Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4.32. Для каждой пары (1, 1) переведем вектор (Х!!!, ... , Хиг) в вектор (Уп!, ..., Уп2) с помощью ортогонального преобразования с матрицей l С=(С,„), С2„=1( Ь, л2=1,... „/, ~~' С,„=О при А>2. Тогда У!!!=)!Ьуггг, У!1! —.!в(йЬр, Ь(ол+ов)+ог),Угг!— 2 2 .4в(О, о'), 1'= 2. Из свойств матрицы С следует, что (Уг!!), г= =1, ..., 1, 1'=1, ..., У, Е)2 взаимно независимы и не зависят от (У!!!), 2=1, ..., 1, 1=1, ..., У. При каждом ! с помощью дополнительного ортогонального преобразования переведем (Угп, ... ..., Уи,) в ((!г!г, ..., И!г!), так что Ь(гг,—— . у',!'У!.!, Ь1;„—.Фг х Х(~/,)Ьр, Лллл+Ьов+о!), ()и!-Л (О, Ьовг+ог) при 1~2.
Положим Ь!г;!=Уг,! при 1) 2 и всех (г, 1). С точностью до постоянного множителя совместная плотность (Ь!гг!) имеет вид 1 %"Ч ехр ~ — 2 2,),(игг! — ф'.П. р)~— 2(Л.а'+ Ьозг.(-ог) 2И 2(1юв+ог) Е Е"г! 2ог Х ХЕ "~4 !=.1 1=-! г=! /=! г=! = ехр — — Рл+ Л. (х... — )!) ] — 5в — —, 5 ' 1 2 1 г ! 20! 2ог 2о' где ог=Ллг+Ьог+о!, о'=Ьо'+о' ! 5л=5л(х)=~' (иьц — и.г!)~= )Ь) (х!..— х...), 1=1 ! ! 5'=5'(х)=~ ~~- и,'.„ [~ иг,— иг ~=Ь~Г ~~~~ (хи.— х!.,)2, 1=1 ~=! 1=! 1=! г ! г !.
~~' ')' и!2=~ '). '~ (хг! — хггг)2, г=! у=2 52=52(х) =Е 1=! 1 ! 1=2 1=1 г=! ! 2 135 величины 5А2(Х), 5в'(Х), 5'(Х) и Х... независимы, точка означает усреднение по соответствую!цему индексу. Плотность принадлежит к четырехпараметрическому экспоненциальному семейству. 1) С точностью до постоянного множителя плотность следует представить в виде екр — — + 1 1 2 Л.1!х 2ат! 2а~~(1-1-Л.Л) ~ а! 1 ((22+ Ц 2 )/(1+ Д~1)+22) ! У 2а~~ 2а!! Гипотеза На эквивалентна гипотезе а!з/аэз<1+П.Л, критическая область имеет вид /(.! — Ц 3„'(Х) Ъ~ я! — а.г — 1, ма — !] (1+ /т.а) (1 — 1) Юэз (Х) 2) Гипотеза На эквивалентна гипотезе ат'/а'(ЕЛ+1, критическая область имеет внд /(1.— П нвз(Х) ~ )Г! — а,ца — и,!1!С-!! ° (ьл+ П (,г — 1) 3' (х) 4.33. Совместная плотность Х1, ..., Х„У1, ..., У„имеет вид В а с~Д,...,$„, а, Л)ехр ~ — — Д ~х,'+~ у,')+ 1=1 ! ! + — ~ $!(х,+у,)+ — ~~~у!) 1=! 1=! и принадлежит к экспоненциальному семейству с и+2 параме'- рами.
После ортогонального преобразования а1=(у; — х!)Д/ 2, !с1=(у!+х!)Д/2, !'=1, ..., п, получим с($„..., $„, о, Л)ехр ~ — —,!2'(а!+и~!)+ Ф й4 !=! а + — ~~! Ь!с!+ ~~ (и!+!с,) ~. 1=1 1=! Критическая область имеет вид а (у+У)с (Х ($l +97;), я7, ..., Вг„)1 '1=! Р=ж Юи, %7= Е 117!/и. 136 1)рн гипотезе Н, величина у'и Р ~~ (У! — Р)'/(и — 1) не зави! ! л ат от ~) (17~!+37!), В'„..., Яу„и имеет 1-распределение Стью!=! лента г 4.34.
Совместная плотность Х!, ..., Х имеет вид И с($„..., $„о)'ехр ~ — — ~ х!+ — > $!х! ~. К"! а ! ъ-ч 2ч! о' 24 1) Если $!зчьО, то после преобразования Х!'=Х! — $!з приходим к гипотезе Н0 ! $!(~О. Критическая область имеет вид нлн Если $! =О, то левая часть последнего неравенства не зависит л г от т Хм Х„..., Х„и имеет г-распределение Стьюдента ! 4.35. Переведем (Х!, ..., Х,) в (У!, ..., У,) с помощью такого ортогонального преобразования, при котором Тогда е(7 =О для !~3.
