Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отношение ~ 1=! правдоподобия )!,(Х, Ог) =ехр( — пОг+Т) (Оса/Т)т как функция Т '. возрастает при Т(пОг и убывает при Т>пОо, поэтому область, принятия Нг для к.о.п, имеет вид (с!<Т/и — Ог<сг), или с использованием нормальной аппроксимации ]за!г < (™о)/~lпОг < г! — !!!г]. Мощность 8(8„) при и-~-аи имеет предельное значение Ф (ги!г+ Х/)/0„) + Ф (за!г — Х/~Оо ) . 4.78.
Обозначим 8=(р„ р ), 0 и 6, — о. м. п. для 0 без условий и в условиях Н соответственно, 0=(Х, У), 0,=()г, р), р=(пХ+ + игУ)/(и+и!), Рэ(Х У)=ехр( — Чг! — игр!)р",х)гг" (!П Х!1 П У(1) ! ! /=! — 21пХ„, (Х, У, В,)=2~1пр-(Х, У) — 1пр- (Х, У)]= дг!и рз, (Х, У) дг 1и рз, (Х, 1') — (1 — Х)'— д)!! д)! г ]О" — 01< 10 — 0„!. В условиях Н, при и, иг-!- ио имеем 6" = (рь рг) (р р) — 21п), (Х, У, 6,) — пт(У вЂ” Х)'/((г(п+иг)], .Ы]У (У вЂ” Х)/У~( + )] .Р'(8, 1).
4.79. Для /г независимых выборок Х,=(Х„,, Хы!) =1, ..., й, пусть Х; — выборочное среднее 1-й выборки, элемеа' ты которой независимы и имеют общее распределение Пуас' сона П()г!), 1=1, ..., л, ~~ п,Х;=Т, ~ а! —— п. 148 Для проверки гипотезы Н,: 111=!11= ... р„отношение правдоаодобия имеет вид ) п„....л„(Х„..., Х,, Ер) = (Т7п) г / Д Х1! '. (! По центральной предельной теореме прн и! — оо имеем М (и Х! — рдей У - Ле(О, 1), аоэтому прн гипотезе Нз н и1, ..., иь- оо л1Х! Уп1ру'1+л1р, 1=1, ... ь ь Т вЂ” 3~ р ~'., ~п! )'1+~ВЯ л1.
1=1 1=1 Так как прн а- 0 имеем 1п(1+а) -е — аз72, то прн а1, ..., пь-~со имеем Ф ь ь — 21пХл„...,„ь(Х„..., Хд, 91) — ~„3'! — ()', '~/п, У1) /Я п,. 1=1 ! 1 1 1 После ортогонального преобразования г= Су, г= (г„..., г,) г, у- ( уь ..., у„) г, пь/ ~~) а1), получим 1=1 Я У,' — ~~ У'й! У1)'/Я и,='Я г,'-21,, 1 1 1 1 1 1 1 1 аря Пь ° ° ., Пи-1-оо Я( — 2 1п)1„„„„„„(Х1, ' Хь 91))-1 2~1, 4.80. Использовать рассуждения, аналогичные помещенным з указаниях к задаче 4.78. 4.81.
Для я независимых выборок Х! — — (Х;„..., Х1„,), 1= 1, ..., й, пусть Х! — выборочное среднее 1-й выборки, элементы которой независимы н имеют общее биномиальное распределение б(пь р;), 1=1.-,А, ~ п,Х,=Т, ~Г а,=а, Для проверки гн1=1 1=1 аотезы Н11р! — — р1= . =рь отношение правдоподобия имеет вид 149 л,(Х! Х» !9~)=(Тlп) (1 — ТЮ" '/П Х!' 'Х 1с (1 — Х )~!1! х!! и в условиях Н, при и„..., и»-»-оо имеем Я( — 21п)!„,„...„>с х(Х1, ., Х», 6»))-» ц» 1. Использовать рассуждения, аналогичные г л~.....л» помещенным в указаниях к задаче 4.79.
