Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

2.38. В задаче 230 положить (/(Х)=(Х1 — 81)/8е, /г(г)* /(г)у). Для нахождения распределения (/(Х) рассмотрим при 0<г — 81<оо Р(Х, - г)=(г — 8,)/Оо=В6((г — 8,)/8,)= е.+е. о,+е. =О "п(л — 1) ~ с(и ~ (о — и)" 6Цг — и)/(о — и))4о, е, 3 6(и)=Р(1/(Х)(и). Положим 8 + оо=п. Тогда р (г — 8,)(т1 — 8,) =п(п — 1) ~ е(и ~ (о — и) 6((г — и)/(о — и)) ио.

е, Дифференцируя это тождество сначала по 8ь а затем по т), по. лучим 6(и)=(1 — 2/и) и+1/п, 0(и<1, .=1 — 6((у — 8,)/8,). 112 2.39. Так как п(Т! — 8!)/0«-Г(1, 1), Тв/0«-Г(1, п — 1), (Т!, Тв) является полной достаточной статистикой (см. задачу 2,24). Тогда из условия 1) следует ОО ОР 0~ "1 е — "!" — в !~«*в(и ~ е — «I«У(и, о) о" — ' йо=т(0„0«), (и — 2) ! ею о или О . ) е- !е в(и~ е — «!ад(и, о)о" — в по=(л — 2)! Ве-"в !вт(0» Ов)/и. е о Дифференцируя это тождество по О! и полагая з=1/Оь получим требуемое соотношение.

2.40. Введем преобразование У!=!пХв, в=1, ..., л. Тогда Я„..., Е„независимы и имеют общее показательное распределение Р(!па, 1/о). Обозначим в Т,= пп!и 1п Хо Тв=в) 1п Х! — и ппп !пХи !<в<в ! ! !<!<« Используя результат задачи 2.24, получим тв='(и — 2)/Тв. Используя результат задачи 2.39, получим следующее уравнение для определения н. о. р. м. д. у(Ть Тв) для т!(8)=ехр(т!па): е — в«й! (и о) о« вЂ” 2 в(о — ! ) (лз т) а~и лзв о откуда выводим, что у(Т„Т«)=тв=е г (! — тТ /(п(л — 1))!.

Используя результат задачи 2.36 при г=п, получим 1 прн у(Т„ ( '1 1 — — 1 !! — (у — Т!)/Тв'!" ~ при 0: у — Т,(Т,, и 0 при у — Т!)Т,. 2.41. т=ехр(т пип 1п Х!)!! — т/(по)1. !<в<« 2.42. После преобразования Яв=ехр( — Х;), в= 1, ..., и, получаем независимые величины Я„..., У„с общим показательным распределением Р(0, е — в).

Воспользоваться результатом задачи 2.35. « « л /=(л — 1)е — «~! — е — «/У е ~в~ /) ~~~ е х! при у) — 1п~~~ е х! 1=! в=! в=- ! 5 за«. в«в 1!3 2.43. Функция правдоподобия имеет вид Н и1(!пах Х,<Л/). 1<1 <л 2.44. Функция правдоподобия имеет вид С',"С", ',"1СР. 2.45. 1) Показать, что ЕХ=О для всех Оен(0, 1). 2) Пока-.

зать, что класс несмещенных оценок для (1 — 6)' совпадает с классом оценок вида Н(Х)=1(Х=О)+сХ, с — произвольная по. стоянная, РН(Х)м Ш(Х=О). 3) Показать, что класс несмещен. ных оценок для О совпадает с классом оценок вида Н(Х) =У(Хии — Ц+сХ, но минимум дисперсии 1)Н(Х) достигается для! =с(8).

2.48. Так как Х является полной достаточной статистикой. для О, то достаточно показать, что ЕТ(Х) т(0). 2.47. Функция правдоподобия имеет внд и й" (8) П )! (Х !) 1 ( пп'и Х, ~) 6), 1<1~(и плотность распределения величины ппп Х! имеет вид 1<1 <л у(и, 6)=ай" (6) (~)1(у)1(у~ й(и)![и 6). и Из условия ь ь ~1')Ь(у)ду) й(и)1)(и)ди= — 0 для всех О В и следует, что ф(и) = — 0 для почти всех и. 2.48. Решение аналогично задаче 2.47. 2.49. Функция правдоподобия имеет вид и! й" (О) ПЬ(Х1)7(8,< ппп Х1< !пах Х,<0,). !Я<и 1<!<и 2.51.

