Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274)
Текст из файла
Д.. М. ЧИБИСОВ, В. И. ПАГУРОВА ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений ИЗДАТЕЛЬСТВО «10сковскОГО униВеРситетА 1990 ВБК 22.17 Ч-56 УДК 519.2 Рецензенты: кафедра теории вероятностей н математической статистики МИЭМ, доктор физ.-мат. наук Л. Д. Мешалкии Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета 1602090000(4309000000) †0 ч 80 — 90 077(02) — 90 ББК 22Д7 18В)з 5 — 211 — 00955 — Х © Чибисов Д.
М., Пагурова В. И., 1990 г. Чибисов Д. М., Пагурона В. И. Ч-58 Задачи по математической статистике. — М.: Иад-во Моск. уи-та, 1990. — 171 с. 15ВИ 5 — 211 — 00955 — Х. В основу учебного пособия иоложены задачи, предлагавшиеся авторами студентам факультета' вычислительной математики и кибернетики МГУ. Задачник восполняет пробел в отечественной математической литературе и достаточно полно охватывает раанообразные методы, изучаемые по курсу математической статистики. Приведено много новых оригинальных задач. Для студентов вузов, обучающихся по специальности еприклад.
ная математика». ОГЛАВЛЕНИЕ Дредисловие Обозначении и сокращении Введение. Часто используемые семейства распределений н их свойства 7 Глава 1. Аппроксимации распределеняй и их моментов Глава 2. Достаточные статистика н несмещенные оценки $1. Достаточные, полные, свободные статистики. Несмешенные оценки с равномерно минимальной дисперсией $ 2. Метод наименьших квадратов при оценивании параметров линейной модели Глава 3. Методы получения точечных оценок 4! Глава 5. Доверительяое оцениванне Ответы, указаняя, решения Приложение Литература !03 159 171 Глава 4. Проверка статистических гипотез .
. . . . . . 53 9 1. Наиболее мощные и равномерно наиболее мощные критерия. Семейства с монотонным отношением правдоподобия.... 63 $2. Равномерные наиболее мощные несмешениые критерии для однопараметрических н многопараметрических зкспоненциальных семейств. Проверка гипотез о параметрах линейной модели .. 67 9 3. Критерий хн-квадрат Пирсона. Критерии согласия... 79 в 4. Критерии отношения правдоподобия для сложных гипотез.
Состоятельные и локально наиболее мощные критерии... 62 ПРЕПИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие призвано помочь в углубленном освоении основных разделов математической статистики, входящих в учебные курсы, изучаемые на факультете вычислительной математики и кибернетики и механико-математическом факультете МГУ. В соответствии с этим авторы стремились представить возможно более полный набор задач, относящихся к этим разделам. Ограничиваясь целью сопровождения основного теоретического курса, авторы не затрагивают как многих разделов статистической теории (ранговых методов, последовательного анализа и др.), так и прикладных вопросов (выбора статистической модели, содержательной интерпретации результатов статистического анализа, использования вычислительных средств и т.
п.). Для освоения дополнительных разделов теории и практических аспектов могут использоваться такие формы учебной работы, как спецкурсы, спецсеминары, практикумы и производственная практика. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам, ароф. Г. И. Ивченко и доктору физ:мат. наук Л.
Д. Мешалкину, чьи полезные замечания способствовали улучшению рукописи. Сказанное выше служит отчасти ответом на некоторые невыполненные пожелания. ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ Л (р, а~) — нормальное распределение на прямой; Л'2(р~ рь о1', аз', р) — двумерное нормальное распределение; Л»(м, л) — Й-мерное нормальное распределение; . Г(а, ),) — гамма-распределение; Г (Х) — гамма-функция Эйлера; К'» — распределение хи-квадрат; К'»(А) — нецентральное распределение хи-квадрат; (» — т-распределение Стьюдента; (» (Х) — нецентральное 1-распределение Стьюдента„ Р(а, Ь) — показательное распределение; Р», — Р-распределение Фишера; Р»,,„(А) — нецентральное Р-распределение Фишера: р(г,з) — бета-распределение; У(а, Ь) — равномерное распределение; Я'Л'(И, о') — логнормальное распределение; Ь(а, р) — биномиальное распределение; П (Х) — распределение Пуассона; б(й, р) — отрицательное биномиальное распределение; б (р) — геометрическое распределение; Нб (О, У, и) — гипергеометрическое распределение; Ь (п„рь .., р») — полиномиальное распределение; Ф(г) — функция стандартного нормального распределения; гр — р-квантиль стандартного нормального распределения, Ф(гр) =р; ~~р,» — р-квантиль распределения Кт», Р(Кз»< (х'р А) р (р, » — р-квантиль (-распределения Стьюдента г», Р(г»<гр, »)=р; Рр, »,, — р-квантиль Р-распределения ' Фишера Р», тп, Р(Р», п~ (Рр, », иД=р; Х-Р— Х распределен по закону Р; — Х и У имеют одинаковое распределение; — сходимость по вероятности; Х-У Р Ы(Х) а.