4.82. 2) Х„(Х, В»)=(1+Тч((л — 1)) "~~, Т=~/п(п — 1)(Х- Г л П вЂ” р,) ~/,г, (Х,— Х)', Х=,)„Х~!а. В условиях Н, величина Т 1=1 1=1 имеет 1-распределение Стьюдента 1 1, при а- со Ы(Т)- Л'(О, 1), — 2!п)л(Х йз) =Т»+ор(1). 4.83. См. указания к задаче 4.82. Мощность р(р ) имеет вид р(р„)=рр (а!п[1+п(Х вЂ” р»)'/~) (Х1 — Х)»)2~ „ь!). 1=1 Так как л р п(Х вЂ” р»)»/ ~ (Х,— Х)1=. (Х-р.)*/ Я (Х,— Х)1+ 1-1 1 1 а + а(р„— )»») (2Х вЂ” р» — рр) / ~~ 1 1 при а-» оо имеем ~'„(Х! — Х)'!и-»-о», в условиях Н, имеем )гях' 1=! и 1с(Х вЂ” р„)1о-» У «Р(0, 1).
Тогда при л-»-ао л л'(Х вЂ” р»)'/,"рг, (Х,— Х)'».(У+Ца)». 1=1 Отсюда 1 пи ~ (рр) = Рр~ ((1 + Цп) ~ )(! — а, 1) = 1 ~ Ж л~оэ б(и, о) — ф.р. нецентрального распределения хи-квадр а! Х' (8) 4.85. Для доказательства того факта, что в условиях !"1 величина г" имеет г-распределение Фишера 150 р„»,„м введем векторы Х=(Хго ..., Х»„„Хз„..., Х~„„ , Х„», ..., Хь,.), ~=(р„..., )»„) и матрицу ! 1 0 0 ... 0 ! а, строк ! и, строк 100...0 010...0 Ао»хм 010...0 000...1 ль строк 000...1, Я' — о' (1 + ~» 'Р' 2п, У! /,)' и»), ! ! =! 5~! — а'(1+У!'1/2/и,), !'=1, ..., а.
Отсюда следует — 2 1и)!„„.„,~„(Х», ...,. Хю ~,) — Т„, где „-ь ь Ть=~ У1 — (~ ф'п»У!) / ~', пь !5! Тогда данные задачи можно представить в виде линейной модели Х=А(1+а (см. указания к задаче 2.62). Обозначим м.н.к.- оценки вектора Ар без условий н в условиях Нз через Ч н Че соответственно.
Тогда — г — г Ч=(Х„..., Х„Хз, ., Хм ...,Хь, ..., Хь), Ча — — (Х.,Х), Ч ~.-~ь Чо ен .~т с- ~ь так как в условиях Нэ матрица А!""'> имеет первый столбец, состоящий нз единиц, а остальные элементы матрицы равны нулю. Векторы Ч вЂ” Ч»» и Х вЂ” Ч независимы, так как Ч вЂ” Ч»» ~ Яь-! Х Ч ~ ~и-Ф А-! -1- Ж»-й 11 Х вЂ” Ч!( — о х»» — ь. В условиях Нз имеем ЗЧ вЂ” Чэ)!'-оЩ !. 4.86. 1) Используя представление 3! — о»Х„', »(и! и нормальную аппроксимацию Я ((Х,',— и!)/~/2п!) -».
У, — ~Р (О, 1) при а! -~ оо, 1, ...,я, получим, что в условиях гипотезы Нз прн а», ..., пь- 4.96. Используя результат задачи 1.18, получим, что,при л-ооо имеем 112(8) -6)[(6 — Оо) 12аЪ+г 1. Так как 81(6) =Ф[(0— -ОоИл+г,1, то ,(6)-( "-,"~"= ), по(0) — — ( ' " ' " ), п,(6)/п,(0) 2/и. 2 1 0 — Во 4.97. 0.5 0.468 0.637 7.5 а(а) 1)п1 )г (а) = оо, 1 ни а (а) = О.
