Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 19
Текст из файла (страница 19)
!05 1.25. Использовать формулы (1.5) и (1.3). !.26. 2) Использовать формулу (1.3) н теорему 1.2. 1.27. 1) См. [21. ГЛАВА 2 2.1. Вектор Х принимает значения в пространстве М=(х) состоящем из 2" бинарных векторов х=(х,, ..., х„), х;=0 илн л л Х ! .— Х.! 1; 1.(х, 0)=Ре (Х=х)=0!' ' (1 — О) ' ! представляется в виде (2.1) с й 1, а(О)=1п[О/(1 — О)), Т(х)=~ х!. Применить тео»=! рему о полноте эксяоненциальных семейств.
2.2. Для 1=0, 1, ..., п имеем (1/С„', если Т(х)=1, Ре (Х=х(Т(х)=1) ( О, и Т(х)~(. Иначе говоря, распределение Х при условии Т(Х)=1 есть рас. пределенне случайного вектора, получаемого равновероятнын размещением 1 единиц и и — 1 нулей на и местах, Тот факт, чте это распределение не зависит от О, соответствует определению .достаточности. 2.3.
1) Проверяется непосредственно. 2) Например, для 0», пользуясь задачей 2.2, получаем й;(1)=Р((/»=1(Т(Х)=1)=Се — е/Сл= Вообще, дЯ=б!!(1 — 1)0!ч/пь!+'!. 3) Следует нз п. 2. 4) Доказать =от противного. 2,4. Найти функцию правдоподобия и применить теорему е полноте экспоненцнальных семейств. 2.5.
Полнномиальное Ь(1; 1/и, ..., 1/и), 1=0, 1, .... 2.6. 2) Применить. задачу 2.5 н п. 18 введения. 1рн/.» ... 1 > й, 0 при 1(й, Ь!»!=Ь(Ь вЂ” 1)...(Ь вЂ” й+1), Ьье!=1. 3) Доказать от противного. 2.7. Из задачп 2.5 следует, что условное распределение Х! тьри фиксированном значении Т(Х)=1 является биномнальиык Ь(1, 1/и). Используя тот факт, что Е[/1»(Т(Х)=1)=Р(Х! ~ й(Т(Х)=1), находим 0 при 1=0,1,...,й — 1, й(~)= С»! — /1 — — Г при г=й, й+1, ...". л» 1 л/ 2.8. Вычисляя д(!) как производящую функцию Ь(1, 1/и) (см. задачу 2.7), получаем д'(1) =(1 — Ци+ з!и) 1, 1=0, 1, .... 2.9. Применить теорему о полноте экспоненциальных семейств. 2.10.
Р(Х,=й„..., Хл=й„~Т=()= Пусть 1 символов 0 и и — 1 символов 1 случайным образом размещаются на и+1 — 1 местах, а на (и+1)-е место помещается символ 1. Тогда условное распределение Х прн фиксированном значении Т=1 совпадает с распределением вектора (У„.. „, У,), где У1 — число нулей до первой единицы, а Уь 2 а»~л, — число нулей между (!' — 1)-й и !чй единицами. 2.11.
2) Используя результат задачи 2.10, получим Д(1)=Р(Х1=81, ..., Х~=Ь„,(Т=1)=С »! — а,— 1!С~+! !. 2.12. 1) Функция правдоподобия имеет вид (и1/Ц ч!1)П 8,', ~» т! — — и. ! 1 ! ! ! 1 Полнота следует из принадлежности распределения (ч», ... , тл-1) экспоненциальному семейству и теоремы о полноте экспоненциальных семейств. 2) Так как указанные оценки являются функциями полной достаточной статистики, то достаточно проверить их несмещенность. 2.13. 1) Функция правдоподобия имеет вид полнота следует из принадлежности распределения (Х„..., Х„) экспоненциальному семейству и теоремы о полноте экспоненциальных семейств.
2) Так как т является функцией полной достаточной статистики, то достаточно проверить, что Ет=т(8). 2.14. Функция правдоподобия имеет вид 8 "1( т(п Х;~0) Тх ! (Щ Х(щах Х»а 8), достаточность следует из теоремы факторизации. 1~»~л Функция плотности Х<„> имеет вид ), (и) =О "пи '1(О < и < 8), Условие Е,)>(Х<„>) О равносильно тождеству е и" — '1< (и) <(и = — О для всех О ) О, о откуда Ь(и) =О для п.
в. и)О. 2.15. Равномерное распределение на множестве а () (хд —— 1, О(х„..., хе >, хе+>, ..., х„(1). А-< 2.18. 1) Проверяется непосредственно с использованием плотности 1„(и) величины Х<,> (см. указания к задаче 2.14) 2) д(1) вычисляется с использованием результата задачи 2.15. 2.17. 1) р<'>(х, 0)=п!О "1(О ( х, < ...