1) Показать, что распределение (Х„..., Хи, У„., У г принадлежит экспоненциальному семейству, и применить теорему о полноте экспоненциальных семейств. 2) Е(Х вЂ” У)=0 для всех 8. и и! 3) Е ~Я (Х,. — Х)и1(п — 1) — )„(У! — У)'/(т — 1)~ = О для всех 6- 1=! 1=1 и ОЗ Здесь Х=~, ХУа, У=~ У1/т. 114 статистики, то достаточно проверить несмещенность оценок и и о'.

2.61. Пусть рэ(1, з) — вероятность наступления й событийна интервале времени (1, з). Нижеперечисленные условия 1), 2) определяют неоднородный пуассоновский процесс с интенсив. постыл Х(1). 1) При Л О р,(!, 1+б)=) (!)Ь+о(Л), р,(1, 1+ +Л)=о(Ь); 2) Независимость наступления событий в непересекающиеся интервалы времени. Из 1) следует 5 р,(т, з)=ехр [ — !) ).(и) г(и~~, ! Пусть А;=(на интервале (й !, О) событие не произошло, на интервале 11! 1!+Л) событие наблюдалось).

Тогда Р(А!) =Х(1!) Х !с ехр [ — ) Х(и) ди~ Л+о(Л), функция правдоподобия !-ь и л Ь=[1!тп П Р(А!)/Л" ~ р0(1„т)= П Х(1!) ехр [ — ~ )!(и) ди~. Д-~0 ! !=! о Если )!(1) =ре", то л (.=ехр [и!пр+а,)' 1!+р(1 — е ')/а~, г=! л полнота достаточной статистики (и, )'„1!) следует из принад!=! лежности Е экспоненциальному семейству и теоремы о полноте экспоненциальных семейств. 2.62. 1) Функция правдоподобия имеет вид (2п) ""и-" ехр( — (х — Ар) (х — А~)1(2о'))= (2п) ж и ехр ( (хтх 2РтЯ~к, (ЯР) т ЯЯ1(2о~)) Полнота достаточной статистики следует из теоремы о полноте экспоненциальных семейств. 2) Так как р является м. н. к.-оценкой, т. е.

11Х вЂ” 'АЩ1'=щ)п'!!Х вЂ” Ар!!', то Аб является проекциа ей ХяЯ" на линейное подпространство УьсЯ", порожденное вектор-столбцами матрицы А, Абеб'ы Х вЂ” Аг!сна„ы УьЛ. ).У„-ю ЫьЭЫ а=)! . Выберем ортонормированный базис (е!, ..., е„) в Й" так, чтобы (е,, ..., еД и (е„+!, ..., е„) были базисами в 2"д и Ы д соответственно. Тогда 116 ~р,;".з щт'ь ~г з Ай=~' (егХ)ез=А~+~ (е'е)е;, з=1 50.78= 30.25 = 78.29= — 180+ 99.57= 50.42 = 40.59= 88.87= -180-1-89.86= +ем а.

+ ез~ ~,+Цз +ез, Из — рз +е,, з ез + з~ из+ Фз+ йз+ е ° нз + ез' Введем новые параметры 61*=8~ — 50.78, 8зз=йз — 30.25, йз" =Дз — 50.42, йзз=йз — 40.59. Тогда У=(0, О, — 2.74„— 0.24, О, О, -2.14, — 1.23)т, Вз=(8,*, ..., Вз')т, система нормальных уравнений для определения м. и. к.-оценок для 6з имеет вид 3101 — — 1' 1 3 1 0'1 ~=~0 1 3 1) 1013 117 л Х вЂ” Ай= 7 (еуе) еь ;=з+1 Введем Х;=егте, 1=1, ..., и, вектор (Ль ..., Я,)г получен в ре- Е ' з льтате ортогонального преобразования вектора е. Поэтому , Я„независимы и имеют общее нормальное распределе- ние Л'(О, оз).