333. а о а в 4.98. Пусть р(х) — плотность нормального распределения Л'(0,1). Задача состоит в отыскании критической функции Ф(х), такой, что о"Ф(х) р(х) Ых=а (1) — 1 Ф(х) [р(х — 6,)+ р(х+ 6,)] дх 1 Р 2 принимает максимальное значение. По лемме Неймана — Пирсона такой функцией является / 1, если г(х) ) с, [О, если г(х)(с, где г(х) — ~ ( 01) ~ (х+ ех) — ехр( — 6,'/2) сЬ(хО,), 2 р (х) константа с определяется условием (1). Отсюда 1, если )х(- г1 ль Фо(х)= О, если )х[(21 — ауо.
4.99. Критерий тот же, что и в задаче 4.98. Требуется по- Казать, что г(х)= — ' С р(х — 6) с(6(6) р (х),) является четной функцией, возрастающей при х>О. )68 ских функций [17, дополнение 41). Обозначим им — Цт,(8,), 1,2, и,=(ин, и1з), /7=(и; и,>ин, иэ>и„). Если СП()=Я, то в точке и, можно провести касательную (опорную) прямую к С вида Л,и,+Лзиз=д с Л;~0. 1=1, 2.
Тогда Л,им+Л,и„= щах =,ес (Х,и,+Л,иД и полагаем Чч=<рь Пусть СД/)эьЯ. Обозначим б замыкание 0 и возьмем точку по=(им, и0,) ~СПИ, у которой им=щах(и,: н=(иь ие)~СПИ). Показать, что в точке, п0 существует опорная прямая вида Л~и,+Лзир=й с Л;ъО, 1= 1, 2. В качестве ~рэ берем критерий, максимизирующий Л16,(8~)+Лз8,(8а). 2. Воспользоваться теоремой о слабой компактности множества критических функций. ГЛАВА 3 5.2.
См. указания к задаче 2.20. 5.3. Плотность распределения Т/Оз имеет внд я(и) =п(а— — 1) (1 — и)и"-Ч(О~и~ Ц, поэтому длина Т(1/г/ — 1/г/") интервала (Т/д', Т/у) прн условии 1 д(и)Ни=1 — а минимальна при д*=1, д удовлетворяет уравнению, указанному в условии задачи.
5.4. Обозначим У=(Хо1 — 6,)/Оь Р=(Хео — 61)/Оь совместная плотность величин У и г' имеет вид а(л — 1) (о — и)" — 2/(0(и( <о(1). Определим величины з, и 1, так, чтобы Р(У>з, г' — У<1,)=1 — а. 5.8. Использовать независимость Хд> и Х вЂ” Хиь 6.9. 2) Применить метод Лагранжа нахождения условного экстремума; 3) п~4 г'~,зо'/Ь'. 5.13. Использовать результат задачи 5.11. Интервал равен (4.7775, 4.7842) . 5.14. (0<аз<0.013). 5.15. Используя результат задачи 5.9, получим 0.95-доверительный интервал для р (3.30<9<4.54). Тогда 0.95-доверительный интервал для Ф(х — р) имеет вид (Ф(х — 4.54), Ф(х— — 3.30) ). 5.16. При К>1 и т=р/о имеем Р(Х вЂ” К$Х$( Р ~~Х+К$Х$)=Ф( — ) +Ф ~ — — ) Д"о 1 7 К~ъ Если К>1, то величина Ф~ /+Ф~ — ) принима~ К+1/ ~ К вЂ” ~ ет значения на интервале (0.5, 1), Например, прн К=5 имеем а=0.0968.
