Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 11
Текст из файла (страница 11)
° ~г 1=1 5 (и ~! '~" (тп — а!лс;1и'121(ч1.т 21~ Х2!. 1, !! 1а 11~ 1=1 1=! Если и достаточно велико, то уровень значимости критерия бли зок к а. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы одн родностн. Пусть имеются з серий независимых наблюдений 1-я серия состоит из и! наблюдений, 1=1,..., з. Каждое наблю дение по значению некоторого признака относится к одной н г групп. Пусть рп обозначает вероятность попадания наблюде-*, ния из 1'-й серии в 1-ю группу, тп — число наблюдений 1-й серии, попавших в 1-ю группу, 1=1, ..., г, 1=1, ..., з.
Здесь р12=1, ~,' ты=паз 1=1,...,з. Е при больших значениях и используют критерий да Пирсона с' критической областью Для пРовеРки сложной гипотезы одноРодности Н.:Рп=...=ро !=1 г при больших значениях п=п, +... + и. используют критерий !!! Пирсона с критической областью л 5 ( Я ~(Ы 11'~ )~( ! ')~~К! — а (л — !>(~!!) 1 !г=! л г"„(х)=п — ' ~ У(Х1(х), 1(А) — индикатор события А.
1=1 Критерий Колмогорова основан на статистике Р„( зяр 1г"„(х) — Е, (х) ! (4.8) — <л< и имеет критическую область (Р,~Р„, ). Величина Р„„выбирается таким образом„чтобы размер критерия был равен а. Необходимые для применения критерия Колмогорова таблицы имеются в сборнике (5). Х... Если Х!!!<Х!э!~...<Х!л! — вариационный ряд выборки ь ..., Х , то для практических целей величину Р„ удобно вычислять по формуле Р„=шах(Р+, Р,), Р„' = шах ~ — — Р,(Х!1!)), ! <1<а Л 1 — 1 Рл = таХ !Ел(Х(1!)— 1(1<л л уровень значимости которого приближенно равен а. Критерии согласия. Пусть Х„..., Х, независимы и имеют общую ф. р. г(х).
Пусть задана непрерывная ф. р. г(х) и требуется проверить простую гипотезу согласия Нп. г (х) =Рп (х) (4.7) против альтернативы Н,:г (х)чьрэ(х). В этой задаче может быть применен критерий хи-квадрат Пирсона. Для этого область значений величин Х! разбивается ~а непересекающиеся подмножества Л„..., Ль и применяется критерий с критической областью (4.3), где т! — число наблюдений, попавших в Л1, а р!" — вероятность попадания в Л1, соответствующая распределению го. Для проверки простой гипотезы (4.7) применяются также критерии, основанные на эмпирической ф.
р. Критерий ыз основан на статистике ы»= ~ [Р» (х) — Ро (х))'!«Ро(х). (4.9) Необходимые для его применения таблицы имеются в [5, 18!. Для практического вычисления удобно пользоваться формулой 2! — ! 1» пы = — +~„~Р» (Хи!)— 2~~ ' 2» Более важной для приложений является задача проверки сложной гипотезы согласия о принадлежности Р к заданному параметрическому семейству йг =(Р(х, 8), ОяйсР"), т. е. проверки гипотезы ~о: Р~У против альтернативы Н :РФУ . Разбиению Ль ..., Л» в этом случае соответствуют вероятности р!(О), ..., р»(0), вычисляемые согласно распределению Р(х, 0), Ое-:тт, и для проверки Нз может быть применен критерий (4.0). Следует иметь в виду, что сходимость (4.5) выполняется, когда 8 — о.
м. п., построенная по вектору частот (ть ..., ть). Эта оценка асимптотически эквивалентна оценке минимума хи-квадрат, минимизирующей левую часть (4.5), т. е. критерий (4.6) эквивалентен критерию [гп(п ~ (т! — ир,(0))Цпр!(0)1:».",)!', „ ееэ $ 1 Если же в качестве 8 используется о. м. п., основанная на выборке Хь .... Х„, то пределом в (4.5) является распределение случайной величины )(2 1 ~~ Л.ф (4.10) 1=! где $! ... $ — нормальные А'(О, 1) случайные величины, не.
