Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Показать, что критическая функция ~ао(х), дающая рещение предыдущей задачи без условия симметрии 6(х), имеет вид 1 , если х(а или х)6, '() ' () О, при некоторых — сю<а<Ь<со таких, что ь ') р(х)г(х=1 — а, р(х)=(2ж) Ызехр( — ха/2). й 4.101. Обозначим (Зы,ю(8) мощность критерия чч,,ь1(х) из задачи 4.100. Показать, что для любых двух критериев упьь~(х) и ф1, ~ (х) из задачи 4.100 таких, что а<по имеем р~а,ь1 (8) » %~1а,лп (8) прн 8 » ~О, 4.102*. Пусть Х имеет нормальное распределение Л'(О, 1).
Показать, что для проверки гипотезы На.8=0 против альтернативы Й,:Очь0 по одному наблюдению Х семейство критериев (ф1, „ (х)) уровня о из задачи 4.100 образует полный класс, т, е. для всякого критерия чч уровня а найдутся такие (а, 6), что Глава 5 ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ Пусть на измеримом пространстве (Ж, лз) задано семейство распределений У=(Р„О~Ос:1сь). Множество С(Х) с:8, ХенУ, для которого (х:ОяС(х))ен.ят для любого Оя6, называется доверительным множеством для О. Величина 1 — а= 1п1Рз(О~С(Х)) называется коэффициентом доверия доверитель. з — е ного множества С(Х). Прн любом Очна имеем Р,(езнС(Х))> 1 — а. Доверительное множество с коэффициентом доверия 1 — а будем называть (1 — а)-доверительным множеством.
В одномерном случае при а=1 обычно в качестве доверительного множества рассматривается доверительный интервал С(Х)=(ОМс)с'го(Х)<9<и(Х)), Интервал С(Х), для которого о(Х) = — со, называется верхним доверительным интервалом. Если и(Х) =со, то интервал С(Х) называется нижним доверительным интервалом, Построение доверительных интервалов с помощью центральной статистики. Пусть на ОХИ, Нс:)с', существует такая функция 6(9, х), что распределение 6(0, Х) непрерывно и не зависит от О, и при каждом х функция 6(0, х) непрерывна и монотонна по О. Функцию 6(9, х) называют центральной статистикой.
Определим числа 0,<Дз так, чтобы . РД,<6(0, х) <~,)=1— Пусть о(х) <и(х) являются решениями относительно 0 уравнений 6(0, х)=Р,, 6(Е, х)=Р,. Тогда Р,(о(Х)<0<и(Х))=1 — а, интервал (о(Х), и(Х)) является (1 — а)-доверительным интервалом для О.
Построение доверительных интервалов с помощью заданной статистики. Пусть статистика Т(Х) имеет ф.р. г'(т, 9). Определим множества С,(Х)=(0: р(Т(х), 0)(1 — а1), С,(х)=(Е: Р(т(х)+О, Е)-.а,). Тогда С1(Х) и Сз(Х) являются (1 — а1)- и (1 — аз)-доверительными множествами, а С(Х)=С,(Х)ПСз(Х) является (1 — а)-доверительным множеством, а=а1+аь 0<а<1. Если Е(т, 9) монотонна по Оенйс:)(', то С1(Х) и Сз(Х)— односторонние (верхннй и нижний) доверительные интервалы, С(Х) — двусторонний интервал. 90 Связь статистических критериев и доверительных множеств. Пусть Й(Оо) — область принятия гипотезы На.' О=Оз для некоторого нерандомизированного критерия уровня а. Тогда множество С(Х) =(Оеист: Хв() (0)) является (1 — а) -доверительным множеством для 8.
Случай сзс:К'. Нижний (1 — а)-доверительный интервал С(Х) =(0)о(Х)) называется равномерно наиболее точным (р.н.т.), если для любого другого нижнего (1 — а)-доверительного интервала С" (Х) =(О > оь (Х) ) Р (о(Х)<0') <Р (о'(Х)<0') для всех 0'<О. Аналогично определяется р.н.т, верхний доверительный интервал. Теорема 5.1. Пусть семейство распределений .У=(Рм Оец ~6~Я') имеет монотонное отношение правдоподобия относительно Т(х) и ф,р. Е(Г, 8) статистики Т(Х) непрерывна по 1 при каждом О. Если уравнение г(Г, 8)=1 — а имеет решение 8~(Г), то о(Х)=8,(Т(Х)) является р.нт. нижней (1 — а)-доверительной границей для О. Если уравнение г(1, 0)г и имеет решение Оз(Г), то и(Х) =Оз(Т(Х)) — р.н.т. верхняя (1 — а)-доверительная граница для О.
