Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 10
Текст из файла (страница 10)
н. м. несмещенным критерием уровня а. Многопараметрические экспоненциальные семейства. Пусть для семейства распределений У=(Р,,„, Ояй, Пяй) параметрическое пространство является прямым произведением ЙЭЙ. Проверяется сложная гипотеза Нсл0=0м т1 — неизвестный мешающий параметр.
Критерий ~р(х) называется подобным критерием, если Е~р(Х) =а в условиях Н,. Если при гипотезе Н, существует достаточная статистика Т(х), то критерий 1р(х), имеющий условный уровень а, т. е. Еэ„ч [~р(Х)!Т(Х)=1)=а для почти всех 1, будет подобным критерием уровня а. Если Т(х) полна, то наиболее мощный критерий следует искать на основе условного распределения Х при условии Т(Х) =1, применяя лемму Неймана — Пирсона. Если этот критерий не зависит от конкретного вида альтернативы, то он будет р.
н. м. подобным критерием. Пусть для семейства распределений У=(Рва, 0 ен 0 ~ Я!, Ч ен й с:. Йь) Рз,„имеет плотность Е(х; О, т~)=р ч(х)=К(0, т))ехр(ОУ(х)+ Ь~тнТ,(х)~ 0(х) !=! по отношению к некоторой мере р, !1=(!1!, ..., Ч~), Т(х)= = (Т,(х), ..., Ть(х)).
Теорема 4.3. Для проверки гипотезы Н,:0=0, (или Нс.'0 ~ (Оо) против альтернативы Н!!0)Оз критерий 1, если и ) с„(1), гр (и 1) = уа (1)~ если и са (1)~ О, если и < с„(т), для которого функции с„(1) и т (1) удовлетворяют условию ~ч.,(0„!1)=а для почти всех 1, является р.н.м. несмещенным критерием уровня а. здесь 0,(0~1) означает условную мон!ность при условии Т=1, т. е. 0,(О!1) =Е.[р(и, Т)1Т=(), Критерий !рз(и, 1) построен на условном распределении 6(Х) при фиксированном значении Т(Х)=й Теорема 4.4.
Для проверки гипотезы Нз!0=0о против альтер- нативы Н!'.ОчьОз критерий 1, если и<с!(1) или и)с,(1), !р (и 1) — у!(!), если и=с,(1), !=1, 2, О, если с; (1) < и <с,(1), для которого функции с,(1), сз(1), т!(1) и уз(1) удовлетворяют соотношениям ~т, (0,(1)=а, ЕзДУ!р„(У, Т)(Т='!11=гхЕв(Н(Т=11 для почти всех 1, является р. н. м. несмещенным критерием уровня а. Инвариантные критерии. Один из подходов к построению критериев для проверки сложных гипотез основан на принципе инвариантности. Пусть на измеримом пространстве (Ф, .~Ф) задано семейство распределений т!=(Р„ Оенй). Проверяем ну- левую гипотезу Нел!Оентз, против альтернативы Н!:Ояй!, Из() ()!О!=Я, Из, И!сй.
Задача проверки гипотезы Н, является ин- вариантной относительно группы преобразований 6, действую- . щей на У, если для любых йен6 и Ая.4 имеем Рз(дХяА)=— =Ра (Х ей А) для некоторого яенб, 6 — группа преобразова- ний на 8 такая, что а6=6, Юа=Ио, яИ!=%! Критерий ч!(х) является инвариантным критерием, если !р(дх)=!р(х) для всех йен6, хензо. Статистика Т(х) называется максимальным инва- риантом, если Т(дх)=Т(х) для всех дя6, хяУ и из условия,' Т(х)=Т(ха) следует х!=пх для некоторого йен6. Нахождение оптимального критерия в классе инвариантных критериев ос- ав повано на использовании максимально инвариантной статистики, Соображения инвариантностн гарантируют независимость статистических выводов от принятой шкалы измерений.
Локально наиболее мощные (л. н. м.) критерии. Пусть проверяется простая гипотеза Нд.О=Од против альтернативы Н,:0=0~>Оо. Критерий ~р«(х) уровня а называется локально наиболее мощным (л. н. м), если для любого другого критерия Ч (х) уровня а существует б>0 такое, что для всех О, удовлетворяющих условию 0<0 — Ос<0, справедливо неравенство б„(0) > Р,(0). Для проверки простой гипотезы Н,:0=0, против альтернативы Н,:О=О,ФОа критерий юру(х) уровня а называется л.н.м.
несмещенным, если он является несмещенным и для любого другого несмещенного критерия ~р(х) уровня а существует б>0 такое, что для всех 8, удовлетворяющих условию 8< ! Π— Оа ~ < б, справедливо неравенство ()ч, (О) > ()ч (О). Состоятельныв критерии. Пусть имеется последовательность статистических моделей (Ф«, Ф„У'«), 3~„=(Р«,«. 0~6) с общим параметрическим пространством 6, для которых рассматриваются задачи проверки гипотезы На'.Оен6«против альтернативы Н~.Оя6ь 6а()6~=0, 6м 6~с6, по наблюдению Х енУ.
Например, если производятся независимые одинаково распределенные наблюдения Хь Хв ., Х«с распределением Р«каждое, то Ф«=й', Х«=(Хь ..., Х,), Р«,е=Рах... хРе(п раз). Последовательность критериев (~р ) уровня а>0 называется состоятельной, если их мощность ~«,ч(0)=Е„а<р„(Х„) удовлетворяет условию для любого 0~6ь Критерий отношения правдоподобия (к. о. п.).
