Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 24
Текст из файла (страница 24)
тивы Н!' с вероятностью 1, если ~' У/)с„(/), условное рас. ! пределение (/ при фиксированном значении Т=/ является 5». номиальным распределением Ь(бр), р=/4/и/(/4т+/и), Провер. ка гипотезы Нэ сводится к проверке гипотезы р=т/(и!+и) про. тив альтернативы 1) р>т/(т+и); 2) р<т/(т+л); 3) рчь М/и/(/и+и).
См. задачи 4.1 и 4.19. 4.50, 4.5!. См. указания к задаче 4.49. Применить нормаль- ную аппроксимацию к биномиальному распределению. Инте». сивность поступления импульсов снизилась. 4.52. См. указания к задаче 2.61. Функция правдоподобии величин 1!</э« ... /ю |Ч, равная ехр(й/1пр+а~ /1+р(1 — е")/а~ х 1=1 Х / (О < 1, < г <... < 1, < т), принадлежит двухпараметрическому экспоненциальному семей.
ству, Критерий строится на основе условного распределена~ ~~~~ /1 прн фиксированном значении /1/=а. Так как математичэ 1=1 ское ожидание пуассоновского процесса равно 1 р(е" — 1)/а, а>0, 5(/) (/=( рт, а=О, о то условная плотность распределения 1!</э« ... 1а при й/~ =и равна п и(а" ехр(а), /1) (е" — 1) — "/(О</1</,< ... </„<т), а>9 1=1 п1 т —" I /!О < Е! < /, <... ( /„( т), а= О, 142 я пРи гипотезе НО ЯвлЯетсЯ совместной плотностью и поРЯдконх статистик, образованных из и независимых равномерно распределенных на интервале (О, т) величин. Условное распрел деление Я 1! равно распределению суммы и независимых рав- 1-1 камерно распределенных на интервале (О, т) величин, критическая область критерия имеет вид л ('~ (,= с„„)/.
1=1 ()ри больших значениях и, используя нормальную аппроксима- яию, получим критическую область л ((т,— „О),)),) „!) ~„.), 1=! 4.53. Совместное распределение Х и У имеет вид Р(Х=х, У=у)=С,",р! (1 — р!)" 'С" р[(1 — р,) =С„"С" (1 — р!)" (1 — р,) ехр(у1п[р,(1 — р!)(/(р!(1 — рО))!+ +(х+ у) !п [р,/(! — р!)!) н образует двухпараметрическое экспоненциальное семейство, 3=!п[ра(1 — р!)/(р!(1 — рз))), (/=У, т)=!п[р)/(! — р!)1, Т=Х+У, р=ехрй.
Условное распределение У при фиксированном значении Х+ У=1 имеет вид С:С„'-", !(~ С!.С'„'! . / !=О При гипотезе Н, имеем р= 1, и указанное условное распределение валяется гипергеометрическим распределением Нб(т, и+я, 1). Обоззачим д(у, п, т, !)=С" С! "!С~+„1) Гипотеза Н, отвергается с вероятностью 1, если у)с„(Т), и с вероятностью у (Т), если У = = с„(Т). Функции с„(Т) и у„(Т) определяются соотйошениями О!1П! 1.!О) т!О)1,О!) ()(1', п, т, 1)(ОО( ~' д(Е, и, т, К), 1 О )1)+! 1-О„)1) !О!О(1,иа) '" С.- " -%1"."'." 1=.~~)1)+! 4) Гипотеза Н, отвергается с вероятностью 1, если У(с„(Т), и с Оероятностью уч(Т), если У=с„(Т).
Функции с„(!) и у„(!) опредеЛяются соотношениями )43 ;,«]-! аа(!] ()(!', п, т, 1)<'а( ')" ()(!', и, т, !), 1=!пах(0, ! — и] ! =и!ах(0, ! — и] а «) — 1 у„ (1) = а — ') ц (!', п, т, т) д (с„ (8), и, т, 8), 1 пзах(0, ! — и] 3) Гипотеза Н, отвергается с вероятностью 1, если У(с](Т) ива У)са(Т), и с вероятностью у!(Т), если У=с,(Т), 1=1, 2. Функ. ции с!(1), с,(1), у](!) и уа(!) определяются соотношениями а «)-1 !п1п«,гп) д(1, и, т, Е)+ )~ ()(1, п, т, 1)+ ! -!пах(0, ! — и) (=аа«)+1 2 +~' у!(!)()(с!(1), и, т, !)=а, а «] — 1 п1 ! и( 1, ~п) !()(!', п, т, !)+ ~ !(1(!', п, т, 1)+ ! !пах(0,! — и) ]=а, «)+1 +~ у! (!) !2() (с! (!), п, т, 1)=а!т)(п+ т).