0 зависимые между собой и с тзь ь а коэффициенты Ль < <Л!<1, зависят от Р(х, О) и от разбиения Ьь ..., о». Таблицы процентных точек распределения (4.10) в случае проверки нормальности имеются в статье [29]. Как правило, более высокую мощность в рассматриваемой задаче имеют критерии, основанные на разности Р»(х)— — Р(х, 0), где Π— некоторая оценка, аналогично критериям Колмогорова и из. Статистики, получаемые по формулам (4.8) и (4.9) с заменой Рз(х) на Р(х, О), имеют распределения, зависящие от семейства зт и от используемой оценки О, причем эти Ез распределения существенно отличаются от распределений й н сл'„в случае простой гипотезы. Необходимые таблицы для важнейших семейств У имеются в работах !!'18, 301. Для проверки гипотезы нормальности распределения полезно воспользоваться критериями, основанными на выборочном коэффициенте асимметрии ! ъ-л 8,= — ~(Х! — Х) лЭ ! 1 и выборочной характеристике эксцесса л Ь,= — '~,'(Х,-Х), лФ вЂ” 1 кс ! ч-ч где Х= — ')'Х! н У= — ~ '(Х! — Х)'.
Необходимые таблицы л л с=! ! — --! имеются в [5). $ !. НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ И РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ. СЕМЕИСТВА С МОНОТОННЫМ ОТНОШЕНИЕМ ПРАВДОПОДОБИЯ 4.1. Пусть Х!, ..., Х„независимы и имеют общее биномиальное распределение 0(1, 8), 0 «8~1. 1) Показать, что для проверки гипотезы Нсл!0=8з против альтернативы Н!.0)8о р.н.м. рандомизированный критерий уровня а имеет вид 1, если у Х!)са, Т„, если ~с' Х! =с„, О, если ~ Х!(с„, с, определяется'соотношением !=с„+ ! с=са л Т =[!х — ~„С!0лс(1 — 8,)" с~1(С~ 0с (1 — 8,)" ), с=сат! мощность имеет вид и Ц(0,)= Я С!81 !(1 — 0,)и !+р„СслО,л(1 — 01)" с" !<л +1 2) Построить р. н. м.
рандомизированный критерий уровня а для проверки гипотезы Но!В=Во против альтернативы Й<:0(Оо и найти мощность критерия. 4.2. Пусть Хь ..., Хи независимы и имеют общее биномиальное распределение 8(1, О). Построить наиболее мощный критерий уровня а=0.01 для проверки гипотезы Нсл0=0 против альтернативы Н,:0=0.01 и определить наименьший объем выборки и, при котором мощность окажется не менее 0.99.
4.3. В условиях задачи 4.1 цусть Во=0.2, альтернатива О,= =0.4, а=0.05. Используя нормальную аппроксимацию для и Хо определить наименьший объем выборки п для получе1=1 ния мощности Ол(0.4), не меньшей 0.9. 4.4. Пусть Х,, ..., Х независимы и имеют общее равномерное распределение У(0, 8), 0>0. Показать, что: 1) для проверки гипотезы Нсл!О=Во против альтернативы Н<:0>Во критерий 1, если шах Х,)Вси р(х)= а, если шах Х!(О„ 1<!<л я вляется р.н. м, критерием уровня а; 2) для проверки гипотезы Нсл<О=Ор против альтернативы Н<'.9<Ос критерий 1, ЕСЛИ ШаХ Х!(О,а<<и, <р (Х) = О, если шах Х,)0 а<<и, 1<!<л является р.н.м. критерием уровня а; 3) для проверки гипотезы Нл: 0=8«против альтернативы Н,:ВФО, р. н.