Для семей- ства распределений 0«=(Р„Оев6с:)т'), для которого Р, имеет плотность р,(х) относительно некоторой меры р, критерий от- ношения правдоподбия (к. о. п.) для проверки гипотезы Н«.'Ос=6«имеет критическую область Я=(х:Л(х, 6«) «с„), где отношение правдоподобия ь(х, 6«) имеет вид Х(х, 6,)= зпр, а(х)$прра(х), еаа, еее постоянная с«выбирается таким образом, чтобы к.
о. п. имел заданный уровень значимости а. Пусть вектор наблюдений Х=(Хь ..., Х,) имеет независи- мые одинаково распределенные компоненты, Π— о. м. п. для 0 и !выполняются у~ловия регулярности, при которых 0 существует, единственна и при п-~со асимптотнчески нормальна. Тогда для проверки простой гипотезы Н,:0=0з имеем Л(х, 8О) =Л,(х, 0з), Л„(х, 8')=/Эм (х)/Р-(х), в условиях гипотезы Нэ Я( — 21пЛ~(Х, 0О)) 'мазь при и->-оо и к. о. п. асимптотически эквивалентен состоятельному критерию с критической областью 5*=(х: — 2!пЛ„(х, 0з): Х,' „).
Пусть требуется проверить сложную гипотезу Но.'0~6о, состоящую в том, что компоненты вектора 0=(0!, ..., Оь) являются функциями параметров р!, ..., (Ь, 0 — — д" (р!,, р ) =1, ..., й, й>з, или, иначе, на компоненты вектора 8 наложено й — з ограниченйй й;(0)=0, !'=1,, й — з. (4.2) Обозначим 0 и 8*о. м. п. для 0, полученные без ограничений и при ограничениях (4.2) соответственно. При достаточно гладких функциях д! и й! и при выполнении вышеназванных условий регулярности, обеспечивающих асимптотические свойства о.м.п.
0 н 8', имеем Лл (х Вп) = Рз (х)/Ре (х), в условиях гипотезы Нс Я( — 21пЛ„(Х, 8!,))-~Л', прн 'п-~.оо н к.о.п. асимптотически эквивалентен состоятельному критерию с критической областью Ю'=(х: — 2!пЛв(х, Е!о)~))(' ). Критерий хи-квадрат Пирсона. Пусть в результате п независимых испытаний наблюдаются частоты (т!, ..., ть) появления попарно несовместных исходов А!, ..., А!, составляющих полную группу событий, ~~Р~т!=и.
Обозначим вероятность ис! ! ь хода А! в каждом испытании Рь 0(р!(1, !=1, ..., Й,,~, Р!=1. 3=! Р= (Р!, ..., Рь). Если число испытаний и Достаточно велико, то длЯ пРовеРки пРостой гипотезы Нз:Р=Р' пРотив альтеРнатив ьй 58 Н, Рчьр' критерий уз Пирсона уровня значимости а имеет кри тическую область ) х,',,). »=! (4.3) Б практических ситуациях следует использовать условия, при которых лъ50, т»>5, »=1, ..., й. Построение критической области критерия 11' основано на теореме' Пирсона, которая утверждает, что в условиях гипотезы На и при и-»-с Я (~ (т! — лрс)'((пР".)~,. 1 г В более сложной ситуации задано семейство распределений У!»=(Р(0)=(Р»(0), ..., Ра(В))), зависящих от неизвестного параметра О=(0„..., 0 ), Вайс:Я", пт<Й вЂ” 1, Требуется проверить гипотезу Нсл»РенУо (4.4) против альтернативы Н!.р от'.!». Будем считать, что функции Р;(О) ухдовлетворяют следующим условиям регулярности: 1),1 Р,(0)=1 для всех 0 ~ »В; ! ! 2) р»(О))с)0, »=1, ..., й, и существуют непрерывные производные '1 и 1 Р»( ), '1, 1=1,, л»; дВ! да! дв! 3) матрица А= ~ — ~ размерности йхт имеет ранг»п для ! ар»(Е) 1 де! всех О ен 9.
Тогда если Π— оценка О, полученная методом максимального правдоподобия на основе вектора наблюдаемых частот (ть ., т~), то при и-»-со в условиях гипотезы Но .2' (Я („— пР, (Од у(пР, (Од) »=-1 Если число испытаний л достаточно велико, то для проверки сложной гипотезы (4.4) критическая область критерия 1!з Пирсона уровня значимости а имеет вид Д» !т! — пР,(0)Щ»»Р»(0)) ь тт! „„,), (4.0) ! ! Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки независимости пйизнаков. Предположим, что и независимых наблюдений «лассифицированы по двум признакам, А и В, причем признак А имеет г)2 уровней, признак В имеет а~2 уровней.
Обозна чим рп вероятность для каждого наблюдения обладать призна ком А на уровне 1 и признаком В на уровне 1 и а!! число наблюдений„обладающих указанным сочетанием признаков, =1, ..., г, 1=1, ..., з. Данное распределение и результаты на блюдений удобно представить в виде таблиц. 4 1 2 ... ! Ри Ры Р» Рп Рм . Р» 211 аи а» аа! таа ° ° ааа Р!. Р2 аи ааа ° а» Ра Ри Раа ° ° ° Ра! Р.! Р.2 . Р.а Здесь Р1. =~ РП Р 2=~~, Ры ча =~~ ти т 2=,~' т11. Для проверки гипотезы независимости признаков А и В Оа ° Р1т=р1 Рсь 1=1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