1зз 5.17. Р(0<о<К~Х!) = Ф( — 1/К+и!а) + Ф( — 1/К вЂ” и/а)ь, ~2Ф ( — 1/К). 5.18. Использовать свойство независимости Х и о'. 5.19. Статистика Х принимает значения 1/п, /=О, 1, ..., и о Э р (Х < й/и) =Р (й/и; 0)= 71 С„*8*'(1 8)"-', Т "" "'"' '1 ~В ~=о = — лС„" ~0'(1 — 8)" ~ ' <0 прн л(л, то Р(е/и; 8) монотонно убывает по 0 прн 'и = п. 5.20. По центральной предельной теореме при л — ~- оо имеем .У [г' п/[0(1 — 0)[(Х вЂ” 8)~-~-.Ео(0, 1). Так как Х- 0, то отсюда Я ( ЯХ (1 — Х)](Х вЂ” Во Р(О, 1) р« 5.21. Используя результат задачи 5.19, найдем уравнения для нижнего и верхнего доверительных пределов 01 и 8о соответственно, 381о — 201'=0.025, 8оо — — 0.975.
Получим (0.094<р< <0.992) . 5.22. Используя результат задачи 5.20, получим 0.95-доверительный интервал для неизвестной вероятности р положительного исхода (0.37<р<0.52). Так как ппп 180р(1 — р) =41.96, шах 160р(1 — р) = 45, о.от<р<о.ы о.от< р<о.оо то 0.95-доверительный интервал для дисперсии имеет вид (41.96, 45). 5.23.
Проверить, что Р (0)=2, 6'(1 — О) является убывающей в=о функцией по 0 ен [О; Ц и решить относительно 0 уравнение ~) 8'(1 — 0)=0.1. Нижний 0.9-доверительный интервал имеет вид (0.562 < р < 1). 5.24. Так как пХ имеет распределение Пуассона П(а% то Р (Х <й/п)=Р(й/и; 8)=~'е-"о (л0)'//1, — Р(й/и; О)= — пе — "оХ о оа о-о Эс(п8)'//о1<0, функция Р(/1/а; 8) монотонно убывает по 8.
Для нахождения 8, и 8, используется соотношение ОР ~~ е-М/1=Ро„(2Х), где Р, (х) — ф.р. у.,' . Поэтому 81 (Х) = то /(2п), 8о (Х)=уз — /(2и). 5.25. По центральной предельной теореме при п — со имеем 2,' Яп(Х вЂ” 6)Д/9) -~ -Р (", 1). Так как Х вЂ” 8, то отсюда У х 1 $' л, Х (Х вЂ” Е)~ .4 (О, !) при и 5.26. (1.003, 1.043).
5.28. См. задачу 5.27. Здесь А=0.25, интервал (0.06, 1.05). 5.29. (0.141, !.459). 5.31. См. задачу 1.8, Г а ( — „!' г' КмФ, ~-~*, .„! 'г' К(чФ). г=! ю 1 5.32. !) С . д у 1.9; 2) (у —, р (1.~.у 2)/ь 3=! р~, „,~/~1.~у~2)/2,) 5.33. 2) (0.369, 0.825). 5.38. См. задачу 2.62 и указания к ней. 5.37. Использовать тот факт, что т-А' (т, озН), т и Х— — А~ независимы. 5.38. Пусть т, Лаяй", В<""Ю вЂ” положительно определенная матрица.' Тогда используем представление В=НН' и введем 9=Нтт з=Н-Ъ Получим утг=ттЛ уту ттВт атз=ЛтВ ~Л. Используя неравенство Коши — Буняковского, получим (у'г)'с < (рту) (атз), или (Лтт)а(ттВт ЛтВ-~Л, откуда Лтт з ттВт=тах Лги-'Л ' Положим т=р — (3, В=А'А. Тогда с использованием (1 — а)-доверительного эллипсоида из задачи 5.36 получим !Лт (р Р ~шах <ЙР~ — чл, — ь!!Х вЂ” АД!з/(а — й)~ =1 — сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
