Д.М. Чибисов, В.И. Пагурова - Задачи по математической статистике (1115274), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Показать, что для аппроксимации Фишера У„=ф' 2~'„— ) 2и величины )(з„при и-ь-оо справедляво соотношеняе Я(1'„)-+ У'(О, 1). 16 равномерно относительно х, ~р(х)=Ф'(х). Функции Яь(х) являются многочленами, зависящими от 14ь...,44,. Введем коэффициенты асимметРии У~=Е(Х~ — Р)41о~ и эксцесса Уз=Е(Х,— — 14) 4/о' — 3.
Тогда ! вывести отсюда, что при больших значениях п справедлива аппроксимация Р(Х" =х) =ФМх — ~Г2а) 1.2. Сравнить две аппроксимации распределения Х'„для больших значений п Р (Х„( х) = Ф ()/2х — 'р'2а ) и Р (Х ( х) = Ф ((х — и)Д/2л ) с точными значениями Р(Хд(х) при = 5, 10, 25, используя таблицы сборника [5). 1.3. Учитывая, что при соответствующих условиях регулярности точность нормальной аппроксимации возрастает с уменьшением коэффициента асимметрии аппроксимирующего выражения, сравнить аппроксимации У„= у' 2Хд — $~2л и о„= =(Х„' — и)Д/2л величины Х'„при л-~по. 1.4. Показать, что для преоб азования Уилсона — Хилфертн Г 9п [/ Хи 1 у.— г ° д ~аз 2 Л„'= у — ~ [ — ) — 1+ — случайной величины Х'„ '[[, ° ) 9п при и-+по выполняется соотношение Р(гп(х)=Ф(х)+0( - ), в то время как Р($~2Хд — ') 2и (х)=Ф(х)+0(а-ыд); Р [(Хд— — л)Д~2л (х[=-Ф(х).+0(юг-нд) (см задачи 1.1 и 1.3).
Провести численное сравнение аппроксимации Рп„'(*~- Ф [(( — ) — 1-~ — ) и аппроксимаций из задачи 1.2 с точными значениями Р(Х„' (х) при х=Хд д „ и х='ф „ для л=5, 10, 30, используя таблицы сборника [ба[. 1.5. Показать, что для случайной величины 1„имеющей 1-распределение Стьюдента с и степенями свободы, при а-д-оо выполняется аппроксимация Р(1п<х) -"Ф(х). 1.6. Учитывая, что при соответствующих условиях регулярности для симметричных распределений точность нормальной аппроксимации возрастает с уменьшением коэффициента эксцесса аппроксимирующего выражения, при и-д.пп сравнить ап- проксимацию величины 1„, имеющей /-распределение Стьюдента с п степенями свободы, с нормальной аппроксимацией из предыдущей задачи.
Провести численное сравнение аппроксимаций Р(1„<х) = Ф! > Р(ф„(*> Ф~*(! — — '>/ у | -.- — > 4!! 2л 'значениями Р(1„<х) при х=/о,д, и х=/вза для л=б, 10, 25, используя таблицы сбо ника 5 . 11 1.7. Пусть Хь...,Х независимы и одинаково распределены, и ЕХ,=Р, ОХ,= '<оо, Х=~)~ Х>/и.
! ! Показать, что при л->-со — ~(х,— х) и — 1 1=1 1.8. Пусть (Хи), /=1, ..., й, /=1, ..., аь независимы, ЕХ, =>4, ОХ>/= '.~(>, Е(Х>/ — 1>)! < С, Х! = ~~>Хи/л„ Ь !'= ! ! а 4 5~=~~(Х» — Х ,)'/и>, »=~~ ! ! Показать, что при и„..., ла-+ со х~а-р> 2; —, л !о, ~>.
! 1.9. Пусть Х>, ...,Х, независимы и имеют общее нормальное распределение >У'(>>,а'). Обозначим у=»/о. Показать, что прн Д-+ ОО Я((А — ~) >1/ — '!. " ) л (о, О. Здесь Х= ~~~~ Х>/и, 5'=~>~ (Х,— Х)'/(и — 1). ! ! >=! 1.10. Пусть Х>, ...,Х, независимы и имеют общее показательное распределение Р(а, Ь). Обозначим л Х!м= пцп Х„Х=~ Х>/л, >~(>~л >=! Т=Х!>>/(Х вЂ” Х!>>), 7=а/Ь. 18 Показать, что при п-~-сс .'Г ( ~ п (Т вЂ” у)/~Т) — М (О, 1), если у ~ О З(пТ)-~Г(1, 1), если у=О. 1.11.
Пусть г имеет Г-распределение Фишера г, . Показать, что при т=сопз(, п — ~со справедлива аппроксимация р(р<х) = Р()(', (тх). 1.12. Пусть величина Р имеет распределение Фишера Р, Используя связь распределения Р,, ~ с распределением у' и аппроксимацию Фишера из задачи 1.1, показать, что при и, т-~-ао "7: —: —:"1 "" 1.13.* Более точную аппроксимацию, чем в предыдущей задаче, для распределения Фишера г„,~ при п, т-~со можно получить, используя аппроксимацию Уилсона — Хилферти для распределения )(' из задачи 1.4. Прн и, т-+.со имеем Р1~~ (1 — 2/(9м)1 — [1 — 2/(9аЦ 2/(9п) + 2Р~П/(9т) 1.14.