м. критерий уровня а имеет вид 1, если <пах Х;)О„или шах Х<:Ола<<и, <р (Х) = ' 1<!<и ' 1<!<и 0 в противном случае. 4.5. Пусть Хь ..., Х, независимы и имеют общее равномер- ное распределение У(0, О+1), ОъО,Х<1! — ппп Хо Х<и! — — шах Хь ! <1«и 1<!<и Показать, что для проверки гипотезы Й,.В=О против альтер. нативы Н<:0>0 критерий р(Х)=1~ 1 1, если Х<п) 1 — ими или Х<и!) 1, ~ О, если Х<!<(1 — ами и Х<и!«1, является р.н.м.
критерием уровня а. 4.6. Пусть Хь ..., Х„независимы и имеют общее показательное распределение Р(0, 1), — со<0<со. Показать, что: 1) для проверки гипотезы Нр.'0=00 против альтернативы Н|.8<00 1, если гп(п Х,<0„ р(х)= а, если ппп Х,)0„ 1<1<л я вляется р.н.м. критерием уровня а; 2) для проверки гипотезы Н,:0=80 против альтернативы Н~.О>60 1, если ппп Хр)0,— 1па/л, ~<~<п О, если ппп Х; < 8,— 1и а/л, 1~1<и является р.н.м.
критерием уровня а; 3) для проверки гипотезы Но.'О=Во против альтернативы Н,: Очьйо и 1, если ппп Х,<В, или ппп Х,)0,— 1па(л, ч (Х)= 1<ж 1<~< ° О в противном случае, является р. н.м. критерием уровня а. 4.7. Пусть Хь ..., Х, независимы и имеют общее показательное распределение Р(О, О), 0)О. Показать, что: 1) для проверки гипотезы Н,:О=О. против альтернативы Н1',8>Оз р.н.м. критерий уровня а имеет критическую область Д~ Х,) Оа~ „~/2) $=! Ю и мощность р(0,)= ) д,„(и)йи; 2) для проверки гипоа х~ азл/(зеп тезы Нс.'==0о против альтернативы Н~:О<Во р.н. м.
критерий л уровня а имеет критическую область (у' Х;((ОоХ~зл„/2) и мощ- 1 ! аех(» ~р!аеп 2 йз.(и)г(и. Здесь й~(и) — плотность расо пределения д'ь 4.8. Пусть Хь ..., Х„независимы и имеют общее показательное распределение Р(Оь 0,), — со<0,<со, О,>О. Показать, то для проверки гипотезы Н0:01=Ока Оз=Оз0 против альтернативы Н,:0,<Оиь Оа>Ом р.н.м.
критерий уровня а имеет критическую область и (~ Х~>О„у,,' „,„~2+лбиь пнпХ;>От0) ()(ппп Х;(Ом)). 1=1 ~<~<л 3 Зак. 2В2 65 4.9. Пусть Х!, ..., Х„независимы и имеют общее показател ное распределение Р(0, 28), 0>0. На основе первых г порядк вых статистик Х!!><Х<,><...<Х!,! построить р. н. м. критерн уровня а для проверки гипотезы Н,:8=8, против альтерната вы Н,:0<Во. Найти мощность критерия. 4.10. В условиях задачи 4.9 пусть Во=1000; альтернатив 8!=500, а=0.05.
Найти наименьшее значение г, необходимо для достижения мощности 6 (500) > 0.95. 4.11. Независимые одинаково распределенные величины прн вяли значення — 0.114, — 0.325, 0.196, — 0.174, — 0.460. С п о,! мощью наиболее мощного критерия уровня а=0.1 проверить гн; потезу Нзлраспределение равномерно У( — 0.5, 0.5), против аль-' тернативы Н,:распределенне нормально Л'(О, 0.009). 4.12. Пусть Х„..., Х„независимы н имеют общее нормаль-' ное распределение Л'(0, о'), о>0 известно, — со<8<со.' Показать, что: 1) для проверки гипотезы Нз.В=Во против ал !,' тернативы Н,:0>0, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