( х„< 0), хе Я". 2) (Х<„>=1, .Х<ц, ..., Х<„О) имеет условную плотность, равную р< >,(х, 1), х ев Я" >, находится как частное от деления совместноВ плотности р<> на плотность 1„ (см. указания к задаче 2.14). 3) Следует из Е,Х, 0>2. 4) Учитывая, что 11(Х)=(1(Х<'>), и используя 2), получим д(1)= — <Е ~ з Х<о<Х<„> — — 1~+1~= и [ = — ~(л — 1) — +1 ~ = — 1. 2 Г < > <>+1' е ~ .
2 ~ е 2.18. 1) Обозначим Х«>= пип Х„Х<„»= пах Хь Тогда функ> <<<в >«<;~ ция правдоподобия имеет вид 1(0<Х<п<Х<.> О+ 1). 2) Показать, что Е(Х<„> — Хн> — (п — 1)<(а+1)1=0 для всех 8.' 2.19. 1) Функция правдоподобия имеет вид (Оз — О>)-"1(Хн>ъ ~0>)1(Х< ><Ое), совместная плотность величин (Хо>, Х<„>) имеет вид п(и, о)=(О~ — О,)-"п(а — 1) (о — и)" — з1(0> ки со<8 ).
Для доказательства полноты дифференцируем по 0> и Оз тождестве е. е. ') <(и '> (о — и)" < (и, о)<(о— = О для всех 8>(Ое. Отсюда получаем, е. что >'(и, о)= — О для почти всех и~о, 2) Так как т, и те являются функциями полной достаточной статистики, то достаточнр проверить несмещенность т> и т,. 2.20. Функция правдоподобия имеет вид (20)-"1( — О <Х<» <Х<,><О)= (20) "1(0»пах ( — Х<,>, Х<,>)), 10З статистика О имеет плотность распределения й(и, О)=пи" >О-"ЦО<и<О). 2.21. 1) Утверждение следует из принадлежности распределения (Хь ..., Х~) экспоненциальному семейству и теоремы о полноте экспоненциальных семейств.
2) Так как Х и 5з являются функциями полной достаточной статистики, то достаточно проверить несмещенность оценок Х и 5'. 2.24. 1), 2). Функция правдоподобия имеет вид Ь "ехр( — ~1' Х>/Ь+па/Ь)!'(щ)п Х!)а). >=! ><>< Для доказательства полноты рассмотрим эквивалентную достаточную статистику (Т,(Х), Тз(Х)), обозначения взяты из 2).
Введем вариационный ряд Х>>><Х<з>~...<Х<„>, обозначим' У>= Хо>, У>-(и — >+1) (Х>>> — Х>>-,>), >-2„..., п. Тогда Т,(Х)-У„ Та(Х)=г У!. Так как совместная плотность величин Х>,>, ... ..., Х<~> имеет вид л1Ь ехр~ Х, (х>>> — а)/Ь]!' (а<х>>>(... ~(х>„>), >=! то совместная плотность величин У>,..., У имеет вид пЬ "ехр( — ~' у>/Ь вЂ” п(у! — а)/Ь>), Гм а, у!)О, !'=2, ..., и. Отсюда следует, что У>,..., У„независимы, п(У! — а)/Ь-Г(1, 1), У>/Ь Г(1, 1), >=2, ..., и, )' У>/Ь вЂ” Г(1, и — 1). В силу незави>> а симости Т,(Х) и Тз(Х) полноту каждой из статистик Т,(Х) и Тз(Х) следует доказывать отдельно, рассматривая ее распределение как функцию О.
3) Так как т! и т! являются функциями полной достаточной статистики, то достаточно проверить несмещенность т! и ть 2.27. 1) Утверждение следует из принадлежности распределения (Хь ..., Х„) экспоненциальному семейству и теоремы о полноте экспоненциальных семейств. 2) Достаточно проверить иесмещенность оценки, являющейся функцией полной достаточной статистики.
2.30. По теореме Басу У(Х) не зависит от Т(Х), поэтому Е]Ь (Х,)!Т(Х)] =Е (Ь (((Х,— В,)ТО,) О, + О,] ~ Т(Х)) = =Е(Ь((7(Х) О +О, ] ]Т(Х))=т (Т(Х)). 109 2.31. 1) В задаче 2.30 положить О,=Х, 8,=1, (/(Х)=Хх — Х. /1(г)=1(г>У), У(и)=~Р(и/)1 1 — 1/л)/"й1 — 1/а. 2.32. В задаче 2.30 положить 8~=0, 8,=5, (/(Х)=Х,/5, /1(г) = =1(г>у). Так как 1/'(Х) имеет бета-распределение 8(1/2, (а— — 1)/2), (/(Х) симметрична, то для 0(и(1 имеем Р(0((/(Х)(и)= — Р((/х(Х)(и')= 2 цЗ Г (л/2) (ц 1м (1 )гл — 3112 2 ~1л Г ((л — 1)/2) ) о Дифференцируя правую часть по и, получим а(и). 2.33. В задаче 2.30 положить 8~=Х, Ох=5, (1(Х) =(Х~ — Х)/5, /1(г)=1(г>у). Для получения распределения (/(Х) введем ортогональное преобразование У=СХ, У=(уь ..., У„) г, Х= =(Хь ..., Хц)х, матрица С имеет следующие первые две строки: < 1 1 У л ' (/л (л — 1) ')1л (л — 1) х, х,=ц,х,— щх,— х|, ц~х)=ИВ:лнх )(У,/ ~( 7, Ухи Так как распределение (/(Х) не зависит от О, и О„ $.=2 положим 8~=0, Ох=1.
