", Й=О, 1, ..., п, 0 ..р(1. Если Х вЂ” Ь(п, р), У вЂ” р(т, п — т+1, то Р(Х»т)=Р(У(р).
Пусть Х означает число «успехов» в п независимых испытаниях Бернулли с постоянной вероятностью р «успеха» в каждом испытании. Тогда Х-Ь(п, р). Если Х-Ь(п, р), то ЕХ=пр, РХ=пр(1 — р), характеристическая функция Х равна »Ь (1) = Е ехр (ИХ) = (реп+ (1 — р))". Пусть Хь ...,Х» независимы, Х!-Ь(пь р), 1=1, ..., й, тогда ) Х! — Ь(у пор), 15. Распределение Пуассона. Случайная величина Х имеет распределение Пуассона П(Л), Х-П(Л), если Р(Х=Ь)е е — "Л»/й1, Уг=О, 1, ..., Л)0. Если Х-П(Л), то ЕХ=РХ=Л, характеристическая функция »$!(/)=Еехр(ИХ) = ехр(Л(еп — 1)). Если Х-П(),), а У-Г(1, А), то Р(Х)й)=Р(К(Ц, 1=1, 2, Пусть Хь ...,Ха независимы, Х;-П(Х!), 1=1,...,й. Тогда » » 16. Отрицательное биномиальное распределение.
Случайная величина Х имеет отрицательное биномнальное распределение 6(п!, р), Х-6(ш, р), если Р(Х=А)=С~+» !р (1 — р)~, 1=0, 1, ..., О~~р(1, целое число !и) 1. Пусть Х означает число «неудач», предшествующих !и-му «успеху» в независимых испытаниях Бернулли с постоянной вероятностью р «успеха» в каждом испытании. Тогда Х-6(т, р). Пусть Х-6(т, р), тогда ЕХ=т(1 — р))р, 0Х=гп(1 — р))р-", характеристическая функция имеет вид !р(1)=Еехр(!ТХ) р Д1 — (1 — р)е") .
Если Х-6(т, р), У-6(й, гп), то Р(Х)й)=Р(У(1 — р). Если Х!, ..., Хь независимы, Х!-6(ть р), !=1, „.„й, то Х,— Ь(~, и!, и), Распределение 6 (1, р) называется геометрическим распределением б(р). 17. Гнпергеометрическое распределение. Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение НО(.0,У, и), Х-НО(0,У,п), если Р(Х=й) =С'С":"ЫС", А, О, У, и — натуральные числа, щах (О, и — (Н вЂ” Р))~й~ ~щ)п (п,.0), О~У, п~№ Пусть Х вЂ” число дефектных изделий в выборке объема и, извлеченной без возвращения из генеральной совокупности в У изделий, среди которых имеется О дефектных н У вЂ” 0 годных ,изделий.
Тогда Х-ЙО(К № п). Если Х-НО(0, У, п), то ЕХ=п01М, РХ=п0(И вЂ” Р)(М вЂ” п)Я!т~(Н вЂ” 1)1. 18. Полиномиальное распределение. Случайный вектор Х= = (Х„..., Х ) имеет полиномиальное распределение Ь (и, р„„, , Р„), Х-Ь(п, р», ..., р )„если й„..., й — любые целые неотрицательные числа, для которых '~~ л»=а, п — любое натуральное число, О~:р»<1, »=1,...,л», » ! га Я р;=1. 4 ! В последовательности независимых испытаний пусть р» означает вероятность наступления события А» в каждом испытании, причем А„..., А~ составляют полную группу событий, Х= = (Х,, ..., Х ), Х» равно числу наступлений события А; в п независимых испытаниях, »=1, ..., т, ~ Х,=п.
Тогда Х вЂ” Ь(а, »=1 Р! ° ° Рм). Если Х=(Х„..., Х ) — Ь(а, Р„..., Р ), то ЕХ» — — пр„РХ» — — пр,(1 — р»), сот(Х», Х»)= — пр,р;, (чь1, »(Х» ..' Х», и — ~ Х» ) Ь»1п Р» лР1 ~~~ Р» ) »=1 »=1 для любого набора (»», ... д)с=(1, ..., аф В частности, Х»- -Ь(п, р»), Глава 1 АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ИХ МОМЕНТОВ Основой большого числа аппроксимаций распределений служит следующий вариант центральной предельной теоремы. Пусть Хь...,Х, независимы и одинаково распределены, ЕХ1=)х„ п ОХ,=о', 0(о'( оо, 5„=) ' (Х,— )х))()Гп а).
