Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Многомерное обобщение задачи 2.68. ГЛАВА а 3.2. Использовать результат задачи 1.18. 3.3. !!пт РХ/ОХ=2. л лл 3.5. Нижняя граница равна 09(2п), е(15,=1/(и — 2) ж 0.876. Так как при и- оо то е!! Вг-~1. 3.6. Ог!и 0 0 2 04У(л 1 ) 119 нижняя граница Рао — Крамера для ковариационных матриц несмещенных оценок параметра 8 имеет вид О 21!/а )) )) 3.7. р=~~' Х)/а, о!='~ (Л! — р)а/и. )=! )=-! 3.8. Еа(а' — о')'=о! (2п — 1)/аи ( Еа (У вЂ” оа)' = 2о4/(л — 1) для всех и~2 и О. 3.9.
с=1/(п+1). 3.10. Е(0 — О)!= 20' [1 — ~7 — Г ~ — ~ ( Г ~ —, Е (О— — 0)а=(и — 2) О))/(2п). Так как при п-+ оо ) — )I Х г (+ ) ) г ( — ") — — '. то Е(0 — О)'/Е(0 — 8)'~ 1/(и — 2) = 0.876. 3.12. О. м. п. 8=1/Х. Так как 0). Х,— Г(1, иА), то ЕО= ! ! = а)!,О/(юй — 1), Е (Π— 8)' = 0' (гй -~- 2)/[(п1, — 1) (а)! — 2)1, 7„(8)=Е 7 " ( ' ) ) =Ы/О', е110-+ 1 прн п-!.оо, ае 3.13. 1) 0=1/Х; 2) 0 =(2п/~~ ~Х))'~'. Так как ОЯ Х; — Г(1,и), )-! )=! то Е(8 — О)'=О'(а+2)/1(и — 1)(а — 2)). Для получения с. к.
о. 0 используем разложение в ряд Тейлора в точке /=1/О' функции Учитывая, что )) Е (Я Х)/(2п)) =1/Оа, Е Д„" Х)/(2и) — 1/О'~'= 5/(пО'), )=! )=1 )) при а -+ ео Е (~~~ Х~)/(2а) — 1/8'~'= О (а — ') получим Е (Π— 0)а )=! 50а/(4и) при п -ь. со.
120 3 14. О является единственным положительным корнем уравнения в)аь(х, в)! ч.ч, а)пг(е) =~ !п Х! — и — =О. ве Л~ ' дв с=! Так как Е!пХ,=сК!и Г(0)/с!О, 0!пХ1=с/е!пГ(0)/с/0', то Е ( а)о/.(х, е) !е и )аг(е) /) =и вв / не и при п-~ оо .~(Уп(0 — О)),) (О, ( и!"'(0)') !). 3.
16. Е=Х, Ее=О, Ое=е/п е110=!/(ОР!пГ(0)/с(0)= =1/ (! + — +20 ! с(х~ (1, 2е ) (в+х) Р(х) — ограниченная функция. При 0-~0 имеем е11 0-!-О. 3.16. Обозначим т)=')" Х';/п, /=1, 2. Тогда сс=т,/(т,— т~!), с=! Л=т!/(т,— т!), Так как при п- оо имеем т, -! Л/а, т, 2 2 и Р -+-Л(Л+1)/а', то сс~-~сс, Л~ — !-Л. 3.17. Функция правдоподобия имеет вид л ехр ( — ), Х, + ие) / ( ппп Х; ь 0), !(~!~л о.м.п. 0 = ппп Хь Плотность распределения О равна и(х, 0) !Я(л =и ехр( — и(х — О) )/(х> 0), поэтому для любого е>0 имеем Р()Π— О!<е)=! — е-"' 1 при и — оо.
3.18. См. указания к задаче 2.18. 3.19. См. указания к задаче 2.14. 320. /1(О, О)=2ОЧ(п+1)(п+2)), Р(т,(Х), 0)=Ое/(п( +2)), )с(Те(Х), О)=О'/(п+1)е. д!п ь(х, в) хе ! 3.21. Показать, что Е( ) = —, и использоде ) 2п' зать результат задачи 1.18. 3.27. ИспользоЪать результаты и указания задачи 2.68. 8 обозначениях задачи 2.68 с точностью до постоянного слагае"ого логарифм функции правдоподобия имеет вид 121 — 1п(о + 5» ) — 1(5 — 1) 1по — 3»/(2о ) 2 — [5~+ 15 (Մ— 1»)»]/[2 (о'+ 5т»)]; 1(8)=(1,!), !»»=15/(о'+ 5т'), 1»»=15»/[2(о»+ 5»~)].