4.54. Величины Х, У, 01 и У имеют совместное полинома. альное распределение, определяемое вероятностями Р(Х=х, У=у, (]=и У=в)= РлврйвраРлв= к! у! и! п! рйехрх1пЛ+(х+у)!и+(х+и)1п х! у! и! 0! ]Аз рйв ! которое принадлежит к трехпараметрическому зкспоненциаль ному семейству. Критерий строится на основе условного рас. пределения Х при фиксированных значениях Х+У=т и Т=1 Совместное распределение Х и ()' при условии Х+ У=т опреде ляется вероятностями С"С"р!(1 — р])" "р2(1 — р,)" " н являет ся распределением двух независимых величин, имеющих бин(г миальные распределения Ь(т, р!) и Ь(п, р2). Условное распр0' деление Х при фиксированных значениях Х+У=т и Т=1 оа' ределяется вероятностями с:с„'-"л ( ~ с.'с„'-'л 1=0 н в условиях Нп является гипергеометрическим распределенн 0]) Н6(т,з,1). Задача сводится к проверке равенства бнномналк 144 ных паРаметРов Р! и Рз двУх независимых биномиальных величин.
См. указания к задаче 4.53. 4.55. См. указания к задачам 4,54 и 4.53. Нулевая гипотеза об одинаковой общительности горожан и сельских жителей отвергается, если И<с„(Т, л), величина с,(й п) равна максимальь — ! ному целому числу й, для которого ~' С!,С!э '!С!!(0.01. От!са сюда с„(1,а) =5. Данные согласуются с гипотезой о большей общительности горожан. 4.55. См.
задачу 4.54. Критерий отвергает гипотезу независимости, если 11<с! или У)сь Постоянная с! равна наибольшему целому числу, удовлетворяющему неравенству о — 1 СзьСзз~! — ~/Сззн ц< 0 025 юса постоянная сг равна наименьшему целому числу, удовлетворя!ощему неравенству Сз!С1! /С11 ( 0 025.
!=о+! В нашей задаче с! не существует, с!=4, Данные таблицы согласуются с гипотезой независимости. 4.57. Совместное распределение (Х, У, Л) является полиномиальным, з! Рз " ~А в семейство распределений является двухпараметрическим экспопенцнальным семейством. Критерий строится на условном распределении У при фиксированном значении Е=г, которое является биномиальным распределением Ь(л — г, р), р=рв)(Ра+ +Рз), проверка гипотезы пп сводится к проверке гипотезы М: р=1/2. Критическая область критерия имеет вид ~у — (л— -г)/2~ )с(г). См. задачу 4.19.
4.58. См. задачу 4.57. Гипотеза об отсутствии разницы в спросе отвергается, если у<с! или у)с,, величины с! и сз удовлетворяют неравенствам с,-! с, Сгп2 ю(0.025(~~ Сйо2 !=-0 ю=о ю 20 С~гп2 ' (0.025~() Сзо2 '. !=в+! !=с, нашем случае с!=6, с!=14. Наблюдения не противоречат гипотезе об отсутствии разницы в спросе. ~ зан, 282 !45 4.59.
Если <р — несмещениый критерий, а критерий <р! явля. ется не менее мощным, чем Ч!, то Ч!! также является несмещен. ным критерием. 4.60. Критерий Х' Пирсона уровня значимости а=0.005 от. вергает нулевую гипотезу о равновероятности появления каж. дой цифры. 4.61.
Наблюдения не противоречат гипотезе Нз 4.62. Подлинность рукописи не подтверждается. 4.63. Критерий Хз Пирсона уровня значимости п.ч:0.3 под тверждает нулевую гипотезу. 4.64. а~0.025. 4.65. Опытные данные согласуются с гипотезой Нр. 4.66. Опытные данные согласуются с гипотезой. 4.67. При гипотезе о пуассоновском распределении условное распределение вектора наблюдений при фиксированной их сумме является полиномиальным распределением в (245,0.2,02, 0.2,0.2,0.2), поэтому статистика (Х! — 49)! 49 1=! имеет условное предельное распределение Хзе При альтернативах отсутствия пуассоновского распределения возможны раз. нообразные условные распределения.