Пусть Х„...,Х„независимы и имеют общее равномерное распределение 1/( — )/3, )/3 ). Показать, что для преоб- (л' — зз„) разования Т„= Я„+ ", Я„=п '/'~~)~~Хо при п-~со вы20п в=1 полняется соотношение Р(Т„с.х)=Ф(х)+0(п '). 1.15. Пусть р„,, — случайная величина, имеющая бета-распределение (1(т, п), у имеет гамма-распределение Г(1, т). Показать, что при п — ~-со, т=сопз(, п~,,-~у . Следовательно, при больших п и т=сопз1 имеем РФ ~(х)=Р(у (пх).
1.16. Пусть Х имеет биномиальное распределение Ь(п,6), У вЂ” отрицательное биномиальное распределение б(т,6). Используя связь распределений Ь(п, 6) и б(т, 6) с бета-распределением 6(т, п) и результат задачи 1.15, показать, что при п-~со и т=сопз( справедливы аппроксимации Р(Х)т) = Р(у,„<п6), Р (у ) п) = Р (у ) п8), у„имеет гамма-распределение Г(1, т), Ю 1.17. Пусть Хь ...,Хл независимы и имеют общее равномерное распределение (' (О, 1), Х<!!:Х<м < ...
<Х<л! — соответствующий вариационный ряд. Показать, что если й, а-асс, Р=й/(п+ +1)- рс, 0<Рс<1, то Уп (Хы! — Р)и" г' Рл(1 рс) У, У .Кл(0, 1). 1.18. Пусть Х„„„Х, независимы и имеют общую абсолютно-непрерывную ф. р. Р, непрерывно дифференцируемую в точке ьс=р ! (Рс). Показать, что при й, а-асс р й((п+ 1) — рс, 0< <Рс<1„для й-й порядковой статистики Х<л! справедливо соотношение УТ(х!л! — 1) УР,(1 — Р,) У(1(;,), У- (О, 1), ь=Р (р), ) (х)=Р'(х). 1.19. Пусть Хь ...,Х, независимы и имеют общее распределел ние Пуассона П().), Х= '~„Х!Iп, !=! Показать, что: 1) при л-лсс 2'(У,) Л'(0,1); 2) нормализующая аппроксимация У более точная, чем Зл =(Х вЂ” Л) ) 'П! Уй, 1.20. Пусть Х имеет гипергеометрнческое распределение Нб(.с1, М, п).
Показать, что: 1) при М вЂ” «сс, Р— сс, Р(М- р и по- стоянном значении л имеем Ы(Х) Ь(а, Р); 2) если а-асс, и!М- -!-О, п0(М- Л, то 2'(Х)- П(Л). 1.21. Пусть Х!, ...,Х независимы и одинаково распределеп', ны, ЕХ! — — р, 0Х!=оз<сс, Х=Я Х!)п. Предположим, что й(х) !=! имеет вторую производную й" (х), непрерывную в точке х=р, и й'(р) =О. Показать, что при и- сс г ы Ъ~п (й (Х) — й (р)]-э. О, и [й(Х) — й(р)1 -э — й" (р) о'Х'!. 1.22.* Пусть Х имеет нецентральное распределение хи-квадрат )1зл()!). Показать, что при ).— !-сс 1,26.* Пусть Х имеет нецентральное распределение хи-кв рат Х~(Х), У вЂ” Х~ !л=(/г+Л)'/(/!+2)!) Показать, что аппрокси мания Патнайка р(Х~з)=р(у..
( ~+ь ),~ основана на приближенном равен Х ге+ зь а+х которое следует понимать в смысле равенства первых двух мо- ментов левой и правой части. 1.24.~ Пусть Х имеет нецентральное 1-распределение Стью- дента 1,(б), х,=х — !. х,=[х(1 — — ! — 6~/ггг4х(~(2). 4а / Показать, что при л-+-оо Л(Х,) / (О, Ц, Л(Х,),Л (О, 1), ио нормализующая аппроксимация Хз более точная, чем Х!. 1.26. Пусть Х„...,Х„независимы н имеют общее распредел ление Пуассона П(л), Х=~~Х!/л. Показать, что: 1) дг(Х) = 1=! =У Х и г/ (Х) =1 Х+3/(8л) являются преобразованиями, стабилизирующими асимптотическую дисперсию; 2) 116!(Х) = = — +0(л-'), 0д,(Х)= — +0(л-'). 4п ' .
4п .1.26. Пусть Х!,...,Х„независимы и имеют общее бнномии .альное распределение Ь(1, р), Х =~~ Х,/л. Показать, что: 1=! 1) д(Х)=агсз!п1' Х является преобразованием, стабилизирую— 1 щим дисперсию; 2) при л-!-со имеем Ра(Х) = — +0(л-') и 4л Я'1Уп )агсз!пУХ вЂ” агсз!и 1/р )/- Ф" (О, 1/4). 1.27.
Пусть (Хь У,), „(Х„У„) — независимые двумерные векторы с общим двумерным нормальным распределением и л 4'з(р!, 1гь оР, озз,р). Обозначим Х=~~)'Х;!л, Г=~~»" У!/л, л и и р =~)' (Х,— Х)(у! — у) "у' (Х,— Х)'~ р',— Г)' !=1 !=! !=-! 21 Показать, что: 1) при а — ~со Я((р — р)) и)-~ Ле(0, (1 — р')'); 2) преобразование Фишера д(р) = — 1и — является преобра(~+р ~ 2 ~ р зованием, стабилизирующим дисперсию я(р); 3) .У ("р и — 3 (й'(р)— — 3(р)1) -~-.Ф(0, 1) при и-~ со. В последней формуле множитель )~'а — 3 вместо )/й дает более точную аппроксимацию. Глава 2 ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ И НЕСМЕ)ЦЕННЫЕ ОЦЕНКИ Статистическая модель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