Тогда Уь ..., У, независимы и имеют общее нормальное распределение Л'(О, 1), (л/(л — 1) ) (/з(Х) -3(1/2, (п — 2)/2). Так как распределение (/(Х) симметрично, то для 0(и(1 имеем Р(0((/(Х)(и)= — Р((/х(Х)(и')= 2 цыц~ 1ц — 1] Г ((л — 1)/2) ~ ~/х(1 )(ц-41м (г 2 )ххл Г ((л — 2) /2) о Дифференцируя правую часть по и, получим д(и).
2.34. В задаче 2.30 положить О,=Хоп Ох=1, (/(Х)=Х~ — Хп), Ь(г)=1(г>у). Для нахождения распределения (/(Х) рассмот- рим при г>8 Р(Х,>г)=ехр( — (г — 8))=Р(Х,— Хц1) г — Х1п)= Ю =Еб (г — Х10)=п ~ е — "м — е16(г — и)ди, в б(и)=Р ((/(Х) > и). 110 Дифференцируя по О тождество ОР ехр ( — г — (и — 1) 0)=п ) е-ллб(г — и) <(и, а получим <г (и) = (1 — 1/и) е-", и~ О. л 2.35. В задаче 2.30 положим О,=а, Оз=~~'„Х<, У(Х)=(Х!— л -а) / ~, (Х,— а), (/(Х) имеет бета-распределение р(1, и — 1) <-! /<(г)=/(г) у).
2.30. 1) Совместная плотность величин Хо! (Х<з! ~.... сХ<,>. имеет вид л! — л О, ехр ~ — ~)~~ (х< ! — О!)/Оз — (и — г)(х< ! — О!)/Оз~ /(х<») О!)= (л — г)! ! ! л! О, ' ехр~ — (х<<! — О,)/Оз— (и — г) ! л [~~~ х„! +(и !) х„, — (и — 1) 0,1 / Оз1 / (х<» ) О!). ! 2 Рассмотрим эквивалентную достаточную статистику (Х<», Т(Х)) л Т(Х)= Я Х<о+(и — г) Х<,! — пХ<», Х<» и Т(Х) независимы„ <- ! Т(Х)/О,-Г(1, г — 1), п(Х<» — 0,)/Оз-Г(1, 1) (см. указания к задаче 2.24), Полноту Т(Х) следует доказывать, рассматривая: распределение Т(Х) как функцию Оз. 2) Воспользоваться результатом задачи 2.30.
Здесь (/(Х) =(Х,— Хо!)/Т(Х), /з(г) = =/(г>у). Для нахождения распределения (/(Х) используем указания к задаче 2.34 и рассмотрим при г~0 ! Р (Х,— Х<»-» г) = (1 — — ) ехр ( — г/0,)= О, <' <' ~ ехр ( — о/0,) о' — зО (г/о) <<и, (г — 2)! л 0(и) =Р(1/(Х))и). Обозначим з)=г/Оз.
Тогда (- — )- 1 — — ) (г — 2)1 е-'<т)-<' — ' ! = ~ е — зло'-% (1/о) <(и. ! л ! )!й Учитывая, что 6(1/о)=0 при 0«о<1, получим, что величина (1 — 1/л) (г — 2)!е-"о)-и — И является преобразованием Лапласа для Функции о'-о6(1/е). Поэтому при О~и.ч:1 имеем 6(и)=(1 — 1/л) (1 — и)'-а (см., например, 191). 2.37.
В задаче 2.30 положим 81 — — О, Оо=о, (/(Х)=Хо/8, й(г) =/(г>у). Для нахождения распределения 6(Х) рассмотрим при О« <О Р(Х, -г)= /О=Р(Х,/О<г/8)=В6(г/8)= =ло "~ и 16(г/и)йи, о 6(и)=Р((/(Х)(и), е го" '/л= ') и '6(г/и)г(и для всех 8)0. о .Дифференцируя по 8 обе части, получим 6(и)= " и, 0(и<1, л т=1 — 6 (у/8), Оч.у«8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
