Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 12
Текст из файла (страница 12)
н. м. критерий уровня а определяется л критической областью Д" Х!>г! аTи+пВ„') и имеет мощ !=! ность 5(0!)=1 — Ф(г! „+~п(Вч — О!)/а); 2) для проверки гипо. тезы Нс!8=Во против альтернативы Н,:0<Во р.н. м. уровня а л определяется критической областью ДГ Х,<Х„о)/п+пВ,) и !=! имеет мощность р(0!)=Ф(з„+ гп(0~ — 8,)/о), 4.13. В условиях задачи 4.12 пусть 8,=0, альтернатива 8!=* =1, а=1. Определить наименьший объем выборки и для про. верки гипотезы Н, с помощью наиболее мощного критерия уровни а=0.01, имеющего мощность не менее 0.99. 4.14.
Пусть Х!, ..., Х, независимы н имеют общее нормальное распределение Л'(1!, В'), 1! известно, 0>0. Показать, что: 1) для проверки гипотезы Но!В=ВО против альтернативы Н,:8> >8, р. н. м. критерий уровня а имеет критическую область Д' (Х! — )х)'~ВоХ! —,~~ н мощность (1(0!)=Р(ХИ>ВО~Х!~ „,„!0~!); !=! 2) для проверки гипотезы Нз.'8=Во против альтернативы Н!'.0<Вз р.н.м.
критерий уровня а имеет критическую область л (~(Х! — Р)'<ВоХа,,~ н мощность ~(0!)=Р(Хл< ВчХал18!). $=! 4.15. В условиях задачи 4.14 пусть Вз — — 1, альтернатива В!= =)~2, а=0.1. Определить наименьший объем выборки п, прн котором мощность наиболее мощного критерия окажется не меньше 0.9. 4.16.
В партии, содержащей Ф изделий, число дефектных изделий М неизвестно. Производится случайный выбор без возвращения п изделий, среди которых оказалось Х дефектных из- делий. Для проверки гипотезы Но.М<Мо против альтернативы Н, М)Мо построить р. н. м.
критерий уровня а. 417. Последовательность независимых испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» 0 в каждом испытании проводится о появления лт-го «успеха». Построить р.н. м. критерий уров- „„а для проверки гипотезы Но!0<0о против альтернативы Й!;0)0о по наблюдаемому числу «неудач» Х, предшествующих л!-му «успеху». 4.18. В первой схеме в промежутке времени фиксированной длины з наблюдается Й событий пуассоновского процесса $(1) с интенсивностью О. Во второй схеме процесс $(1) наблюдаетдо момента появления лз-го события, при этом время наблюдения т является случайной величиной. 1) Для проверки гипотезы Но!0<0, против альтернативы Н!.О) >Ос построить р.
н. м. критерий уровня а для каждой нз схем и найти мощность критерия О. 2) Пусть 0,=1, альтернатива 9!=2, а=0.05, р=0.95. Учитывая, что для достижения мощности О отношение необходимого времени наблюдения для первой схемы к необходимому среднему времени для второй схемы равно Оз/гп, определить области значений 8, в которых предпочтительнее одна из рассмотренных схем. $2.
РАВНОМЕРНЫЕ НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ НЕСМЕЩЕННЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СЕМЕИСТВ. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ПАРАМЕТРАХ ЛИНЕИНОИ МОДЕЛИ 4.19. Пусть Х!, ..., Х, независимы и имеют общее биномиальное распределение Ь(1; О). Для проверки гипотезы Но!0=О« против альтернативы Н!:0~0о построить р. н. м.
несмещенный критерий уровня а. 4.20. Пусть Х!, ..., Х, независимы и имеют общее показательное распределение Р(0, О), 8)0. Показать, что для проверки гипотезы Но'0=8о против альтернативы Н!:ОФОо р. н. м. несмещенный критерий уровня а имеет критическую область с а Я~ Х! (Оос!/2) () Д Х!)~ Оооо(2)), !=! $=! где постоянные с,<со определяются из условий ~ йсо»(и)о(и=~ сс „+, (и)о(и=1 — а. с, с, Мощность критерия равна е,сио, р (О!)=1 — ) до» (и) ди. е,сио, 67 Здесь дс(и) означает плотность распределения Хеь Прибли,' женный критерий с равными «хвостами», для которого с, = Х~д е„, с«=Х! „, „является хорошей аппроксимацией к указанному критерию, за исключением случаев малых и или Ое, близких к О или ое.