Далее применить результат задачи 4.34. 137 4.36. 1) Фиксируем Х,, ..., Х„и введем У, = (Х, / л и л — Х) 1!' ~' (Х; — Х)', так что ~" У!=О, у" $7=1. Статисп!. !=1 !=! $=! ку Т=111~/ (1 — Я')1(и — 2) представим в виде Т = '1," У,У, ~ У! — лУ' — ~" 1',У, (п — 2) Распределение Т не зависит от !1 и т, поэтому положим !)=О, т=1. С помощью ортогонального преобразования переведем (У!,..., У,) в ('Уь..., У,), чтобы У,=Уи У, (!~=~ У!У!. Если !=-! р=О, то условным распределением Т при фиксированных Х!, ..., ..., Х„является г-распределение Стьюдента !„г, таким же бу. дет и безусловное распределение, 2) Совместная плотность ве- личин (Х!, У!), ..., (Х, У,) принадлежит экспоненциальному се- мейству с пятью параметрами, при р=О статистика Л не завив л снт от (Х, У, ~) Хь $' У!).
а) Критическая область(й)с) эк. 1='! !-! вивалентна указанной в условии задачи. 437. Преобразование У!=АХ!+У!, У!=Х! — У!/Л, !=1, ...,л, приводит к задаче проверки'гипотезы о равенстве нулю коэф- фициента корреляции в двумерном нормальном распределении.
См. задачу 4.36. 438. Введем У!=У!+Х!, У!=У! — Хь 1=1, ..., л. Тогда У!, ...,' ..., У, Уь ..., У, независимы, У! —.УзЯ+!1, 2о'(1+р)), У! —.Ф'(!1 — $, 2о'(1 — р)), !=1,'..., и. Критическая область имеет вид Ул ~У~ ')" (У! — У)'/( — 1) )1! !=1 и У=~ У!/и. 4.39. Указанное заключение сделать нельзя.
4.40. Критическая область критерия имеет вид (У л — 3 (д(р) — ф'(р)(~) з! !,/з), Гипотеза Нз не отвергается для всех уровней значимости а( (0.512. 4.41. Можно ограничиться упорядоченными наблюдениямИ Хо!~Х<з!( ... ~Х<,>, поскольку они достаточны для а и Ь, а !зз перейти к новым переменным Н<=пХ<<>, Н<=(п — <+1) (Х«>— Х<;,>), <=2,...,а, величины Н< и ~) ()! независимы (см. ука<< з заиия к задаче 2.24). В условиях Нь величина ()! является полкой достаточной статистикой для а, и критерий строится на основе условного распределения при фиксированном значении ()<, которое образует однопараметрическое экспоненциальное сеиейство.
4.42. См. указйния к задаче 4.41. При гипотезе Нь величина ~' ()! является полной достаточной статистикой для Ь, и кри! терий строится на основе условного распределения ()! при л фиксированном значении у О!. При гипотезе Нь величина ! ! / и л ((>,— па,)< ~) (), не зависит от ~Ь'(<!. ! <=! 4.43. Отношение правдоподобия А (х, 6<>) имеет вид в случае 1) а ехр ~ — (х<<> — у<<> — <()1 при х<<> — у<<> — <()О, ь, ехр[ ~ (х<ц — у<<> — <1)) при х<<> — у<<> — <(~0; < ь, в случае 2) !> (х — х<0) + а!а (у — у<и) 1 п (х<, — у<! — <О с а (х — х<! ) + Лм (у — у<<>) '1 + при х<ы — у<<> — <(~ 0; а ( ы,— уы,— 3) в случае 3) 1<[(х — х<>>)/(х — уы> — <()[" прн х<0 — у<>> — <() О, [(у — у<<>)/(у — х<<>+<()[ при х<0 — у<>> — <((О.
Далее нужно учесть, что величина — (Х<<> — У<<> — <() при Х<>> — У<0 — <() О, ь, — (Х<<> — У<<> — а<) при Х<<> — У<>> — <1~0 ь, !39 в условиях Н>> имеет стандартное показательное распределений Р(0, 1), величины Ь, Х вЂ” Хо> и У вЂ” У>о независимы, 2(Х вЂ” Х>п)п/܄— т2>, >>, 2 2 (У вЂ” У! ! >) и>/Ь2 — Х20„0. В случаях 1) и 2) критерии являются р.н.м.