Поэтому разумно отвер гать гипотезу как при больших, так и при малых значениях Х',' т. е. применять критерий с критической областью 11Х'~х„,„)Ц1Х ~х, „„,)). В данном случае Х'=0.612<у'взь4 —— 0.711. Гипотеза о пуассоновском распределении отвергается. ' 4.68. Критерий Хз Пирсона уровня значимости а~0.2 под. тверждает нулевую гипотезу.
4.69. Гипотеза независимости отвергается. 4.70. Гипотеза независимости подтверждается. 4.71. Гипотеза независимости отвергается. 4.72. Опытные данные согласуются с гипотезой однород ности. 4.73. Критерий Хз Пирсона уровня значимости а=0.05 ог 'вергает гипотезу однородности. 4.74.
Массив 1 представляет собой реализации 50 независв. мых одинаково нормально распределенных величин, при пята интервалах группировки статистика Пирсона Ха=3.2, 19зм" =0.022, д! — — 0.187, Ьз — — 2.625. Опытные данные согласуются 4 гипотезой нормальности. Массив 11 представляет собой реализации 50 независим ыт одинаково логнормально распределенных величин, Ха=3 ь йуззо=0195, и!=1.689, бз — — 7.518. При пяти интервалах группвв ровки критерий тз Пирсона ошибочно подтверждает гипотез! 146 нормальности, критерий в' ошибочно подтверждает гипотезу нормальности для уровней !а~0.005. Критерии, основанные на выборочных коэффициентах асимметрии и эксцесса, отвергают гипотезу нормальности. Массив 1П представляет собой реализации 50 независимых величин, имеющих общее распределение Лапласа с плотностью [(х; 1«,о) =(2о)-'ехр( — [х — 1«~/о), [х! <со, 11«1<со, о>0, Хз= =6.4, 1(У«ю=0.170, 81= — 0.274, 81=3.854.
При пяти интервалах группировки критерий 7«Пирсона ошибочно подтверждает ги. потезу нормальности для уровней а~0.05, критерий «!' ошибочно подтверждает гипотезу нормальности для уровней а~ ~0.01. Критерии, основанные на выборочных коэффициентах асимметрии и эксцесса, ошибочно подтверждают гипотезу нормальности. «-1 « «-1 " .'Е '/ «-1 4 75 /ай=(п1( пт11) (1 — у Р~) ' П ' 8 ( 1=1 1=1 1 1 ° Р« — 1), — 21п«„(ъ, 8')=2[1п/8 (т) — !пДз.(т)) = ЧтА(8.)„ 4 =(ч!/и -, ъъ-!/и)" является о. м. п.
для 8 т~„=)/, (Е Ео) З'1~/ю( ) 1 л(8*) = ~ — ' ", [Š— 8«[ =[8„— 8 [. Пр, „ 11 д81дз7 8'-+ 8", А(8') /(8«) — (/„. (8«)) 1/ро ( 1/ро /1/(8«)[= 1/Р« ! Ф / /-'(Е )=(/и(8)), — Р1Р; '1~/, ~(ч.) У'„,(О,/- (8)), ч„А(е)ц„2 с р „й сюроны, если (/„(8«)=((/„1(0«),, (/ „,(8 )т (/ ~~$, «/Р««1=1, ..., й — 1, то в условиях Н«ковариационная м Раца вектора (/,(8)/)~а равна!(8 ), квадратичные фор т1(8' „ а (/„(8«) / ' (8') (/, (8«)/и асимптотически эквивалентны, (/„(8«) / ' (Е") У„(8«)/п= ~~1~ (т! — пр1)'/(пр ), 1=1 л 4.76.
Обозначим Т = ~ Хь Х=(Х„..., Х„). Отношение аравдоподобия )1„(Х, р„)=рг(\ — р,)" — /[(77 ) (1 — Т/и)" — 1 147 как функция Т возрастает при Таира и убывает при Т>лр поэтому область принятия Нг для к.о.п. имеет вид (и!<Т/и — рг<сг) или с использованием нормальной аппроксимации ]за(г<(Т про)/Упрг(/ Рг) <а! — а!г]. Мощность 8(р,) при и- сс имеет предельное значение л 4.77. Обозначим Т = ') Хь Х=(Х„..., Х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