Двусторонний (1 — а)-доверительный интервал С(Х)= =(о(Х) (0<и(Х)) называется несмещенным, если Р~(0'~ е: — С(Х))<1 — а при 0'чьО, 0', Осей. Теорема 5.2. Пусть семейство распределений Р=(Рм Оси ецбсР') имеет монотонное отношение правдоподобия относительно Т(х) и пусть для каждого Озен01 существует нерандомизированный р.н.м. несмещенный критерий проверки гипотезы Нз.О=Ос против альтернативы Н,:О~Ом имеющий область принятия К,(8,) <т(Х) <К,(8.). Пусть, кроме того, зти критерии являются строго несмещенными. Тогда функции К;(О), 1=1, 2, строго возрастают по 8 и р.н.т.
несмещенный доверительный интервал для О имеет вид К2 (Т)<8<К! (Т) Случай оценивания Оя((' при наличии мешающего параметра. Пусть требуется построить доверительное множество для одной компоненты векторного параметра (йс:Яь, й)1). Запишем параметр в виде (О, ц), где ОИ', т1И" '. Коэффициентом доверия доверительного множества С(Х) для 0 в атом случае называется величина 1 — сс= 1п1 Рз „(Оен С(Х)). (з гаев 91 Верхний (1 — а) -доверительный интервал С(Х) =(8<и(Х)) ' и двусторонний (1 — а)-доверительный интервал С(Х)=(п(Х) < <0<и(Х)) называются несмещенными, если соответственно Рз,„(0'<и(Х))<1 — и при всех (8, т1)ен В, 0<0',' Рэ,ч(о(Х)<О'<и(Х))<1 — а при всех (О, т1)я В, 0~0'. Верхний (соответственно двусторонний) (1 — а) -доверитель-, ный интервал С(Х) называется р.н.т. несмещенным, если он является несмещенным и для любого несмещенного (! — а)-до- ' верительного интервала С*(Х): Р,,(0 = с(х)) <Р,,„(0 = с" (х)) при всех (О, т!) ~6, 0<0' (соответственно 04=0').
Теорема 5.3. Если для каждого 8, существует нерандомизированный несмещенный критерий для проверки гипотезы Н;, : 0=00 против альтернативы Н,: 0<Оо (соответственно Н, „- :ОФОо) с областью принятия гипотезы И(Оз) и для каждого хенгп множество С(х) (О: хеи()(8)) имеет вид (О<и(х)) (соответственно (о(х) <О<и(х))), то С(Х) является несмещенным верхним (соответственно двусторонним) (1 — а) -доверительным интервалом для О. Если указанный критерий является р.н.м. несмещенным, то соответствующий доверительный интервал является р.н.т.
несмещенным. Подробное изложение этого вопроса имеется в книге 1171. 5.1. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение Б(8, 0), 8>0. Обозначим Х<ю= шах Хь 1~3~а Показать, что среди всех (1 — а) -доверительных интервалов для 8 вида (Хыф-ы", Хы>[~ — (1 — а)1 ы"), 1 — а(~<1, основанных на центральной статистике Х<„~/8, интервал (Х~„ь Х< 1а и") является наикратчайшим.
5.2. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение У( — О, 8), 8>0, Т=гпах( — Хш, Хоп), Хы = ппп Х,, Хкп — — шах Хь Показать, что среди всех (1— 1<3<и 1<~<и — а)-доверительных интервалов для О вида (Тф '('*, Т(р— — (1 — а)1-и"), 1 — а<5(1, основанных на центральной статистике Т(0, интервал (Т, Тп и") является наикратчайшим.
5.3. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение У(Оь 01+Оз), !81~ <со, Ог>0, Т=Хы,— Х,п, Хы! = ппп Х;, Х<м= шах Хо 1<~<л 1~1~л Показать, что среди всех (1 — а) -доверительных интерва для Оз вида (Т!пь Т~уг), пд",— ' — (п — 1) д",— пд",— '+(а — 1)п,"= — а, основанных на центральной статистике Т(Оь наикратч шим является интервал (Т, Т!г(), где д удовлетворяет урав нию (и — 1) д" — пд"-'+ а=О. 92 5.4.