Отсюда Ай и Х вЂ” Ар независимы, а так как 6 =(АгА)-'Аг(Ар), то 8 и Х вЂ” АВ независимы. Имеем и йХ вЂ” АЦ!з= ~1 Хз — озфз з. з=з+~ Так как 8 и оз являются функциями полной достаточной стати- стики, то иесмещениость 6 и о' влечет свойство н.о.р.м.д. 2.63. Частный случай задачи 2.62. Здесь Х=(Хь ..., Х,)г, Ат г1 — г, ", г.— г 8=(а, Ь)г, 1=2. Независимость компонент вектора 6=(а, Ь)г следует из диагональной структуры матрицы АгА, л х« — )' о 3=1 0 а 2.64.. В обозначениях задачи 2.62 (см. рисунок) имеем линей- ную модель (в координатной записи) В У=( — 3.97, — 2.98, — 2.38, — 3.37)т, ~"=( — 0.90, — 0.57, — 0.37, — 0.70)т, (1=(49.88, 29.68, 50.05, 39.89)т, Ц У вЂ” В~' Ц'=5.143, аз=1.286, У;=Х; — Х~ ь 1=1, ..., в, +во +е» У„= Ц(1„— 1, ~)+з„.

Находим м. н. к-оценки 6, н 5з для ~, и рз и н.о. р. м.д. о' для, о' на основе наблюдений Ум Уь ..., У„(см. задачу 2.62). 2.66. а=1.417, Ь=80, о'=114.35. 2.67. Сводится к задаче 2.62. Здесь я=И, й=7+7 — 1, (1=(р, а„..., си о ()„..., Ь !)т, Х=(Хтз, ..., Хьо Хм,..., Хм ..., Хп, ..., Хи) р а, а, ... аг ~ р, Ц ... ~~ , 1 1 0 ... 0 1 0 ... 0 ! 1 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ,7 строк ! 1 1 1 0 1 0 0 0 0 ...

1 0 — 1 — 1 .'.. — 1 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 1 1 ,7 строк 1 0 1 ... 0 0 0 ... 1 1 0 1 ..; 0 — 1 — 1 ... — 1 1 0 0 ... 1 1 0 ... 0 1 0 0 ... - 1 0 1 ... 0 1 0 0 ... 1 0 0 1 0 0 ... 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 ... — 1 1 0 1 — 1 — 1 ... — 1 0 0 1 — 1 1 ... — 1 — 1 — 1 А Х=(7(Х, 7(Хь — Хв), ..., 7(Хт ~,.— Хь), 7(Х,,— Х.~), ..., 1(Х,з ~ — Х.~))", пв 2.65. После преобразования У,=Х,, приходим к линейной модели 1 а=1т+Рв(о У,= ~,(1,— 1,) 1 — 1 0 1 — 1 а(0:;О а=УУ, Вн=2У, Вы=У, !ФУ, А А= 0 .'; В::.

0 0(О:',С Сгг=2У, С, =У, : О: О Вгг=(У вЂ” 1ИУУ), В1 1г(УУ) (А А) '= О 1В '-' 0 С"=(У вЂ” 1)1(УУ), Си= 1У(УУ) О ( О С ' г-г-1. 2.68.. Векторы Хг=(Х;„..., Хгг)г, 1=1, ..., У, независимы и имеют общее нормальное распределение А'г(т, г.), гп=(1г, ... ..., 1г)г, У.=(Улг), г.гг=тг+ог, Хгг=тг, 1~1. Введем ортогональное преобразование Уг=СХь 1=1, ..., У, матрица С имеет первую строку (1/ГУ, „., 1г'ГУ).

Тогда векторы Уь 1=1, ..., У, независимы и имеют независимые компоненты, Уг1=)гУХь, Угг Ал(1гГУ, ог+Ут'), Уи-А'(О, ог), 1=1, ..., У, 1=2...,, У (проверить!). Используя результаты задач 2.21 и 2.23, получим, что полной достаточной статистикой для г1=(1г, ог+утг, о') является статистика г=1 1-г или эквивалентная статистика г г Возвращаясь к первоначальным переменным (Хи), найдем н.о. р. м.д. для г1, а затем для О. 2.70.

Характеристики

Список файлов книги