несмещенными а р.н.м. инвариантными. 4.44. Совместная плотность Х>, „Х,, Уь ..., У„имеет вид О",О, ехр~ — О,~Г х,— О~~' у;)= >=! >=! л э Ш =О>0, ехр ((02 — 0,) ~)' х! — О, ( '~ х>+'~ у>)~ ! ! >=! /=! и принадлежит к двухпараметрическому экспоненциальному семейству. Критерий строится на основе условного распределе.
и л ш ния Я Х! при фиксированной сумме '~ Х>+~> У>=/. Пра >-! >=! ! и / э т гипотезе Нэ отношение ~~" Х>( ('~" Х>+~ У/) не зависит от >=! >=! >=>, Х>+) ' У,. Критическая область имеет вид ~э>~Х! ! !.= ! ~ (Р!2,2л,ьи и ~~ 3'> /= ! 4.45. См. указания к задаче 2.24. Совместная плотность не личин Х>>>~Х>2>~ ... ~Хоп и У>>>~ У>2>~ ...< У<, > имеет вид и п1л>! Ь! "Ь2 "ехр ( — ~„(х>ц — а,)/Ь,— т — (у>;> — аэ)/Ь2~ 1(х>>>) а!) 1(у>>>) аэ).
/=! Введем (/>=пХ>>>, (/=(и — >+1)(Х>п — Хп и), !'=2, ..., и, Ут ~ = п>У>>>, У>=(п> — /-1-1)(У„> — У„>>), /=2, ..., и>, величины с/>! л (/„У>, ~ У> независимы. При Ь,/Ь, = /> величина (пХ+л>У/и ! .2 /=2 !40 Хо1, У!8) является полной достаточной статистикой для (бо а! аз), и критерий строится на основе условного распределения ири фиксированных значениях (пХ+тр/Л, Хо1, У!о), которое сбРазУет однопаРаметРическое экспоненциальное семейство. 4.46.
1) Для пограничной гипотезы 8!/8»=Л величина Т является максимальным инвариантом при преобразовании у!4 аХь а)0, распределение Т является нецентральным /-распределением Стьюдента / !(б), семейство плотностей д(/, б) величины Т имеет монотонное отношение правдоподобия. 4.47. 1) См. задачу 1.9. Введем представления Х!=р!+У!о!/кп1, 5,'.=(/!оь (/~=)(~,/~!, Л!=У24! (УУ,— 1), 1=1, 2, величины У„ У„Е„Я» независимы У! —,У»(0, 1), !'=1, 2. При ц„пл-лсо имеем (/1-л1, Х!/Я!-~-у!, Я(Л!)-л'лл(0, 1), 1=1, 2.
Так как Х,~З,— у!= — у,'(Ь и,— 1)МЦ/,+У,/Уп,и,, то Х!/Я! — у! — — у!Я!/)/2л! + УДГй! при п„а»-л со, 1=1, 2. 2) Критическая область имеет вид От!)г! ./2). 4.48. С точностью до множителя, не зависящего от р!, р», совместное распределение Хь ..., Хл+~ имеет вид р! (1 — р,)'=' р» (1 — р.)' л+' =р",р,"ехр(~~ х;1п1(1 — р,)/(1 — р,))+ ~' х,!п(1 — р»)~ !=! 3=! и является двухпараметрическим экспоненциальным семейством.
Критерий строится на основе условного распределения л л-1- л ~ Х! при фиксированной сумме )Г Х;=/. Прн гипотезе Н, 1=1 3==1 л (л+т р ~ ~ Х!=й~ ~ Х1=/~=Сл»+» !С,„+!» !/С„+т+! 1=! !=:! л )(Ритерий отвергает гипотезу Нл с вероятностью 1, если ~~ Х!( !=1 Ссл(/), и с вероятностью ул(/), если ~ Х!=сл(/). ! 141 4.49. Совместное распределение Х1, ..., Х~, У!, ..., У„имеет в» Х~/Хэ/ / е ""-.
»1!!=1 Р/=! ~ П к,1 ПУ/1~ =е — 1 ! ехР((') У/) 1п(1!/ь)4 / 1 л т +( (.,1+~~ у/) 1п),~ ( ~ Пх/(пу/1~ 1=! /=1 1 и образует двухпараметрическое экспоненциальное семействе т л О$ 0=!п(/4/) ), (/ =~~~~У/, 11=!п)!, Т = ~~' Х, + ~) У1. Гипотеза Н . 1=! 1=1 !=-! : )!=/1 эквивалентна Н,*; 0=0, альтернатива Н,: /!</1 эквива. лентна Н/ч . В>0. Критерий отвергает Н,* в пользу альтерна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