— Ь„ а„=о (Ь,) а„=О(Ь ) 1(А) ЕХ РХ Е(Х~ У=у) Р(А ! У=у) сов(Х, У) Рв-п. в. /,(О) (г (А) ДФ н.о.р.м.д. с.к.о о.м.м о.м.п м.н.к р.н.м л.н.м к.о.п р.н.т фр — сходимость по распределению; — закон распределения величины Х; — приближенное равенство; — а„/Ь„-~-1 при л- оо; — а„/Ь вЂ” 0 при л-+-оо; — ~а„!/1Ь ! остается ограниченным при л-~-оо; — индикатор события А; — математическое ожидание Х; — дисперсия (ковариационная матрица) Х; — условное математическое ожидание; — условная вероятность; — ковариация величин Х и У; — почти всюду во распределению Ре, — информационная матрица; — след матрицы А; — Й-мерное эвклидово пространство; — несмещенная оценка с равномерно минимальной дисперсией; — среднеквадратическая ошибка; — оценка метода моментов; — оценка максимального правдоподобия; — метод наименьших квадратов; — равномерно наиболее мощный (критерий); — локально наиболее мощный (критерий); — критерий отношения правдоподобия; — равномерно наиболее точное (доверительное множество); — функция распределения.
ВВЕДЕНИЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СЕМЕЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА 1. Нормальное распределение на прямой. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами (р,а'), Х- -Л'(р, а~), если Х имеет плотность распределения (« — ии ) (х. р и) е за' <р((х р)/о) оУ2и с — со «- х «- оо, так что Р(х; р, а)= ~ 1(и; р, а)йи=Ф((х — ИУо), О ~р(х)= с- *'а Ф(х) = ~ гр(и)аи. 1' 2я Параметры и и а имеют смысл математического ожидания и дисперсии Х: ЕХ=и, РХ=а'. Семейство распределений Л'(р, о') является двупараметрическим относительно параметров (р, о'). В случае И=О и ах=1 имеем стандартное нормальное распределение. Если Х-Л'(р, а'), то У= (Х вЂ” р)/а-Л'(О, 1), характеристическая функция Х имеет вид ф(1)=Е ехр(ПХ)=ехр(НИ вЂ” о'Р(2).
Пусть У вЂ” Лф(0, 1), тогда ЕУ~ '=О, ЕУ~=(2й — 1)(2й — 3)...1, А=1, 2, .... Если Х„..., Хх независимы, Х,— Ф'(Рь о~~), Т = = 1, ..., й, то ~ с,Х,— Ф'~ ~'с,ро ~" с,'.а!), 2. Многомерное нормальное распределение. Случайный вектор Х (Хь ...,Х„) имеет т-мерное нормальное распределение Л', если любая линейная форма Я=а,Х,+... +а„Х„=а"Х, а=(а„..., а„)г, распределена нормально либо имеет вырожденное распределение, которое условимся также считать нормальным с от=О.
Распределение Л =Л' (и, Е) зависит от параметров р, (иь ..., ..., р„)'~Р, Х=(ои) (Š— неотрицательно определенная мат- рица), имеющих смысл вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций: 1« ' ЕХ (ЕХд ЕХпд) одд 0Хд о!/ соч(Хд Хд) д чь / Характеристическая функция вектора Х имеет вид др(/) =Еехр(//"Х)= ехр(// р — / Е//2), /=(/ь...,/ )г. Если Е не вырождена, то Х имеет плотность распределения /(х; р, Е)= ехр ! — (х — )д) Е '(х — р) ~, (2я)та! Х !!/д ! 2 х=(х„..., х„)т.
Если Х вЂ”.Ф' (р, Е), а г'=ВХ, где  — матрица порядка /г х лд, то У вЂ” Р«(Вр, ВЕВ ). В частности, Х,— — д)«()дд, ои), д'=1, ..., лд. Если пд 2, то имеем двумерное нормальное распределение В случае од, од)0, !р~(1 двумерное нормальное распределе- ние имеет плотность распределения /(х; р„р, од, од, р) = Х ехр — Х ! Х с(х, — р,)«2р (хд — рд) (х, — рд) (хд — р«)« ед 1 еде« О 2 х=(х, х,)т, р=соч(Х„Х«)/(ода,). 3. Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение Г(а, Л), Х-Г(а, Л), если ее плотность распределения е — а«х~-1 х «. 0 /(х; а, Л)= Г(Л) 0 х<0, СЮ а, Л)0, Г(Л)=) е — "хд-дд/х.
о Характеристическая функция Х имеет вид др(/)=Еехр(//Х)=(1 — д//а) ', ЕХ=Л/а, РХ= Л/а«, ЕХ« = а — «Г (Л+ /д)/Г (Л), й= О, 1, Если Х„..., Х независимы, Х! — Г(а, Л!), !=1, ..., и!, Ю~ я то ')" Х, — Г ~а, ~ Л,) . 4. Распределение хи-квадрат. Пусть Хь ...,Хг независимы, Х!-Л (0,1), г=1,...,Й. Тогда распределение суммы ~ Х! наг ! ! зывается распределением хи-квадрат с /г степенями свободы, '~' Х,' — Л~г, Заметим, что тгг-Г(1/2, /г/2). !-! Пусть Х-Л'г(1г, 2), Е не вырождена. Тогда (Х вЂ” р)'Е-'(Х вЂ” р) - Л',.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