4.21. Пусть Хь ..., Х независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, о'), о>0 известно, — ссс<8<ео. Пока. зать, что для проверки гипотезы Не. 8=Ос против альтернатив ы Нс:ОФОе р. н. м. несмещенный критерий уровня а определяетси критической областью с ( ( ) (Х; — 0„) ! ~ )г! аде о !с п~ $=! и имеет мощность ~ (О!) = Ф (га(г — дассо (Ое — О!)/а)+ Ф (еа!е+ У и (Ос — О!)1о). 4.22. Пусть Хь ..., Х независимы и имеют общее нормальное распределение Лс(1с, Ое), 1! известно, 0>0. Показать, что для пРовеРки гипотезы Не.
0=8е пРотив альтеРнативы Н! '. Оее Ое р. н. м. несмещенный критерий уровня а имеет критическу ю область ((~; (Х,— р)»<бес,) () Д,'(Х,— р) = Огас,Д, где постоянные с! <се определяются из условий с ~ д„(и)!(и= ~4 д„+!(и)с(и= 1 — се. с, с, Мощность критерия равна е,сне, 2 2 Р(8,) =1 — ~ д„(и) ( . еесне!' Критерий с равными «хвостами», для которого с!=1(е~а „. се =хе! „,е „, является хорошей аппроксимацией к рассматривае- мому критерию, за исключением случаев малых и или Ое, близ- ких к 0 или ао.
Здесь де(и) означает плотность распределе- ния Хаю 4.23. Пусть Х,, Х, независимы и имеют общее нормаль' ное распределение Лс(8„8ее), — со<0!<оо, 0,>0. 1) Показат ь, что для проверки гипотезы Н,:9,=8!, против альтернатив Н!'.О!>О,е р. н. м. несмещенный критерий уровня а определяет. ся критической областью < Г с (Х вЂ” Ом) 1сс и ~,/ ~ч'„(Х; — Х)/(и — ',1))1! — и, с — ! с=! и имеет мощность Р(0 )= ) йл,(и, 6)би. ! — а,л — 1 л Здесь Х=~»" Х1/п, й„! (и, 6) — плотность нецентрального 1 1 1 распределения Стьюдента 1„! (6), 6= 1»п(0!! — О!о)41, Оы фиксированная альтернатива. 2) Для проверки гипотезы Н,: :81=0!о пРотив альтеРнативы Н! ! 8!<О»о найти кРитическУю область и мощность несмещенного критерия уровня а. 4.24.
Пусть Хь ..., Х, независимы и имеют общее нормальное распределение »1'(01, 811), — оо<8!<оо, 01)0. Показать, что для проверки гипотезы Но'.01=0!о против альтернативы Н»:О!ллО!о Р. н. м. несмещенный кРитеРий УРовнЯ а опРеделЯется критической областью и имеет мощность 1!-а!1, л-! р(0„)=1 — ~ и„! (и, 6)1(и.
1а!1, л ! Здесь Х=~» Х1/п, Лл(и, 6) — плотность нецентрального 1-рас! ! пределения Стьюдента 11(6), б=гп(0!! — О!о)/01, 8п — фиксированная альтернатива. 4.25. Пусть Х», ..., Х независимы и имеют общее нормальное распределение дл(01, 811), — со<01<со, Оо)0. 1) Показать, что для проверки гипотезы Н,:81=0!о против альтернативы Н».'91>Ооо р.н.м. несмещенный критерий уровня а определяется л критической областью ДГ (Х,— Х)о) Ооо Х» „,, 1~ и имеет 1=1 л ~ Мощность р(01!)=Р(Хл 1 О~оХ»~ а,л — !/01~!).