Тогда при 1=1 и-»оа для функции распределения (ф. р.) нормированной суммы 5„справедливо предельное соотношение Р„(х)=Р (5„~ х) -» Ф(х) равномерно относительно х. Таким образом, при больших зна- чениях и справедлива аппроксимация (1. 1) . Р„ (х) = (1)(х). Для нахождения предельных распределений функций от случайных величин полезны следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть 1(х) — непрерывная функция. 1) Если при и Х„Х, то ('(Х ) ((2). 2) Если при п Х„-»Я, то ~(Я„)~~(Я). Следствие. Пусть при а-» со У„-»Х, У„-» с, с — постоянная. Тогда У„+ У„-» 2+ с, Х„У„-» сЯ. Теорема 1.2. Пусть (а,) — неограниченно возрастающая числовая последовательность, Ь вЂ” заданное число, а„(У„ — Ь) -» Х при п-»со, й'(х) — дифференцируемая функция, и'(Ь) непрерывна. Тогда а„(д(Х„) — д(Ь)) - д'(Ь) Х.
Теорема 1.3 (многомерное обобщение теоремы 1.2). Пусть (а,) — неограниченно возрастающая числовая последовательность, Ь=(Ьь ..., Ь,)' — заданный вектор, Х„=(Ххл, . - Хх,.)г. Х=(г„., г,)г, а„(г„— Ь)- г при и °, й(х)=я(хь...„ ..., х ) — дифференцируемая функция г переменных„д' (х) = =~ —, ..., — ), д'(Ь) непрерывна. Тогда при и-»со ! дд(х) дд(х) ~г дх1 ' дх ) 14 Для нахождения аппроксимаций моментов распределений полезны следующие формулы. Обозначим Ь~ ~ (г) производную Й-го порядка функции Ь(г), л Х =~~ Х;)п, Ф=Б(Х~ — р)~, та=Е(Х~ р)з Предположим, что ~Ьно(г)~(с, ЕХ~(со. Тогда при и-~- оо ЕЬ (Х)=Ь(р)+ — Ь" (р) о'+0(а — з), (1.2) И(Х) = — „' [Ь (р)[' '+ — ', ~Ь (р)Ь"(р),+ [Ью(р)[з з ( Ь~(„)~ (Р) а) 1 Д(п-з) Е[Ь (Х) — ЕЬ(Х)Г = 1, [Ь' [(р)1" т + (1,3) + з [Ь'(р)['Ь"(р)о'+0(п — ').
(1.4) Преобразования, стабилизирующие дисперсию. Пусть распределение величин Е„и=1, 2, ..., зависит от параметра О, (а,) — неограниченная числовая последовательность, не зависящая от О, при и сс а„(У„ — О)-~Л. Тогда по теореме 1.2. имеем а„[я(2„) — д(0)] -«д'(О) 2 для любой дифференцируемой функции п(х), для которой д'(8) непрерывна. Пусть 02=о'(8), тогда Р[йд(8)Я)=[О" (8)а(8)Р. Если подобрать такую функцию й'(х), что я'(0)а(0)=с, (1.5) 1ип зпр1Еехр(ИХх)~(1, 1Ч-юо для которого достаточна абсолютная непрерывность распреде- 15 л — постоянная, то асимптотическая дисперсия й(Я,) не будет зависеть от О. Преобразования д(Е ), для которых выполняются соотношения (1.5), называются преобразованиями, стабилизирующими дисперсию. Разложение Эджворта.
Для улучшения нормальной аппроксимации (1.1) предположим существование моментов рь=ЕХЛ З~Ь сг, и выполнение условия ленка величины Хь Тогда при и -оо имеет место разложение Эдж аорта 1 Р„(х) = Ф (х) + ~р (х) ~ Яд (х) и — ~1~+' + о (и — из+') (1. 6) 2 Яз(х)= — 'Н,(х), Н4(х)= — 'Н,(х) — 'Н4(х), б 24 72 Н„(х) = ( — 1) е"чз Уе — "и'(ох — многочлены Чебышева — Зрмита, Н,(х)=х' — 1, Н,(х)=х' — Зх, Н,(х)=х' — 10х'+1бх.
Обозначим у,(х)=Ф-'[Р,(хЦ, Ф-' — функция, обратная к Ф. Из разложения Эджворта (1.6) следует, что у„(х) = х+ ~ Р„(х) и — ьи+1+ о (й'74+1), Рь(х) — некоторые многочлены. В частности, т~(4х" — тх) т (хз Р (х)— Зб 24 т, (х~ — 1) Р,(х) =— б Пусть Т.=й($~ и-'). я(и, о) условие Для достаточно гладких функций д(х, и — ье)=х+~~~ Рь(х)йь~+ь1+о(и- 74+1) (1.8) аз с теми же многочленами Рь(х), что и в формуле (1.7), является необходимым и достаточным для того, чтобы ф.р. 6,(х) случайной величины Т„при и- со удовлетворяла соотнешению 6„(х) = Ф (х) + о (и — '~'+'). В дальнейшем соотношение Т„-Л'(р., о',) означает, что при и — +со у ~ 7л Н~ ~ 4е(О 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