1»»=/в»=15/[2 (о~+ 5т») ] 1„=1/[2(о»+5»»)»]+1(5 — 1)/(2Ф), остальные элементы 1(8) равны нулю. РО=(Ао), А„=(о»+ 5т»)/~(15), А = 2 (о'+ 5т')/[(1 — 1) 5'] + 2а'/[/5» (5 — 1)], А»» — — 2о»/[1 (5 — 1)], А„=А = — 2о»/[15(5 — 1)], остальные элементы РО равны нулю. Для матрицы 1 '(8) =(/о) имеем 1»»=2 (о»+ 5т»)'/(1Р)+ 2о'/[15» (5 — 1)], остальные элементы 1 '(8) совпадают с соответствующими элементами РО„ 3.28. 1) р=~ 1п Х!/а, о' =~~ (!пХ,.— ф»/л, а=ехр (р+о»/2), !=! !=! Ь=ехр(2р+о») [ехр(о») — 1]; 2) Используем представление 1»=р+ +оУ/!!и, о»=11„!о»/и, где У вЂ” 4»(0, 1), У и Х~ ! независимы. Разложим а в ряд Тейлора в точке а и учтем, что при а-~ со Я [3~ а(р — 1»))-»..У»(0, о»), Яфо(о» вЂ” о'))- .Ф»(0, 2а'). Тогда Я (»! л (а — а)) -».
М (О, а»о» (1 + о»/2)). Аналогично Я (]/ и (Ь вЂ” Ь)) -ь.,!2» (0,2о» [Ь'(2+ о')+ ехр (4р+ 4о»)]). 3.29. 8=![ 1 + ~ч~ Х,'/п — 1. По закону больших чисел при !=1 !! и-» оо ~~~ Х!/п~- ЕХ»=28+8», следовательно, 8~- 8. !! 3.38. О. м. и. о» =~~' (Х! — У!)»/(4п). Так как Ео'=о»/2, то о» $=1 л не является состоятельной оценкой о'.
Оценка ~)" (Х! — 'г'!)»/(2п) яв. ляется состоятельной оценкой для о'. 122 3.31. [ Х, если Х)0, ~ О, если Х(0, о'= ~ (Х; — р)'1п. 3.32. Применяя принцип инвариантностн и учитывая, что о. м, п. / л р и а равны р=Х и о=~ ~ч ', (Х! — Х)'/и соответственно (см. за- ! 1 дачу 3.7), получим т=Ф( — р1о). При и-~ со Я (у'п (т — ~(0)))~ Ап(0, о~), а,'= [1+ р'l(2о')] ф'( — Фо). 3.33. Если У вЂ” вектор-столбец,  — матрица, то У"ВУ =1г ВУУ'. Обозначим А- =(Ап), В=(Я!!), 1А~ — определитель матрицы А. С точностью до постоянного слагаемого логарифм функции правдоподобия имеет вид л — — "1п )А! — — 1г А ' «~(Х! — р)(Х! — р)г= 2 2 !=! = — — "1п ~А1 — — [1г А 'В+п1гА '(Х вЂ” р)(Х вЂ” р) ]= 2 2 г = — — !и ~А! — — ~%1~~ А!!Я!г+п(Х вЂ” р)А ' (Х вЂ” р)~= 2 2 4.~ !=! у=! Р Р = — — 1и ~А) — ~~~~ ~~~А!![Вп-1-п(Х! — р)(Х; — р)]~ ! ! !=! Дифференцируя по р, получим А-'(Х вЂ” р) =О, р=Х, Так как 1п~А ~= — 1п~А — !~, то после дифференцирования по Ап получим п д!А!1 ~А '1 дАи =Ям+я(Х,— р;)(Хг — р).
! ! Так как 1 д 1А"!1 =Ац, р,=Х, 1А '1 дА!! 123 то иАи=5и, »=1, ..., р, /=1, ..., р. Отсюда оценкой для А яв. ляется 5/и, логарифм функции правдоподобия достигает макея. мума прн )»=)», А=5/и для всех (» и А. Состоятельность оценок Х и 5/и следует нз представления л и — '5=п-' Я (Х,— )»)(Х! — р)"'+(Х вЂ” р)(Х вЂ” р)" ! ! и применения закона больших чисел к последовательностям (Х!) я ((Х! — )!) (Х! — )») "). 3.34.
См. указания к задаче 2.62. 3.37. Функция правдоподобия имеет внд 0 "/(0< пнп Х!< шах Х»<20), !«а !«!«« о.м.п. О= шах Х!/2, н.о.р.м.д. Тп(Х) в классе оценок Т(Х) !«!«« определяется козффнцнентамн (л + 1) (л + 2) (2« + 1) (и -)- 1) (5«« + 8« + 5) ' (5«! + 8« + 5) 0Т' (Х)= (л+ 2) (5«»+ 8п+ 5) Е(0 — 8)'= 2(п+ 1) (л-1-2) ' Е(Π— 0)') Е(Т'(Х) — 8)' для всех 8. л 3.39.
1пп — !и (~ ехр( — Х,)1. »=! 3.42. 0=(9„..., О ), О,=У,/п, !'=1, ..., й, РО=А=(А!(), а4м=Ос(1 — О!)/и, А!»= — 8!0»/п, ! чь/, !'„1=1, ...,й. 3.43. См. указания к задаче 2.43. О. м. п, шах Хо о. м. м. !«!«« л л 2 ~~ Х!/и — 1. Если 2~» Х;/и — 1< !пах Х„то о. м. м.