Здесь Х=~~~ Х!/п, 811- 1=1 Фиксированная альтернатива. 2) Определить критическую область и мощность р.н. м. несмещенного критерия уровня а для альтернатив: а) Н»:01<0!о', б) Н»:Оол'Ооо. 4.26. Пять независимых одинаково нормально распределен. "Ых величин с параметрами р, оо приняли значения 3.02, 2.96, ; 306, 3.07, 2.90.
Используя р.н.м. несмещенный критерий уровня ' а=0.1, проверить гипотезу Но:о!=0.0036 против альтернативы 69 Н!'.оз)0.003б, Найти мощность критерия при альтернативе оз =0.09. 4.27. Пусть Хь ..., Х,, У,, ..., У„независимы, Х; имеет нор-' мальное распределение Л'(р, оз), !=1, ..., и, У; имеет нормальное распределение Л ($, Ло'), /=1,, т, параметры р, $, о неизвестны, величина Л)0 известна. Построить р.н.м.
несмещенный критерий уровня а: 1) для проверки гипотезы Н,:в— — р~0 против альтернативы Н!:$ — (!)О; 2) для проверки гипотезы На.'$ — (!=0 против альтернативы Н!.'я — (!ФО. Найти мощность критерия. 4.28. Пусть Х!, ..., Х„, Уь ..., У„независимы, Х; Л'((!, о!'), !'=1, ..., л, У!-Л!'($, озз), /=1, ..., л!. Обозначим п /В Х=~'Х!/а, У=Я У,/л!, !=! З',=У (Х,— Х) ( — 1), Зз= )' (У,— У)'/( — 1), С=($~~(п)/Я/и+ Йт) В=(п — 1)/(и+т — 2), и=(Х У-)/1'5!/я+Я,'/ 1) Показать, что для проверки гипотезы Но'.р=$ против аль- тернативы Н,:(!чу критерий с критической областью (УР-.г! а,з) имеет уровень значимости, стремящийся к а при я, л!- со.
2) Критерий с критической областью (У) /(С)), где (в — с) (! — с) /(С)=1, „„ в* +/! — а(а и+ги — з Х (в(1 — в) + (2в — П (с — в))с (! — с) (в — с)*с в' (! — в)1 (! — в)! имеет уровень значимости а*, более близкий к а при больших значениях и и и!,т. е. а*=а+ О(/1/ з) при /(/=ш(п(п, и!)- со [191. 4.29. Определение концентрации 510! в мартеновском шлаке прозводилось в пяти пробах весовым и в шести пробах фотоколометрическим методами.
При атом получены следующие результаты: а) весовой метод (п=б): л л Х=) Х!/я=20.5„5! — — ~ (Х,— Х)'/я=0.0423; ! ! !=1 б) фотоколориметрический метод (и!=6): 70 У = ~' У,/л!=21.3, 53=~~," (У! — У)'/и!= 0.133. у=! !=! Предполагается, что результаты измерений в обеих пробах независимы, равноточны, а случайные ошибки подчиняются нормальному распределению. Свидетельствует ли различие Х н У о систематическом расхождении между результатами применения первого и второго методов? 4.30. Пусть Х„..., Х,, Уь ..., У„независимы, Х; имеет нормальное распределение Л (в, о!), !=1, ..., п, У; имеет нормальное распределение Л'Д, т'), /=1, ..., пг, все четыре параметра Р, $, о, т неизвестны.
Построить р. н. м. несмещенный критерий уровня а:1) для проверки гипотезы Но'.тз/оз~Л против альтернативы Н!:тз/а'>Л; 2) для проверки гипотезы Но!т'/о'=Л против альтернативы Н!:тз/озчьЛ. Найти мощность критерия. 4.31. Пусть Хо=1!+а!+а!ь (а!), (ец) независимы, а! имеет нормальное распределение Л'(О, т'), ец имеет нормальное распределение Л (О, о!), !=1,...,/, /=1...У, параметры 1!, т, о неизвестны. Построить р.н.м. несмещенный критерий уровня а для проверки гипотезы Не ! тз/оз(Л против альтернативы Н,: тз/оз>Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