Продолжение. Показать, что двумерная область, опре- деляемая соотношением (Е„Е,: Х„,- О,з.+Е„Х<„> — Хы>~е,/„), где числа з„, /„ удовлетворяют условиям 0(за< 1 — /а~ 1, п4~ (1 /,г за)+/а 1 м (1 — и) -доверительным множеством для (О >, Ог) . 5.5. Пусть Х>,..., Х„независимы и имеют общее показа- тельное распределение Р(0, О), О)0. Используя результат за- дачи 4.7, показать, что интервал (2 ~ Х>/уг> „ „, оо), является >=1 р.н.т. нижним (1 — а)-доверительным интервалом для О, а ин- теРвал (0,2 Я Х,/>1г г„) ЯвлЯетсЯ Р.н.т. веРхннм (1 — а)-довеРи> > тельным интервалом для О. 5.6. Пусть Х,,Х„независимы и имеют общее показа- тельное распределение Р(а, Ь), (а((оо, Ь)0.
Обозначим и Х=УХ,/и, Х»>= пнп Х,. Используя результат задачи 4.41, > ч:3(л показать, что в случае неизвестного значения а р.н.т. нижний иесмещенный (1 — а)-доверительный интервал для Ь имеет вид (2п(Х вЂ” Х»>)/К>~ — а,г[п — », со) а р.н.т. верхний несмещенный (1 — а)-доверительный интервал для Ь имеет вид (О, 2п (Х вЂ” Х(»)/>(а,г(и — »), в качестве двустороннего (1 — а)-доверительного интервала для Ь можно взять интервал (2л (Х вЂ” Х< » )/>О,к>г,гы » , 2п (Х вЂ” Х> » )/>~а~г,г>л — > >). 5.7.
Продолжение. Используя результат задачи 4.42, показать, что в случае неизвестного значения Ь р.н.т. несмещенный. (1 — а)-доверительный Интервал для а имеет вид (х»>-(х-х»>)( — — -ц, х„,). 5.8. Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее показательное распределение Р(е>, Ог). Показать, что двумерная область (О ( >, О: Х>»+О (1паг)/и О,<Х»>, 2п(Х вЂ” Х<»)/>1> с,>г,г< — »( — г ( Ог ( 2п (Х вЂ” Х» >)/>(диг,г>л — ») ~ 93 где 1 — а= (1 — а!) (1 — аз), является двумерным (1 — а)-довери. тельным множеством для (8„0,).
Здесь Х!»= ппп Хь Х= '~» Х,/и. ! <»(»» 5.9. Пусть Хь;,Х„независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(8, о'), )0)(ао, о)8 известно. Обозна»» чим Х= ~ Х»/и. 1) Используя результат задачи 4.21, покамч »=1 зать, что интервал (Х вЂ” з! !у/~)и, Х+г! „,~о/)Га ) является р.н.т. несмещенным (! — а)-доверительным интервалом для О. 2) Проверить, что среди всех (1 — а)-доверительных интервалов вида (Х вЂ” ~!о/~' и, Х вЂ” 1»»о/7 п ), где р»<~~ — любые числа, удовлетворяющие условию Ф(О,)— — Ф(р!) =1 — а, интервал, указанный в 1), является наикрат- чайшим.
3) Определить наименьшее число наблюдений а, не- обходимых для того, чтобы р.н.т. несмещенный (1 — а)-довери- тельный интервал для 0 имел длину, не превосходящую задан- ного значения Л. 5.18. Пусть Хь...,Х„независимы и имеют общее нормаль. ное распределение Л'(1», 0'), 1! известно, 0)8. Используя ре»» зультат задачи 4.14, показать, что интервал ( ~ (Х, — р)з/)(з! „ „, »=! со) является р.н.т, нижним (1 — а)-доверительным интерва»» лом для Оз, а интервал (8 )' (Х! Р)'/Х'„,,) является р.н.т. »=! верхним (1 — а)-доверительным интервалом для Оз, Будет ла (1 — а)-доверительный интервал для Оз л л ~ Х (Х вЂ” р)'/Х2, Е (Х; — р)'/х2 „„) ! ! »=! р.н.т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