оказывает!=! ! ! !<!«и ея неприемлемой. 3.44. Пусть т! — число индексов 1, для которых Х;=1, /'= . 1, ..., г. Тогда функция правдоподобия имеет внд л ~~ Х! — л 0'=' (1-0)"- . ,! ...,1М1 3.43. 6(и, х)=С„*р" (1 — р)" *. Рассмотреть отношение 6(п+ +1, х)/6(п,'х) как функцию от и. 3.46. 6(/), х)=СоСй — "о/Сй Рассмотреть отношенне6(0 + + 1, х)/6 Щ х) как функцию от Р. 1И 3.47. Так как процесс является марковским, то условное распределение Х!+! при фиксированном Х; является нормальным 4'(рХ!, о'), поэтому логарифм функции правдоподобия с точностью до постоянного слагаемого имеет вид л — 1 — и!по — — ~ (Х/+! — рХ!) . ! Ч! о 2ол /=о Отсюда система уравнений для отыскания о.
м, п. имеет вид л — 1 л-1 ~ Х/+1Х/=Р~ Х,', /-о /-а л-1 =). (Х,+,— рХ,)о. /-а Так гкак сот(Х;, Х~~+ )- О, сот(Х;+!Х/, Х/+!+ Х/+„) — 1-О при л!'-1;ао, то последовательности (Х~/) и (Х/ .1Х) удовлетворяют закону больших чисел. Поэтому при и- оо имеем — тэ ' Х!' л-л- а'/(1 — р'), л л — т ~ Хьь! Х! ~ ро'/(1 — ро), л 1'=! откуда следует, что 0=(р, оо), л — 1 л-1 л-1 1!=~ Х/+!Х,/~' Х7, но =~ (Х/+! — рХГ~/и. /-о /=о /=о 3.43. Применить теорему' факторизации.
3.30. Обозначим 6=1/и+1/т, и разложим т*= =Ф((Х вЂ” У)/1/2 — 6) в ряд Тейлора в точке (Х вЂ” У)/~2 до членов второго порядка включительно. Получим, что Е(6-1!о(т — т*)1о= О (6) при 6-1-0. Используем неравенство р(6 '/'(т — т'~ )е) (Е[6 ' о(т — т')]'/зо. 3.61. Для нахождения Т,(Х) см. задачу 2.35. Для нахождения Т, (Х) использовать принцип инвариантности. Разложим Т! (Х) и л 7;(Х) в ряд Тейлора в точке 1~~ Х1=а/Ол УЧтем, что при п- оо 1=1 Р ОI и ]Тх(Х) — Т,(Х) ~ ) з) (пЕ]Т,(Х) — Т,(Х)]*/. ГЛАВА 4 4.1. 2) 1, если ')" Х1а.,са, у, если ~) Х,=са, ! ! О, если ~" Х!)с, 1=! са — ! ~ С„'Е,'(1 — Е,)"-! <~ ~~)' С„'Е,'(1 — 9,)"-1, !=0 с — 1 а ,„=[ — ') С„'Е,'(1 — Е,)"-1~1(С„'"Е,'"(1 — О,) 'а]„ с — 1 а ]),(В,) = ~).' С„'В!'(1 — О,)"-'+у„С„'"Е,'"(1-0,)" а.
4.2. Воспользоваться результатом задачи 4;1. а 1 при ') Х1~0, 1-! 0.01 при '~~ Х! =О, 1=! р(Х)= Вс(0 01) =1 — (1 0 01)а+0 01(1 0 01)а — 1 0 99а+!) 099. От. сюда пъ.460. 4.3. При больших и имеем Р ~~~)~~Х!)са~ =1 — Ф~ "' ). 1=1 1сз Š— — =0(п !) и Š— — =О(п з). Получим! 1 6 е ~ч; х, ~чп Х! 3=! !=1 Е (Т! (Х) — Тз (Х))'= 0(п-з). Используем неравенство Отсюда 1 — Ф ( " ' )=0.05, 1 — Ф( " ))09, са — 0.2л =хо ос=1.64, 0.41'л ! сл — О.
4л ' — =зол= — 1 26, О. 49 ')Гл 7 и 41. 4,5. Если 8) 1 — аыл, то мощность 6,(8)'=1. Рассмотрим О< <0<1 — а"". Полагаем «р(х)=1 на множестве (х:с'.(х, О)'=1, /.(х, 0)=0)=(х«л>)Ц, «р(х)=0 на множестве (х:/.(х, 6)=0, 1.(х, 0)=Ц=(0<х«п<0). На множестве (х:/.(х, 8)=/.(х, 0)=Ц= =(8<х«о<х«ю<Ц функцию «р(х) определим так, чтобы Еоа(Х) = =а. Это условие выполняется для «р(х)=/(1 — а'/л<х«п<х«,«<Ц. 4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
